НЕЧІТКА БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНА ІЄРАРХІЧНА МОДЕЛЬ ПІДТРИМКИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
Як зазначалося вище, майже кожна більш-менш складна еко-номічна задача прийняття рішення (індивідуального і тим паче колективного) є задачею прийняття рішень в умовах ризику за наявності багатьох критеріїв. Задача оцінки скінченної множини варіантів (стратегій) і век-торної оптимізації пов’язана з невизначеністю при спробі вияви-ти взаємну (відносну) важливість різних аспектів (критеріїв) що-до прийняття рішень. У [136] подано аналіз різних нечітких моделей, які можуть бути використані в експертних і дорадчих системах і які доцільно застосовувати в умовах неповноти, неод-нозначності, недовизначеності, розпливчастості вихідної інфор-мації та зумовленого цим ризику. При побудові нечітких моделей важливу роль відіграють лінгвістичні змінні. З їх допомогою за певними правилами можна формалізувати (девербалізувати) які-сну інформацію стосовно об’єкта прийняття рішень, представле-ну у вербальній (словесній) формі фахівцями-експертами, вико-ристовуючи розпливчасті (нечіткі) множини. У наукових публікаціях щодо прийняття рішень сполучення те-рмінів «багатокритеріальний» і «нечіткий» зустрічаються досить часто. Однак, як зазначається зокрема в [136], більшість авторів, сформулювавши на початку аналізу задачу прийняття рішень як не-чітку та багатокритеріальну, вже на першому ж кроці її розв’язання (дослідження) використовують певну згортку критеріїв і надалі ви-вчають скалярну нечітку задачу прийняття рішень. Згортки, як пра-вило, вводяться інтуїтивно, на підставі здорового глузду, залежно від змісту конкретної задачі, раціональних суджень тощо. У [51, 76, 78] запропонований дещо інший підхід — модифікація методу АНР (Analytic Hierarchy Process), розробленого Т. Л. Сааті для підтримки прийняття рішень при багатокритеріальному ви-борі одного з множини об’єктів (варіантів), який ще називають методом аналізу ієрархій (МАІ) (див. 5.3.5.1). У літературі описані алгоритми (різні його модифікації), які для подолання браку кі- лькісних даних використовують інформацію (оцінки), отриману на підставі спеціально прийнятих і використовуваних штучних шкал оцінювання [122, 341, 355]. Втім, як підкреслюється зокрема в [355], застосування такого підходу, що будується на описовому характері даних, не завжди дає бажані результати. Запропонована в [51, 85] та наведена далі модифікація МАІ полягає у використанні понятійного і математичного апаратів те-орії нечітких (розпливчастих) множин, який вперше був запро-понований у працях Л. А. Заде [137, 353]. Завдяки цьому стає можливим безпосереднє оперування різного роду вербальними (лінгвістичними) даними. У ряді праць, зокрема в [181], розглядається поняття нечіткої (розпливчастої) множини. Нехай Х — довільна непуста множина. Нечіткою підмножиною множини Х називається множина пар , де . (5.18) Функція називається функцією належності до нечіткої множини , а Х — базовою множиною чи базовою шка-лою. Для кожного конкретного значення х є Х величина набуває певного значення із замкненого інтервалу [0; 1], що на-зивається ступенем належності елемента х до нечіткої множини . Носієм нечіткої множини називається підмножина множи-ни X, яка містить лише ті елементи множини X, в яких значення функції належності є більшими від нуля. Функції належності однієї й тієї ж множини можуть бути різ-ними при визначенні їх як різними людьми, так і однією люди-ною залежно від настрою останньої, схильності до ризику, від мети побудови нечіткої підмножини, розв’язуваної задачі, обра-ної конкретної методики побудови тощо. Лінгвістична змінна [137, 181] характеризується набором (b, Т(b), Х, G, М), в якому b — назва лінгвістичної змінної; Т(b) — терм-множина