Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления (date of maturity, due date). Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга (principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения. К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения: / — проценты за весь срок ссуды; Р — первоначальная сумма долга; S — наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока; / — ставка наращения процентов (десятичная дробь); п — срок ссуды. Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то I означает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме А". Начисленные за весь срок проценты составят / = Pni. Наращенная сумма, таким образом, находится как S = Р + / = Р + Pni = />(1 + #10. (2.1) 20
Выражение (2.1) называют формулой наращения по простым процентам или кратко — формулой простых процентов, а множитель (1 + ni) — множителем наращения простых процентов. График роста по простым процентам представлен на рис. 2.1. Заметим, что увеличение процентной ставки или срока в к раз одинаковым образом влияет на множитель наращения. Последний увеличится в (1 + kni) / (1 + ni) раз.
S) \ S Pni р
—► 1 2 Рис. 2.1 ПРИМЕР 2.1. Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 700 тыс.руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых (/ = 0,2): / = 700 х 4 х 0,2 = 560 тыс. руб.; S = 700 + 560 = 1260 тыс. руб. Увеличим теперь ставку в два раза. Сумма процентов при этом, естественно, удвоится. Однако наращенная сумма увеличится в (1 + 2 х 4 х 0,2) / (1 + 4 х 0,2) = 1,444 раза. Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. Поскольку процентная ставка, как правило, устанавливается в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Аналогичная проблема возникает и в случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления. Рассмотрим наиболее распространенный в практике случай — с годовыми периодами начисления. Очевидно, что срок ссуды необязательно равен целому числу лет. Выразим срок п в виде дроби 21
п = -£, (2.2) где / — число дней ссуды, К — число дней в году, или временная база начисления процентов (time basis). При расчете процентов применяют две временные базы: К = 360 дней (12 месяцев по 30 дней) или К= 365, 366 дней. Если К = 360, то получают обыкновенные или коммерческие проценты (ordinary interest), а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты (exact interest) . Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням. В свою очередь точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по табл. 1 Приложения. Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов. 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или ACT/ACT. 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Banker's Rule), распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых — во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается, как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если / = 364, то/? = 364/360 = 1,01111. Множитель наращения за год при условии, что / = 20% , составит 1,20222. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в 22
практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно обозначается как 360/360. Очевидно, что вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется. Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев, но разумеется, не всегда, больше приближенного (в чем легко убедиться, определив среднее за год число дней в месяце, которое равно 30,58), то метод начисления процентов с точным числом дней ссуды обычно дает больший рост, чем с приближенным. ПРИМЕР 2.2. Ссуда в размере 1 млн руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применим все три метода. Предварительно определим число дней ссуды: точное — 258, приближенное — 255. 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365): S = 1 000 000(1 + -fif-0,18) = 1 127 233 руб. 365 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365): S = 1 000 000(1 + -||^-0.18) = 1 129 000 руб. ооО 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу ды (360/360): 25*5 S = 1 000 000(1 + —Ц-0,18) = 1 127 500 руб. Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных года и есть необходимость в делении суммы процентов между ними (например, при определении годовых сумм дохода и т.д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году: / = /j + /2 = Pnxi + Pn2i, здесь tij и п2 — части срока ссуды, приходящиеся на каждый календарный год. 23
Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом: S = Р[\ + л,/, + л2/2+-.+*«'«) - W1 + 2 "'Ч' <2-3> где /, — ставка простых процентов в периоде /, nt — продолжительность периода с постоянной ставкой, п = Z /?,. ПРИМЕР 2.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим 1 + 2п^ = 1 + 1 х 0,16 + 0,5 х 0,17 + 0,5 х 0,18 + + 0,5 х0,19 = 1,43. Начисление процентов при изменении сумм депозита во времени. Принципиально ничего не меняется, если сумма, на которую начисляются проценты, изменяет свою величину во времени (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т.п.). В этом случае / = 2 Л/1/, (2.4) где Rj — остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств, /?. — срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете. В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий способ, основанный на преобразовании (2.4). Для этого измерим интервалы между моментами изменений величины остатка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процентах (а не в десятичных дробях как выше). После чего получим /- уяп.1ш2*&:*-. (2.5) у J J loo i к ' 24
Как и прежде К означает число дней в году, a tj — срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете. Величину ЛRjt} /100 называют процентным числом (interest number), а делитель — процентным (или постоянным) делителем (interest divisor). ПРИМЕР 2.4. Движение средств на счете характеризуется следующими данными: 05.02 поступило 12 млн руб., 10.07 снято 4 млн руб. и 20.10 поступило 8 млн руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых. Процентный делитель составит 365 : 18 = 20,27778. Расчет суммы процентных чисел приведен в следующей таблице.
Дата Движение средств Остаток {Rj) Срок Ц) Процентное число 05.02 12 12 155 18,6 10.07 -4 8 102 8,16 20.10 8 16 72 11,52 31.12 — 16 — —- Итого 38,28 Сумма процентов за весь срок равна 9Т77я = 1 *®®® млн ру^' Реинвестирование по простым ставкам. В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока. Фактически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае 5= (1 + Vi)0 + *2У-0 + *А)-. <2-б> где it — размер ставок, по которым производится реинвестирование. Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо (2.6) имеем
5= F\\ + *,)«, где т — количество повторений реинвестирования.
(2.7)
25
ПРИМЕР 2.5. 100 млн руб. положены 1-го марта на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? Если начислять точные проценты (365/365), то q-i па о* 5 = 100(1+Ж0'2И1 + збГ0'2)(1+^°'2) = = 105,013 млн руб. Начисление обыкновенных процентов (360/360) при реинве-стированиии дает 30 S = 100(1 + -z~r0,2)3 = 105,084 млн руб.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Формула наращения» з дисципліни «Фінансова математика»
