Основой решения многокомпонентных задач являются ориентированные графы (орграфы). Начало теории графов было положено Л.Эйлером в 1736 г. в его знаменитом рассуждении о кенигсбергских мостах, но как самостоятельная дисциплина она сформировалась в 30-е годы XX в. Теория графов многогранна, так же как и разнообразно ее применение: в технике, экономике, генетике, химии и др. отраслях науки. Основы теории графов и некоторые предложения достаточно хорошо изложены в специальной литературе (см., например, [1]). При решении многокомпонентных задач рассматривается лишь определенный вариант теории графов — ориентированные графы. При этом большое внимание уделяется отображению в формируемых моделях эколого-экономических систем обратных связей, которые присутствуют в любой сложной системе. Благодаря наличию обратных связей в моделях, результаты моделирования (анализа и прогноза) оказываются более достоверными, чем при использовании математического аппарата, который эти обратные связи отобразить не способен. Наглядность и простота реализации аппарата решения многокомпонентных задач делают их доступными для широкого круга специалистов, не обладающих глубокими познаниями в области прикладной математики. Геометрически ориентированный граф можно представить в виде набора вершин, обозначаемых кружками, и дуг, соединяющих эти вершины. Дуга задает направление от одной вершины к другой. На рис. 12.1 показан орграф из четырех вершин.
Рис. 12.1. Пример ориентированного графа
Путем в орграфе называется такая конечная последовательность дуг, в которой начало каждой последующей дуги совпадает с концом предыдущей. Дуги можно обозначить парой вершин, которые она соединяет. Например, от вершины 1 к вершине 2 ведет два пути: первый путь {(1,2)} и второй путь {(1,3),(3,2)}. Путь можно записать в виде последовательности вершин, через который он проходит. Например, второй путь можно записать следующим образом: {1,3,2}. Контуром называется путь, начальная вершина которого совпадает с конечной. В орграфе, представленном на рис. 12.1, нет контура. Орграф с контуром, проходящим через вершины 2,4 и 3 представлен на рис. 12.2. Вершины, в которые не заходят дуги, называются начальными. Вершины, из которых не выходит ни одной дуги, называются конечными. Матрицей смежности вершин орграфа называется квадратная матрица, каждый элемент которой численно, равен единице, если есть дуга, идущая от вершины к вершине. Если такой
Рис. 12.2 Пример орграфа с контуром
дуги нет, то элемент (ij) матрицы смежности равен нулю. При решении многокомпонентных задач используются орграфы, в которых любые вершины / и j может непосредственно соединять только одна дуга. В табл. 12.1 показана матрица смежности для орграфа, представленного на рис. 12.2.
Таблица 12.1. Матрица смежности для орграфа, представленного на рис. 12.2 Показатель i Показатель j 1 2 3 4 1 0 1 1 0 2 0 0 о 1 3 0 1 о 0 4 0 0 1 0
Ориентированные графы — основа представления многокомпонентных систем. В качестве вершин используются показатели, а дуги указывают влияние изменения одного показателя на изменение другого показателя. Орграф, отражающий проблему состояния окружающей среды и развития крупного промышленного центра, представлен на рис. 12.3. Построенную модель можно сделать более информативной, если дугам орграфа приписать знак "плюс" или "минус". Знак "плюс" ставится в том случае, если при увеличении значения показателя, от которого идет дуга, показатель, к которому дуга приходит, увеличивается- Знак "минус" ставится в обратном случае. Полученный орграф называется знаковым. Поскольку на дугах знакового орграфа стоит +1 или —1, то этот коэффициент обозначим еij.
