Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку по определению не изменяет резуль-татов наращения или дисконтирования. Начнем с простых ставок. Пусть за последовательные периоды л,, л2,..., пк начисляются простые проценты по ставкам /,, /2,..., ik. Искомые средние получим посредством приравнивания соответствующих множителей наращения друг к другу: 1 + N7= 1+2/1,/,. Откуда 2/1,/, ''—JT' (4л) где N = Z/i, — общий срок наращения процентов. Найденный показатель представляет собой среднюю арифметическую взвешенную с весами, равными продолжительности отдельных периодов. Аналогичным способом определим среднюю учетную ставку: 2лД ПРИМЕР 4.1. Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: два, три и пять месяцев. Какой размер ставки приведет к аналогичному наращению исходной суммы? Находим среднюю ставку: 66
- 0,2 х 2 + 0,22 х 3 + 0,25 х 5 / = — =0,231, или 23,1%. Если усредняются сложные переменные во времени ставки сложных процентов, то из равенства множителей наращения (iWf-lw/.niwJT'... следует /.ф+/1)Л,(1 + /2)Л2...-1. (4.3) Средняя в этом случае вычисляется как взвешенная средняя геометрическая. ПРИМЕР 4.2. Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка, равная 15%, для следующих трех лет она составляет 20%. Средняя ставка за весь срок ссуды равна /-Vl,152x1,23 -1-0,17974 или 17,974%. Рассмотрим теперь усреднение ставок, применяемых в нескольких однородных операциях, которые различаются суммами ссуд и процентными ставками. Искомые средние ставки находим из условия равенства соответствующих сумм после наращения процентов. Так, если применяются простые ставки и сроки этих операций одинаковы (я), то из равенства
следует
5>,(1 +л/) = 2/>,(1 + */,) Т- (4.4)
Как видим, весами здесь являются суммы ссуд. Перейдем к усреднению сложных ставок для однородных ссудных операций. Пусть сроки операций одинаковы (п). Из равенства соответствующих множителей наращения следует 67
Формулы (4.4) и (4.5) получены для частных случаев, когда сроки ссуд одинаковы. В общих случаях они, разумеется, не работают. Однако решение соответствующих задач возможно, но более сложным путем.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Средние процентные ставки» з дисципліни «Фінансова математика»