лінгвістичної змінної b, тобто множина лінгвістичних (ве-рбальних) значень змінної, кожне з яких є нечіткою змінною з обла-стю визначення X; G — синтаксичне правило (має звичайну форму граматики), породжує назви (імена) a О Т(b) вербальних значень лінгвістичної змінної b; М — семантичне правило, яке ставить у від- повідність кожній нечіткій змінній a О Т(b) нечітку множину — зміст нечіткої змінної a. Для спрощення запису формул по-значають множину як , а множину Т(b) як Т, коли йдеться про певні нечіткі змінні a і лінгвістичні змінні b. Окрім цього, вико-ристовують спрощене визначення лінгвістичної змінної як трійки (b, Т, X), вкладаючи у позначення те саме розуміння, що й вище. Підкреслимо, що лінгвістичною змінною є змінна, яка задана на деякій шкалі і приймає значення, що є словами та словосполу-ками природної чи штучної мов. Значення лінгвістичної змінної описуються нечіткими (розпливчастими) множинами. Ступінь належності елементів х до нечіткої множини інтерпретується, зокрема в [181], як суб’єктивна міра того, наскіль-ки елемент х О Х відповідає поняттю, сутність якого формалізується нечіткою множиною. Під суб’єктивною мірою розуміють, як прави-ло, визначений опитуванням експертів ступінь відповідності елеме-нта х О Х поняттю, яке формалізується нечіткою множиною. Існує два класи методів побудови функції належності нечіткої (розпливчастої) множини — прямі та опосередковані. Найпрос-тіше функція належності нечіткої множини, що відповідає зна-ченню лінгвістичної змінної b, будується за прямими методами для одного експерта. При побудові експерт кожному елементу множини Х ставить у відповідність певний ступінь належності , який, на його погляд, найкращим чином узгоджується зі змістовним навантаженням (інтерпретацією) множини . Відпо-відність між ступенями належності з інтервалу [0; 1] та елемен-тами х множини Х може бути задана у вигляді таблиці, прикладу, графіка, формули, що задає аналітичну форму функції належнос-ті нечіткої множини ( М X). Опосередковані методи ґрунтуються на «обережнішому» ви-користанні особи як вимірювального приладу. Найбільш застосо-вуваним з цієї групи є метод попарних порівнянь. Розглянемо йо-го сутність. Функція належності визначається, зокрема, за матрицею попарних порівнянь , елементи якої являють собою деякі оцінки інтенсивності належності елементів до нечіт-кої множини у порівнянні з елементами . Якщо припус-тити, що значення функції належності відомі для всіх , наприклад, (i О І = {1,2,...,n}), то попарні порівняння можна представити квадратною матрицею відношень М = {mij}, де mij = ri / rj. Якщо відношення точні, то маємо співвідношення: , де n — власне значення матриці М, знаючи яке, можна відшукати вектор r (з урахуванням умови ), r' — вектор-стовпчик, транспонований до r. У [340] показано, що в загальному випадку емпіричний вектор повинен задовольняти задачу знаходження власного значення матриці М, де — найбільше власне значення. Задача зво-диться до знаходження власного вектора r, який задовольняє рівнянню: . (5.19) Оскільки відомо, що це рівняння має єдиний розв’язок, то значення координат власного вектора r, який відповідає макси-мальному власному значенню , поділені на їх суму, будуть шуканими ступенями належності. Щодо одержання матриці попарних порівнянь, то вона буду-ється таким чином (див. 270—273). Проводиться опитування експерта відносно того, наскільки, на його думку, елемент є більш значущий для поняття, що описується нечіткою множи-ною, ніж елемент . Поняття, якими може оперувати експерт, та детерміністична інтерпретація цих понять відповідними величи-нами наведені у табл. 5.1. На підставі даних таблиці для під-вищення узгодженості оцінок вважається, що , звідки — для діагональних елементів і — для елементів, симетричних відносно головної діагоналі. Припустимо, що опитування експертів проведено на детермі-ністських засадах бездоганно і матриця попарних порівнянь по-будована абсолютно точно. Тоді матриця М має такий вигляд:
