Понятие шкалы и типы шкал. В основе оценки лежит процесс сопоставления значений качественных или количественных ха рактеристик исследуемой системы значениям соответствующих 781 шкал. Исследование характеристик привело к выводу, что все возможные шкалы принадлежат к одному из нескольких типов, определяемых перечнем допустимых операций на этих шкалах. Формально шкалой называется кортеж из трех элементов <Х, ф, Y>, где X - реальный объект; Y - шкала; Ф - гомоморфное отображение X на Y. В современной теории измерений определено: ^ = {xbX2^-"^Xp"'^Xn^Rx) - эмпирическая система с отношени ем, включающая множество свойств х., на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение R^. В процессе измерения необходимо каждому свойству л: .е X поставить в соот ветствие признак или число, его характеризующее. Если, напри мер, целью измерения является выбор, то элементы х^ рассматри ваются как альтернативы, а отношение R^ должно позволять сравнивать эти альтернативы; Г = {ф(х1),.--,ф(х^),/?^} - знаковая система с отношением, яв ляющаяся отображением эмпирической системы в виде некото рой образной или числовой системы, соответствующей измеряе мой эмпирической системе; ф G Ф - гомоморфное отображение X на F, устанавливающее соответствие между Z и У так, что {ф(х1)»-->ф(л:„)}е i?^ только тогда, когда {х\^->,Хп)^ Rx- Тип шкалы определяется по Ф ={фр..., ф^Д, множеству допус тимых преобразований х. —> у.. В соответствии с приведенными определениями, охватываю щими как количественные, так и качественные шкалы, измере ние эмпирической системы X с отношением R^ состоит в опреде лении знаковой системы Y с отношением R , соответствующей измеряемой системе. Предпочтения Л^ на множестве ХхХ в ре зультате измерения переводятся в знаковые (в том числе и коли чественные) соотношения R на множестве Ух У. Шкалы номинального типа. Самой слабой качественной шка лой является номинальная (шкала наименований, классификаци онная шкала), по которой объектам х. или их неразличимым груп пам дается некоторый признак. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах. 782 Шкалы номинального типа задаются множеством взаимно однозначных допустимых преобразований шкальных значений. Название «номинальный» объясняется тем, что такой признак дает объектам лишь ничем не связанные имена. Они для разных объектов либо совпадают, либо различаются; никакие более тон кие соотношения между значениями не зафиксированы. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов. Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду из мерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов. Именно поэтому шкалы номинального типа часто называют также шкалами наименований. Примерами измерений в номинальном типе шкал могут слу жить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объек тов и т.п. Единственная цель таких измерений - выявление раз личий между объектами разных классов. Если каждый класс состоит из одного объекта, шкала наименований используется для различения объектов. На рис. 1 изображено измерение в номинальной шкале объек тов, представляющих три множества элементов А, В, С. Эмпирическая система X а еА b еВ {c,d}eC Гомоморфное отображение ф Знаковая система У Рис.! Здесь эмпирическую систему представляют четыре элемента ае А,Ье B,{c,d}e С, принадлежащих соответствующим множе ствам. Знаковая система представлена цифровой шкалой наиме- 783 нований, включающей элементы 1, 2, ..., п и сохраняющей отношение равенства. Гомоморфное отображение ф ставит в со ответствие каждому элементу из эмпирической системы опреде ленный элемент знаковой системы. Следует обратить внимание на две особенности номинальных шкал. Во-первых, из рис. 1 видно, что элементам end поставлено в соответствие одно и то же значение шкалы измерения. Это озна чает, что при измерении эти элементы не различаются. Во-вторых, при измерении в шкале наименований символы 1, 2, 3,..., W, используемые в качестве шкальных значений, являются не числами, а цифрами, служащими лишь для обозначения и раз личия объектов. Так, цифра 2 не является в два раза или на еди ницу больше цифры 1 в отличие от чисел 2 и 1. Всякая обработка результатов измерения в номинальной шка ле должна учитывать перечисленные особенности. В противном случае могут быть сделаны ошибочные выводы по оценке сис тем, не соответствующих действительности. Шкалы порядка. Шкала называется ранговой {шкала порядка), если множество 0 состоит из всех монотонно возрастающих до пустимых преобразований шкальных значений. Монотонно возрастающим называется такое преобразование ф(х), которое удовлетворяет условию: если Xj > ^2, то и ф(л:^) > (р{х2) для любых шкальных значений х^ > ^2 из области определе ния ф(л:). Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов как номинальный тип, но и используется для упорядо чения объектов по измеряемым свойствам. Измерение в шкале порядка может применяться, например, в следующих ситуациях: • когда необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве. Это ситуация, в которой интересуются не сравне нием степени выраженности какого-либо их качества, а лишь вза имным пространственным или временным расположением этих объектов; • когда нужно упорядочить объекты в соответствии с каким- либо качеством, но при этом не требуется проводить его точное измерение; • когда какое-либо качество в принципе измеримо, но в на стоящий момент не может быть измерено по причинам практи ческого или теоретического характера. 