Неопределенность при принятии решений может быть уменьшена путем сбора дополнительной информации, за которую нужно платить. Максимальная сумма денег, которую стоит заплатить, и является стоимостью достоверной информации . Так, если бы мы в нашей кондитерской заранее знали спрос на следующий день, то готовили бы столько пирожных, сколько обеспечивают максимальный доход (см. диагональ табл.2.7.1). В этом случае ожидаемый доход был бы равен 6×0.1+12×0.2+18×0.3+24×0.3+30×0.1=18.6
Стоимость достоверной информации есть разница между этим ожидаемым доходом и максимальным ожидаемым доходом без достоверной информации . Это число 18.6 – 14 = 4.6 равно минимальным ожидаемым возможным потерям. Таким образом, наша кондитерская может заплатить 4.6 руб. в день за информацию о спросе да следующий день, т.е. это максимальная плата за маркетинговые услуги.
244 Использование математического ожидания и среднего квадратичного отклонения для оценки риска. Если решение принимается однократно, то необходимо определить степень отклонения от математического ожидания, т.е. вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонение для оценки риска. Чем меньше среднее квадратичное отклонение, тем больше уверенности, что принятое решение даст результат, близкий к математическому ожиданию. Рассмотрим применение среднего квадратичного отклонения для оценки риска на небольшом примере.
Пример 2.7.6. Предприятие производит некоторую продукцию, спрос на которую в течение месяца 6, 7, 8 или 9 ящиков с вероятностями 0,1; 0,3; 0,5; 0,1 соответственно. Затраты на производство одного ящика равны 45 тыс. руб. Предприятие продает один ящик по цене 95 тыс. руб. Если ящик с продукцией не продается в течение месяца, то она портится и предприятие не получает дохода. Сколько ящиков следует производить? Рассчитаем доходы по каждой альтернативе и каждому исходу, математическое ожидание дохода и среднее квадратичное отклонение по каждой альтернативе и занесем в табл. 2.7.9. Таблица 2.7.9. Возможные исходы: спрос ящиков в месяц Объем производства (ящиков) 6 (0,1) 7 (0,3) 8 (0,5) 9 (0,1) Ожидаемый доход (тыс. руб.) Среднее квадратичное отклонение 6 300 300 300 300 300 0 7 255 350 350 350 340,5 28,5 8 210 305 400 400 352,5 63,73 9 165 260 355 450 317 76 Поясним расчеты для альтернативы производить 8 ящиков. Если спрос 6 ящиков, то доход составит 6×95 – 8×45 = 210 тыс. руб. Если спрос 7 ящиков, то доход составит 7×95 – 8×45 = 305 тыс. руб. Если спрос 8 ящиков, то доход составит 8×95 – 8×45 = 400 тыс. руб. Если спрос 9 ящиков, то доход тот же, так как произведено всего 8. Ожидаемый доход 210×0,1+305×0,3+400×0,5+400×0,1=352,5. Дисперсия дохода составит (210 –352,5)2×0,1 + (305–352,5)2×0,3 + + (400–352,5)2×0,5+(400–352,5)2×0,1=4061,25.
245 Среднее квадратичное отклонение равно 25,4061=63,73. Итак, если принимаемое решение будет многократно использовано, то лучшая альтернатива производить 8 ящиков в месяц, при этом будет обеспечен максимальный средний доход 352,5 тыс. руб. Но если необходимо принять разовое решение, то предпочтительнее произвести 7 ящиков, при этом ожидаемая прибыль несколько меньше, зато риск резко сокращается: в первом случае ожидаемая прибыль будет лежать в пределах 352,5 ± 63,73, а во втором случае ожидаемая прибыль будет лежать в пределах 340,5 ± 28,5. В любом случае решение должен принимать руководитель с учетом его опыта, склонности к риску и степени достоверности оценок вероятностей спроса. Вся информация для принятия решения содержится в табл. 2.7.9.