У такому разі для визначення j-го елемента вектора r можна скористатися такою процедурою. Обчислимо суму елементів j-го стовпчика матриці М. Нехай ця сума є деяке число , тобто: . (5.20) Одержимо, що
Таким чином, . Здійснюючи процедуру, аналогічну попередній, по всіх стовп-чиках матриці М, будуємо шуканий вектор r. Тепер припустимо, що, як це часто має місце, матриця попар-них порівнянь побудована неточно. Тоді описану процедуру що-до визначення вектора r можна використати для визначення лише його початкового наближеного значення в ітераційному процесі розв’язку рівняння (5.19). При цьому відхилення λmax від n може бути використане для оцінки точності розв’язку системи рівнянь на певному кроці ітераційного методу. У [29] сформульовано ряд додаткових умов, яким повинні за-довольняти функції належності нечітких множин, що описують терми лінгвістичних змінних. Запропонований у [51, 85] алгоритм є однією з модифікацій МАІ і складається з п’яти основних кроків. Їх черговість і спектр основних операцій на кожному кроці узгоджується із загальною методикою МАІ, враховуючи, звичайно, вербальний характер вихідних даних. Один із способів використання якісних (вербальних) оцінок та пов’язаних з ними нечітких множин наводиться у табл. 5.4. Таблиця 5.4 Інтенсивність Якісна оцінка Позначення якісної оцінки Нечітка множина з відповідною якісною оцінкою 1 Однаково важливо ОВ {(1,0 / 1)} 3 Ненабагато важливіше НВ {(0,5 /1), (0,75 /2), (1,0 /3),(0,75 /4), (0,5 /5)} 5 Суттєво важливіше СВ {(0,5 /3), (0,75 /4), (1,0 /5),(0,75 /6), (0,5 /7)} 7 Значно важливіше ЗВ {(0,5 /5), (0,75 /6), (1,0 /7),(0,75 /8), (0,5 /9)} 10 Абсолютно важливіше АВ {(0,5 /9), (1,0 /10)} Отже, маємо такі основні кроки: Крок 1. Формування багаторівневої ієрархічної структури, яка містить інтегрований критерій, часткові критерії та об’єкти (про-екти, стратегії) досліджування та впорядкування (вибору). Крок 2. Побудова матриць попарних порівнянь з нечіткими оцінками для елементів, які знаходяться на окремих рівнях ієрархії. Крок 3. Обчислення значень вагових коефіцієнтів (векторів пріо-ритетів) , кожного з елементів ієрархічної структури з погляду елемента, який перебуває на безпосередньо вищому рівні ієрархії. Крок 4. Обчислення вектора пріоритетів , який визначає не-чіткі оцінки аналізованих об’єктів (проектів, стратегій) з по-гляду інтегрованого критерію. Крок 5. Впорядкування досліджуваних об’єктів (проектів) відносно величини нечітких оцінок . Опишемо сутність операцій, здійснюваних на окремих кроках пропонованого алгоритму. 1. (Крок 1). Формування багаторівневої ієрархічної структури критеріїв. Загальний вигляд ієрархічної багатокритеріальної струк-тури зображено на рис. 5.3. На верхньому рівні цієї структури (рі-вень 0) знаходиться лише один елемент — інтегрований критерій оцінювання, який можна розкласти (деталізувати) на кілька елемен-тів (часткових критеріїв), тобто рівень 1, що йде безпосередньо за даним рівнем ієрархії. Кожний елемент цього рівня ієрархії, в свою чергу, деталізується на кілька елементів наступного рівня і т. д. На найнижчому рівні ієрархічної структури перебувають стратегії (об’єкти, проекти), які необхідно аналізувати та впорядковувати чи обирати один з них (елементи досліджуваної множини).
