Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во времени
Изменения размеров членов ренты происходят здесь согласно арифметической прогрессии с первым членом R и разностью а, иначе говоря, они образуют последовательность Л, R + a, R + 2а,..., Л + (л - \)а. Величина /-го члена ренты равна R + (/ - \)а. Определим наращенную сумму такой ренты. Для ренты годовой постнумерандо получим1: / а\ navn Л = [*+7]0»;< Г' (61) где v — дисконтный множитель по ставке /. 1 Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126
Напомним, что atri — современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1. Нетрудно видеть, что в приведенной записи результат представляет собой современную стоимость постоянной ренты с членом (R + a/i) за вычетом поправочной величины nav" / /. Наращенную сумму ренты легко получить, умножив формулу (6.1) на (1 + /)л. После чего
па J-»+TN-T
(6.2)
Определим теперь влияние на современную стоимость ренты абсолютного прироста платежей. Для этого преобразуем (6.1):
А = Ra ... +
an-i ~ nv"
-а.
(6.3)
Данная формула показывает, что А линейно зависит от а. Аналогичным образом на основе (6.2) получим линейную зависимость для S:
(s.., - п) S= Rs .+ "''. а.
(6.4)
Формулы (6.1) и (6.2) и их преобразования (6.3) и (6.4) получены для рент постнумерандо. В свою очередь для рент пренумерандо находим
(1 + 0 = п-\ / па (1 + /). LV А =
navn / I л»' nav = l* + 7i*«/ SnJ ~ S=\R+-
(6.5) (6.6)
Напомним, что ал;/, i"ir/ — коэффициенты приведения и наращения дискретной постоянной ренты пренумерандо (см. § 5.5). ПРИМЕР 6.1. Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн руб. Последующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн руб. Начис- 127
ление процентов производится по 20% годовых. Срок выплат — 10 лет. По условиям задачи Я = 15, а = 2, / = 20%, п = 10. Табличные значения коэффициентов а10;20 = 4,192472, Vю = 0,161505. Применив (6.1), получим 2 10 х 2 х 0,161505 А = (15 + ~у)4,192472 - — ' = 88,661 млн руб. Используя взаимозависимость А и S, находим S = 88,661 х 1,210 = 548,965 млн руб. Или применяя (6.3) и (6.4): аю20- Ю* 1.2"10 А = 15а10:2о + ' 0>2 2 = 62,887 + 25,774 = = 88,661 млн руб., s = 15sio;2o + Sl°: о 2 2 = 389«380 + 159,585 = = 548,965 млн руб. Влияние динамики платежей здесь очевидно. Например, постоянная рента с Я = 15 дает накопление в сумме около 390 млн руб., "вклад" прироста платежей в наращенную сумму составил почти 160 млн руб., или примерно 20%. Продолжим пример . Пусть теперь рента предполагает сокращение платежей по 1 млн в год. Тогда я10;20 _ 0,2 а1О:2О-10х1,2-10 А = 15а10:2о + ' по (-D = 62,887 - 12,887 = = 50 млн руб.
0,2 s = 15sio;20 + 10:п о (-D = 389,380 - 79,793 =
= 309,557 млн руб. Иногда при анализе переменных рент может возникнуть обратная задача: определение первого члена ренты R или ее прироста а по всем остальным заданным параметрам ренты. Например, когда известна сумма, которую нужно аккумулировать 128
за п лет, и необходимо разработать конкретный план реализации этой задачи. Получив R из (6.1) и (6.2), находим для годовых рент постнумерандо: А + R = (6.7) а_ Г и;/ па а_ i' R = (6.8) S + SnJ В свою очередь, если определяется размер прироста при заданном R, то
_ (А - Rami)i а a„.s - nv" '
(6.9)
а =
(S-RsnU)i Sn;i - »
(6.10)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во времени» з дисципліни «Фінансова математика»