Рис. 12.3. Знаковый орграф изучения развития промышленного центра и состояния окружающей природной среды
• Основой моделирования многокомпонентных задач являются импульсные процессы. Сущность импульсного процесса состоит в том, что какой-либо вершине задается определенное изменение. Эта вершина актуализирует всю систему показателей, поэтому следует назвать ее активной или активизирующей. Таких вершин может быть несколько — обычно исследователь сам должен указать активизирующие вершины и начальные изменения в этих вершинах. Предположим, что в модели, представленной знаковым орграфом на рис. 12.3, начальные значения всех показателей равны нулю, а активизирующая вершина — численность промышленных предприятий с начальным изменением, равным 1. Значения в других вершинах будут меняться с каждым шагом имитации t, причем это изменение может быть определено согласно формуле:
,где
Расчет изменений значений показателей рассматриваемой модели приведен в табл. 12.2. На рис. 12.4 представлен график изменения всех этих показателей. В рассматриваемых моделях есть важнейшая особенность — контур в формируемом орграфе обеспечивает моделирование обратной связи — неотъемлемого элемента любой сложной эколого-экономической системы. Есть контуры, которые усиливают тенденцию к отклонению от начального состояния. Такие контуры Т а 6 л и ц а 12.2. Моделирование изменений показателей макового орграфа (рис. 12.3) Номер итерации 1 Показатель i 0 1 2 3 4 vti pti vti pti vti pti vti pti vti pti 1. Состояние окружающей среды 0 0 -2 -2 -3 -1 -2 +1 -1 +1 2. Население +1 +1 +1 0 0 -1 0 0 +1 +1 3. Число прелпр1яп11"1 +1 +1 +2 +1 +2 0 +1 -1 +1 0 4. Чисто рабочих мест 0 0 +1 +1 +2 0 +2 0 +1 -1
( - Состояние окружающей среды ( - Население ( - Число предприятий ( - Число рабочих мест
Рис. 12.4. Изменение показателей в соответствии с результатами моделирования на основе орграфа рис. 12.3 называют контурами положительной обратной связи. Контуры, которые подавляют тенденцию отклонения от начального состояния, называют контурами отрицательной обратной связи. Например, контур, представленный на рис. 12.5, характеризует подавление тенденции отклонения от начального состояния.
Рис. 12.5. Контур отрицательной обратной связи
Контур положительной обратной связи содержит четное число дуг со знаком "минус ", контур отрицательной обратной связи — нечетное число дуг со знаком "плюс". Наличие в модели многих контуров, усиливающих отклонение, предполагает неустойчивость. В то же время наличие многих контуров, противодействующих отклонению, также может приводить к неустойчивости за счет увеличения колебаний. Если колебания показателей затухают и система приходит в определенное состояние, характеризующееся определенным уровнем показателей, то данная система устойчива. Различают абсолютную устойчивость и импульсную устойчивость. Абсолютная устойчивость предполагает ограниченность значений в оследовательности vti , t= 1,2,… Импульсная устойчивость предполагает ограниченность значений в последовательности pti , t= 1,2,… • Сфера применения орграфов еще больше расширяется, если использовать не знаковые, а взвешенные орграфы. Во взвешенном орграфе каждой дуге присваивается не знак, а коэффициент, больший или меньший единицы (со своим знаком). Импульсная или абсолютная устойчивость взвешенного орграфа предупреждает о том, что в системе что-то не в порядке, необходимо изменить структуру системы (добавить новые вершины, Ж удалить или добавить дуги, изменить коэффициенты) или провести искусственное регулирование. С помощью орграфов удается объединить в модели системы различные социальные, экономические и экологические показатели. Часть из этих показателей может иметь статистическую базу, часть — не иметь, а часть — оцениваться качественно. С помощью решения многокомпонентных задач можно оценить тенденцию развития системы, что безусловно ценно. Но при уточнении модели можно сформировать количественный прогноз изменения показателей системы, а также найти различные варианты воздействия на изучаемую систему с целью получения лучшего варианта. • До сих пор рассматривались ориентированные графы, в у которых единственной количественной характеристикой является весовой коэффициент (или знак) на дуге. Для прогнозирования экосистем этого может быть недостаточно, поскольку специалистов может интересовать не только вопрос, какой будет система, но и в какие сроки система достигнет того или иного состояния. В этом необходимо каждой дуге поставить в соответствие не только коэффициент, определяющий сияние одного показателя на другой, но и задержку реализации изменения одного показателя в ответ на изменение другого. Если эта задержка равна нулю, то изменение показателя будет произведено мгновенно, если же указан определенный интервал времени, то изменение показателя будет произведено только по прошествии этого интервала. Эти возможности еще более усиливают применяемый математический аппарат и делают его еще более привлекательным. Рассмотрим простейший пример, в котором используются временные задержки. На рис. 12.6 представлен орграф модели раз-
Рис. 12.6 Взвешенный орграф с временными задержками для изучения развития промышленного центра и состояния окружающей среды
вития промышленного центра и состояния окружающей среды. В нем даны весовые коэффициенты и время задержки реализации воздействия одного показателя на другой, выраженное в годах.
Рис. 12.7. Изменение показателей в соответствии с результатами моделирования на основе орграфа, представленного на рисунке 12.6
В результате моделирования на основе данного взвешенного орграфа с временными задержками можно получить тенденцию изменения показателей в привязке к оси времени. Полученный график представлен на рис. 12.7.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Анализ и решение многокомпонентных задач» з дисципліни «Екологія і економіка природокористування»