Рис. 5.3. Загальний вигляд багаторівневої ієрархічної структури Позначення: К — інтегрований критерій оцінювання; Кij — і-й критерій j-го рівня; i = 1, ..., m на рівні 1; і = 1, ..., р на рівні 2; і = 1, ..., s на рівні N – 1; хi — і-й об’єкт (проект), що аналізується, і = 1, ..., n; m, p, s, n — кількість елементів відповідно на рівнях 1, 2, N – 1, N. Побудована в такий спосіб ієрархічна багаторівнева структура дозволяє обмежитися відносно невеликою кількістю елементів на кожному рівні ієрархії та подолати проблеми, спричинені склад-ністю інтегрованого критерію (як зазначалося в [341, 342]), що розглядається в багатьох випадках як критерій згортки. 2. (Крок 2). Побудова матриці попарних порівнянь елементів з нечіткими оцінками. Для аналізу критеріїв оцінювання, що містяться на певних рі-внях ієрархічної структури, пропонується побудова матриці попарних порівнянь елементів у вигляді: , де — нечіткі порівнювані елементи; — нечіткі вагові коефіцієнти (пріоритети) порівнюваних елементів; n — кількість порівнюваних елементів. Побудовані у такий спосіб матриці порівнянь дають можли-вість здійснити попарне порівняння елементів на певному рівні ієрархічної структури з погляду їх важливості щодо критерію, який знаходиться на безпосередньо вищому рівні ієрархії і який є, власне, їх агрегованим критерієм (згорткою). При аналізі чис-лових критеріїв (заданих на відповідних числових шкалах) можна обчислити окремі вагові коефіцієнти та їх взаємне попарне відношення у вигляді числових величин. Враховуючи нестачу (відсутність) кількісних даних щодо оці-нки відношення (і, j = 1,...,n) пропонується відійти від при-йнятого в МАІ детермінованого підходу введенням та застосу-ванням лінгвістичного підходу, який ґрунтується на теорії розпливчастих (нечітких) множин [29, 181, 341]. Для того, щоб одержати наведену вище нечітку матрицю попарних порівнянь, проводять опитування експерта відносно того, наскільки, на його думку, є вагомішим (значущим) для поняття, яке описується нечіткою множиною , ніж елемент . У табл. 5.4 наводяться поняття (лінгвістичні змінні), якими оперує експерт, інтерпрета-ція цих понять — нечіткі (розпливчасті) множини , що можна представити одним з можливих переходів від вербального опису до нечіткого (девербалізації). Визначення нечітких множин (девербалізація), які репрезен-тують використовувані значення лінгвістичної змінної, досяга-ється експертизою. Техніка визначення функції належності для нечітких (розпливчастих) множин наводиться, зокрема, в [181]. За допомогою цієї техніки стає можливим визначення нечіткої множини, що відповідає введеним термам лінгвістичної змінної. Після цього можна здійснювати необхідні логічні та алгебраїчні операції з нечіткими множинами [3, 29, 138, 181]. Отже, матриця попарних порівнянь (використовувана в МАІ) може бути модифікованою. Замість числових попарних відно-шень вводяться вербальні (розпливчасті) відношення (і, j = 1,...,n). Тут символом «~» (тильда) позначено нечіткі кате-горії, тобто такі, які визначаються за допомогою нечітких мно-жин. Маючи вербальні оцінки, можна сконструювати низку роз-пливчастих матриць попарних порівнянь. Для ієрархічної структури, представленої на рис. 5.3, це: на першому рівні — одна матриця для порівняння часткових крите-ріїв К11, К21,…, Кm1; на другому рівні — m матриць для порівнян-ня часткових критеріїв К12, К22,…, Кp2 з погляду кожного з m кри-теріїв першого рівня, на рівні N — s матриць для порівняння n об’єктів з погляду кожного з критеріїв безпосередньо вищого рі-вня, тобто рівня (N-1). 3. (Крок 3). Обчислення векторів нечітких ваг елементів ієрар-хічної структури. Для наведеної на рис. 5.3 ієрархічної структури знаходимо, наприклад, вагові коефіцієнти критеріїв К11, К21, …, Кm1 з погляду інтегрованого критерію К або критеріїв К12, К22, …, Кp2 з погляду, наприклад, критерію К11 тощо. Маючи на меті знаходження цих вагових коефіцієнтів застосовується техніка середньої геомет-ричної для нечіткої множини [321]. Знаходження вагових коефі-цієнтів полягає в обчисленні середньої геометричної для еле-ментів матриці у такий спосіб: , (5.21) а також знаходженні нормалізованих нечітких вагових коефіцієнтів . (5.22) Вони утворюють для кожної матриці порівнянь певний розпливчастий вектор пріоритетів . 