Использование понятия полезности при определении размеров риска. На принятие решения оказывают большое влияние субъективные качества лица, принимающего решение (ЛПР), такие как: • финансовое состояние ЛПР; • отношение ЛПР к риску вообще; • настроение или состояние здоровья ЛПР; • множество других, даже непосредственно не относящихся к бизнесу причин. Теория полезности позволяет ЛПР влиять на денежный результат исходов согласно своим оценкам их полезности. Каждый может приспосабливать процесс принятия решения к своим запросам.
Пример 2.7.7. Для примера рассмотрим два варианта инвестиций 1000 руб. По первому варианту без риска можно получить 10% прибыли на вложенный капитал, по второму варианту можно, либо потерять весь капитал с вероятностью 0.6, либо его удвоить с вероятностью 0.4. В первом случае гарантированный выигрыш составит 100 руб., во втором случае средний выигрыш равен 0×0.6+1000×0.4=400 руб. Относительно получаемого среднего выигрыша вторая альтернатива явно предпочтительна, и если игрок безразличен к риску, он ее и выберет. Если он к риску не безразличен, а подавляющее число людей именно таковыми и являются, то выбор будет зависеть главным образом от финансового состояния игрока. Игроки, имеющие скромный денежный доход, предпочтут не
246 рисковать, и выберут гарантированный доход в 100 руб. Для игрока, обладающего достаточно крупным капиталом, проигрыш 1000 руб. невелик, и он предпочтет рискнуть. Рисковать будут также игроки, патологически склонные к финансовым авантюрам. Таким образом, каждый игрок по-разному оценивает полезность
того или иного исхода. Американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном была предложена методика численного определения функции полезности , и было показано, что игрок при принятии решения (выбор альтернативы) будет стремиться к максимизации ожидаемой полезности, которая вычисляется как математическое ожидание полезностей всех исходов, составляющих данную альтернативу. Процедура построения индивидуальной функции полезности U(x) состоит из двух этапов. Этап 1. Присваиваются произвольные значения полезностей выигрышам для худшего (хmin) и лучшего (xmax) исходов (например, U(xmin)=0 и U(xmax)=100). Тогда полезности промежуточных выигрышей будут находиться в интервале от 0 до 100. Этап 2. Игроку предлагается на выбор: получить некоторую гарантированную сумму v, находящуюся между хmin и xmax, либо принять участие в игре, в которой с вероятностью р выигрывается сумма xmax и с вероятностью (1 – р) сумма хmin. При этом вероятность р меняется до тех пор, пока игрок станет безразличным в отношении к выбору между получением гарантированной суммы v и игрой. Пусть указанное значение вероятности равно р0. Тогда U(v)= р0U(xmax)+ (1 – р0)U(xmin). Таким образом, строится функция полезности для любого v. В общем случае график функции полезности может быть трех типов (рис. 2.7.1). U U U
а б в
Рис. 2.7.1. Типы функций полезности Неймана – Моргенштерна для игрока, не склонного к риску (а), безразличного к риску (б), склонного к риску (в).
247 В рассмотренном выше примере xmin= –1000, а xmax =1000. Пусть U(xmin)=0 и U(xmax)=100. Необходимо оценить полезность гарантированного выигрыша v=100. Если игрок (средне обеспеченный) согласен принять участие в игре (выиграть 1000 с вероятностью р или проиграть 1000 с вероятностью (1 – р)) вместо гарантированного выигрыша в 100 руб. при условии, что р не менее 0.8, значит р0=0.8 и U(100)=0.8×100+0.2×0 =80. Ожидаемая полезность первой альтернативы будет равна 80, а ожидаемая полезность второй альтернативы 0.6×0+0.4×100=40, то есть для данного игрока предпочтительнее первая (безрисковая) альтернатива. В данном случае это решение прямо противоположно выбору, сделанному на основе критерия ожидаемого дохода, из-за учета риска, связанного с возможным исходом инвестиций по второму варианту.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Стоимость достоверной информации» з дисципліни «Математична економіка»
