В преобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения методов количественного анализа являются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инвестиционных проектов возникает необходимость в использовании условных рент (contingent annuity), в которых важную роль играют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Обсудим методы работы с такими рентами, причем для конкретности ограничимся страхованием. Выплата члена ренты в страховании зависит от наступления страхового события. Назовем такие ренты страховыми аннуитетами. Заранее число платежей в страховых аннуитетах, а часто и их срок, остаются неизвестными. Согласно договору страхования страхователь уплачивает вперед страховщику некоторую сумму — премию {premium). В свою очередь он (или иной выгодоприобретатель) имеет право получить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления этого события q заранее известна (на основании прошлого опыта, по аналогии и т.д.), то теоретически, без учета всех прочих факторов (в том числе и фактора времени), премия Р определяется как P=Sq. Приведенное равенство лишь иллюстрирует принцип финансовой эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Покажем в общем виде, как реализуется этот принцип при расчете страховой нетто-премии, под которой понимается теоретическая цена страхования. 331
На практике премия, которая поступает страховой организации, обычно превышает величину нетто-премии, так как включает помимо нетто-премии и так называемую нагрузку (loading), последняя охватывает все расходы по ведению дела и некоторую прибыль страховой организации. Определение брутто-пре-мии (нетто-премия плюс нагрузка) является чисто арифметической задачей, поэтому далее речь пойдет только о нетто-премии. Пусть Р — размер премии, qn — вероятность страхового события (например, смерть застрахованного через п лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму Р (пусть премия выплачивается в начале года), если же это событие наступит во втором году, то сумма премий равна 2Р и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит: Pq{ + 2Pq2 + ... + nPqn. Полученная величина хотя и обобщает все взносы застрахованного с учетом вероятностей их выплат, однако при суммировании соответствующих величин не принимается во внимание, что премии выплачиваются в разные моменты времени. С учетом этого фактора (с помощью дисконтирования сумм платежей) находим математическое ожидание современной стоимости (актуарная стоимость) взносов: Е(А) = P[qx + (1 + v)q2 + (1 + v + v2)^ + ... + + (1 + v + ... + v"-Xb где v — дисконтный множитель по ставке /. Обратимся теперь к выплате страховой суммы. Положим, что она выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sqv во втором году Sq2 и т.д. Математическое ожидание с учетом фактора времени (актуарная стоимость) выплат, очевидно, можно определить как E(S) = S(vqx + v2^ + ... + V^). Исходя из принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, теперь можно написать равенство 332
E(S) = E(A), которое позволяет найти искомое значение нетто-премии Р. Таков в общем виде теоретический подход к методу расчета нетто-премии, принятый в личном страховании. Пусть теперь речь идет об имущественном страховании. Если можно полагать, что вероятности наступления страхового случая постоянны, то актуарная стоимость премий за п лет составит Е(А) = P[q + (1 + v)q + ... + (1 + v + ... + V^x)q] = PqK, где К -AI+]?(AI-/)V'. В свою очередь актуарная стоимость выплат страховых сумм находится как £(5)-512* Из равенства актуарных стоимостей взносов и выплат находим искомый размер нетто-премии. В практике страховых, или как их часто называют, актуарных расчетов разработаны специальные приемы формирования упомянутых выше потоков платежей (страховых аннуитетов) и расчета их актуарных стоимостей. До обсуждения проблем формирования страховых аннуитетов, связанных с жизнью людей {life annuity) и их использования для расчетов премий и страховых резервов необходимо ознакомиться с методикой определения необходимых вероятностей и ряда вспомогательных величин, с помощью которых существенно упрощается решение соответствующих задач. Речь пойдет о таблицах смертности и коммутационных функциях.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Финансовая эквивалентность в страховании» з дисципліни «Фінансова математика»