4. (Крок 4). Обчислення (розпливчастого) вектора пріоритетів об’єктів (проектів) найнижчого рівня з погляду інтегрованого критерію (нульового рівня). Вектор пріоритетів який визначає оцінки досліджуваних об’єктів з погляду інтегрованого критерію К, згідно з методикою МАІ можна одержати множенням матриць, стовпчиками яких є вектори пріоритетів ряду поруч розташова-них рівнів ієрархічної структури, відповідно з їх зв’язками, вка-заними на рис. 5.3. Нехай розглядається деякий l-й рівень ієрархічної структури, елементи якого перебувають на безпосередньо вищому рівні що-до елементів рівня l + 1, і одночасно вони знаходяться на один рі-вень нижче, ніж елементи рівня l – 1. Нехай маємо: на рівні l; на рівні l + 1; — j-й елемент l-го рівня; — i-й елемент l + 1-го рівня; z — елемент рівня l – 1, якому безпосередньо підпорядковані всі елементи множини Y. Нехай на рівні l – 1 маємо певну функцію пріоритетів для відповідних елементів з рівня l: ; на рівні l маємо функцію пріоритетів для елементів l + 1 рівня, які підпорядковані окремим елементам l-го рівня: . Отже, з погляду відповідних елементів рівня l – 1 розпливчасті вагові оцінки рівня l + 1 можна подати за такою формулою: . Якщо позначити через матрицю з елементами то маємо для трирівневої ієрархічної структури згідно з [321] , де — вектор-стовпчик пріоритетів, що складається з елементів , а — вектор-стовпчик пріорите-тів, що складається з елементів . Користуючись методом математичної індукції, одержимо для N-рівневої ієрархічної структури, зображеної на рис. 5.3, вектор пріоритетів елементів найнижчого (N-го) рівня з погляду елемен-та (інтегрованого критерію К) найвищого рівня ієрархічної стру-ктури (0) у вигляді: (5.23) де вектор-стовпчик репрезентує розпливчасті вагові оцінки аналізованих об’єктів з погляду інтегрованого кри-терію (К); — вектор-стовпчик розпливчастих вагових коефіці-єнтів елементів рівня 1 з погляду інтегрованого критерію (К); — матриці, вектор-стовпчиками яких є розпливчас-ті вектори пріоритетів відповідних елементів певного l-го рівня з погляду елемента безпосередньо вищого рівня (l – 1) ієрархічної структури (з урахуванням їх зв’язків, зазначених на рис. 5.3). 5. (Крок 5). Впорядкування досліджуваних об’єктів щодо ве-личини нечітких оцінок Після реалізації третього i четвертого кроків алгоритму маємо оцінки , і = 1,..., n, що являють собою розпливчасті коефіцієн-ти аналізованих об’єктів з погляду інтегрованого критерію К. На даному кроці необхідно порівняти між собою , і = 1,..., n для впорядкування об’єктів відповідно до величин цих оцінок. Але, оскільки одержані оцінки є лише нечіткими (роз-пливчастими) множинами, то впорядкування об’єктів не є очеви-дним. Таке впорядкування не можна виконати коректно, якщо спи-ратися лише на максимальні величини носіїв нечітких множин або лише на ті величини носіїв, яким відповідають максима-льні ступені належності. Впорядкування лише відносно максима-льних значень носіїв нечіткої множини не завжди призводить до коректного результату, бо великі значення носіїв можуть висту-пати з малими ступенями належності, і навпаки. Впорядкування лише на підставі тих значень носіїв, які мають максимальний ступінь належності, теж не завжди дає добрий результат, бо при цьому не враховуються всі інші елементи носія без урахування їх величин і відповідних їм значень функції належності. Умовою правильного впорядкування об’єктів є врахування як величин но-сіїв, так і їх ступеня належності у нечітких множинах і = 1, ..., n. Для цього в модифікованому алгоритмі доцільно використати, зокрема, концепцію максимізуючої множини за Йєном [321]. Максимізуючою множиною є така нечітка множина: , (5.24) де , (5.25) Т — множина всіх носіїв, які представляють розпливчасті оцінки аналізованих об’єктів Ступінь належності в максимізуючій множині визначає ступінь близькості кожної величини носія до максимальної вели-чини носія у множині Т, тобто в множині всіх носіїв нечітких множин які представляють оцінки об’єктів, що аналізуються з погляду інтегрованого критерію. У межах кроку 5 виконуються такі етапи: 1) утворення максимізуючої множини; 2) формування для кожного об’єкта розпливчастої множини , яка є модифікованою оцінкою , тобто (5.26) де (5.27) L — оператор мінімума, що відповідає логічній операції «І»; 3) формування нечіткої множини — такої, що (5.28) де , (5.29) Ъ — оператор максимуму (логічне «або»), застосування якого приводить до того, що кожен об’єкт порівнюватиметься з іншими на під-ставі максимального ступеня належності в множині У рамках даного етапу залежно від прийнятої системи гіпотез можливі різні модифікації. Зокрема, враховуючи ентропію як міру невизначеності, формування нечіткої множини можна виконати, якщо замість (5.29) скористатися таким виразом: . Для цього кожну з розпливчастих множин розподілимо на груп. Подібне групування слушно здійснити, зокре-ма, за принципом близькості у кожній розпливчастій підмножині відповідних значень носіїв. Тобто, якщо , то . Тут e — задане число. Приймаючи для кожної множини , одержимо , де 4) формування нечіткої множини через відносну нормалі-зацію елементів нечіткої множини : , (5.30) де (5.31) 5) впорядкування досліджуваних об’єктів (проектів) за величиною ступеня належності у множині (від бі-льшого значення серед до меншого). Зауважимо, що отримані таким чином результати обчислень справедливі лише в рамках досліджуваної групи об’єктів (проек-тів, стратегій). За величиною ступеня належності в нечіткій мно-жині можна обрати серед досліджуваних об’єктів той, для якого , а решту розташувати відповідно до спадання вели-чини функції належності Перевагою наведеного підходу є те, що за його допомогою відносно неважко проаналізувати причини отримання тих чи ін-ших оцінок, використовуючи сформовану на кроці 1 ієрархічну структуру (див. рис. 5.3), аналізуючи (змінюючи), у разі необхід-ності, відповідні матриці якісних («м’яких») попарних порівнянь, верифікуючи вихідні судження. Наведений алгоритм, який названо «розпливчастим методом аналізу ієрархій» (РМАІ), — ефективний при розв’язуванні проблем прийняття рішень з урахуванням ризику, які вимагають багатовимірних (багатокритеріальних) порівнянь, та коли складно чи немож- ливо одержати необхідні кількісні дані або процес здобуття кількіс-них даних потребує багато часу і зусиль, коштів, а натомість є мож-ливість відносно просто дістати вербальні (описові) дані. Не останньою перевагою РМАІ є можливість представлення вербальних даних у вигляді, зручному для комп’ютерної обробки інформації в системах підтримки прийняття рішень, обтяжених ризиком. Алгоритм зручний для створення інтерактивної інфор-маційної системи багатокритеріального аналізу за відсутності кі-лькісної інформації, що дозволяє залучити кінцевого користувача (суб’єкта прийняття рішень) безпосередньо до процесу оціню-вання варіантів, верифікації вербальних («м’яких») оцінок тощо. РМАІ допускає ряд модифікацій залежно від прийнятої раціо-нальної системи гіпотез, різних, адекватних ситуації, правил пе-реходу від лінгвістичного опису альтернатив до розпливчастого (девербалізації) тощо.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «НЕЧІТКА БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНА ІЄРАРХІЧНА МОДЕЛЬ ПІДТРИМКИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ» з дисципліни «Ризикологія в економіці та підприємстві»