784 Примером шкалы порядка может служить шкала твердости минералов, предложенная в 1811 г. немецким ученым Ф. Моосом и до сих пор распространенная в полевой геологической работе. Другими примерами шкал порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, «сортности» товаров в торговле, раз личные социологические шкалы и т.п. Любая шкала, полученная из шкалы порядка S с помощью произвольного монотонно возрастающего преобразования шкальных значений, будет также точной шкалой порядка для исходной эмпирической системы с отношениями. Несколько более «сильными», чем порядковые шкалы, явля ются шкалы гиперпорядка. Допустимыми для этих шкал являются гипермонотонные преобразования, т.е. преобразования ф(д:), та кие, что для любых Xj, Х2, х^ и х^. ф (Xj) - ф (^2) < ф (Хз) - ф (Х^Х только когда х^, х^, х^ и х^ принадлежат области определения Ф {х) и Xj - х^ < ^3 ~ •^4- При измерении в шкалах гиперпорядка сохраняется упорядо чение разностей численных оценок. Шкалы интервалов. Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов. Он содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида Ф (х) = ах + Ъ, где Л' е F - шкальные значения из области определения Y; а> 0; b - любое значение. Основным свойством этих шкал является сохранение неизмен ными отношений интервалов в эквивалентных шкалах: ^{'^2 ^Ф(^1)-Ф(.У2) ^ ^^^^^ Х^-Х^ ф(^з)-<Ри4) Отсюда и происходит название данного типа шкал. Примером шкал интервалов могут служить шкалы темпера тур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например от шка лы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразо ванием шкальных значений: 785 /^F = 1,8/° с + 32. Другим примером измерения в интервальной шкале может служить признак «дата совершения события», поскольку для из мерения времени в конкретной шкале необходимо фиксировать масштаб и начало отсчета. Григорианский и мусульманский ка лендари - две конкретизации шкал интервалов. Таким образом, при переходе к эквивалентным шкалам с по мощью линейных преобразований в шкалах интервалов проис ходит как изменение начала отсчета (параметр /?), так и масшта ба измерений (параметр а). Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Од нако, кроме того, они сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись Х 3 - Х 4 означает, что расстояние между х^ и ^2 в А* раз больше расстоя ния между л'з и л:^, и в любой эквивалентной шкале это значение (отношение разностей численных оценок) сохранится. При этом отношения самих оценок не сохраняются. В социологических исследованиях в шкалах интервалов обыч но измеряют временные и пространственные характеристики объектов. Например, даты событий, стаж, возраст, время выполнения заданий, разницу в отметках на графической шкале и т.д. Однако прямое отождествление замеренных переменных с изучаемым свойством не столь просто. В качестве другого примера рассмотрим испытание умствен ных способностей, при котором измеряется время, требуемое для решения какой-нибудь задачи. Хотя физическое время измеряет ся в шкале интервалов, время, используемое как мера умствен ных способностей, принадлежит шкале порядка. Чтобы постро ить более совершенную шкалу, необходимо исследовать более богатую структуру этого свойства. Типичная ошибка: свойства, измеряемые в шкале интервалов, принимаются в качестве показателей для других свойств, моно тонно связанных с данными. Применяемые для измерения свя- 786 занных свойств исходные шкалы интервалов становятся всего лишь шкалами порядка. Игнорирование этого факта часто при водит к неверным результатам. Шкалы отношений. Шкалой отношений (подобия) называет ся такая шкала, в которой Ф состоит из преобразований подобия ф(л:) = ах, flf > О, где л'б Y - шкальные значения из области определения У; а - действительные числа. Нетрудно убедиться, что в шкалах отношений остаются неиз менными отношения численных оценок объектов. Действитель но, пусть в одной шкале объектам а^ и а^ соответствуют шкаль ные значения Xj и ^2, а в другой ф (X|) = ах^ и ф (^2) = ах2, где а > О - произвольное действительное число. Тогда имеем х\ _^{х\) _ axi Х2 ф(-^2) ^^2 Вид этого соотношения объясняет название шкал отношений. Примерами измерений в шкалах отношений являются изме рения массы и длины объектов. Известно, что при установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Так, производя измерение в килограммах, получаем одно чис ленное значение, при измерении в фунтах - другое и т.д. Однако можно заметить, что в какой бы системе единиц ни проводилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалент ной, не меняется. Этим же свойством обладает и измерение рас стояний и длин предметов. Как видно из рассмотренных примеров, шкалы отношений от ражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта. Шкалы отношений образуют подмножество шкал интервалов фиксированием нулевого значения параметра Ь: b =0. Такая фик сация означает задание нулевой точки начала отсчета шкальных значений для всех шкал отношений. Переход от одной шкалы 787 отношений к другой эквивалентной ей шкале осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения), т.е. изменени ем масштаба измерений. Шкалы отношений, являясь частным случаем шкал интервалов, при выборе нулевой точки отсчета сохраняют не только отношения свойств объектов, но и отноше ния расстояний между парами объектов. Шкалы разностей. Шкалы разностей определяются как шка лы, единственные с точностью до преобразований сдвига (р{х)= X +Ь, где л:е Y- шкальные значения из области определения Y\ b - действительные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета. Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необхо димо измерить, насколько один объект превосходит по опре деленному свойству другой объект. В шкалах разностей неизмен ными остаются разности численных оценок свойств. Действитель но, если Xj и ^2 оценки объектов а^ и а^ в одной шкале, а ф (Xj) = = ATj + 6 и ф {х^= Х2+ Ьв другой, то имесм! ф GYJ) - ф (Л'2) = (Х, + 6) - {Х^ +Ь)= Х^ - Л'2. примерами измерений в шкалах разностей могут служить из мерения прироста продукции предприятий (в абсолютных едини цах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение числен ности учреждений, количество приобретенной техники за год и т.д. Другим примером измерения в шкале разностей является ле тосчисление (в годах). Переход от одного летосчисления к друго му осуществляется изменением начала отсчета. Как и шкалы отношений, шкалы разностей являются частным случаем шкал интервалов, получаемых фиксированием парамет ра а: (а=1), т.е. выбором единицы масштаба измерений. Точка отсчета в шкалах разностей может быть произвольной. Шкалы разностей, как и шкалы интервалов, сохраняют отношения ин тервалов между оценками пар объектов, но в отличие от шкалы отношений не сохраняют отношения оценок свойств объектов. Абсолютные шкалы. Абсолютными называют шкалы, в кото рых единственными допустимыми преобразованиями Ф являют ся тождественные преобразования: 788 Ф(х) = {е}, где е{х) = X. Это означает, что существует только одно отображение эм пирических объектов в числовую систему. Отсюда и название шкалы, так как для нее единственность измерения понимается в буквальном, абсолютном смысле. Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В ка честве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и действительные числа, если, кроме целых единиц, присутствуют и части объектов. Абсолютные шкалы являются частным случаем всех ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотно шения между числами - оценками измеряемых свойств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т. д. Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, такие, например, как степенная шкала ф(х) = ах^; а> О, Ь> О, аФ1, ЬФ\ И ее разновидность - логарифмическая шкала ф(л:) =х^;Ь> О, Не останавливаясь подробно на промежуточных вариантах, изобразим для наглядности соотношения между основными ти пами шкал в виде иерархической структуры основных шкал, где стрелки указывают включение совокупностей допустимых пре образований более «сильных» в менее «сильные» типы шкал. При этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе (р{х). Некоторые шкалы являются изоморфными, т.е. равносильны ми. Например, равносильны шкала интервалов и степенная шка ла. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шка ле отношений. Обработка характеристик, измеренных в разных шкалах. При проведении измерений необходимо отделять существенно несрав нимые альтернативы от несравнимых альтернатив, допускающих косвенную сравнительную оценку. Так, например, если эксперт считает несравнимыми альтер нативы у^ и У2, яо в то же время считает альтернативу у^ более предпочтительной, а альтернативу У2 менее предпочтительной, чем у2^, то можно с определенными оговорками считать у^ более 789 предпочтительной, чем у2- Отношение R при наличии несравни мых альтернатив является отношением частичного порядка. В этом случае вводится понятие квазишкалы. Особенностью измерения и оценивания качества сложных систем является то, что для одной системы по разным частным показателям качества могут применяться любые из типов шкал - от самых слабых до самых сильных. При этом для получения на дежного значения показателя может проводиться несколько из мерений. Кроме того, обобщенный показатель системы может представлять собой некую осредненную величину однородных частных показателей. При измерении и оценке физических величин обычно труд ности не возникают, так как перечислимые величины измеряют ся в абсолютной шкале. Измерение, например, ряда антропомет рических характеристик осуществляется в шкале отношений. Более сложной является оценка в качественных шкалах. Однако отдельные показатели в процессе системного анализа уточняют ся, и, как следствие, появляется возможность от измерения и оцен ки в качественных шкалах перейти к оценке в количественных шкалах. В любом случае при работе с величинами, измеренными в разных шкалах, необходимо соблюдать определенные правила, которые не всегда очевидны. Иначе неизбежны грубые просчеты и промахи при оценке систем. Проиллюстрируем широко распространенную ошибку при использовании балльной оценки. Пусть для экспертизы представ лены две системы А и Б, оцениваемые по свойствам у^, у 2, у у у^> Качество каждой системы оценивается как среднее арифметичес кое по пятибалльной системе, но оценка в баллах является вслед ствие округления не совсем точной. Так, например, свойства, имеющие фактический уровень 2,6 и 3,4 балла, получат одинако вую оценку 3 балла. Результаты экспертизы приведены в табл. 1. По фактическому качеству лучшей является система ^4, а по результатам экспертизы лучшей признают систему Б. Таким об разом, способы измерения и обработки их результатов оказыва ют существенное влияние на результаты. Избежать ошибок можно, используя результаты, полученные в теории шкалирования, они определяют правила и перечень до пустимых операций осреднения характеристик. Остановимся под робнее на правилах осреднения. 790 Т а б л и ц а 1 Свойство системы У> Уг Уг У^ Суммарная оценка Оценка системы А истинная 4,4 3,3 2,4 4,4 14,5 в баллах 4 3 2 4 13 Б истинная 3,6 3,7 2,6 2,6 12,5 в баллах 4 4 3 3 14 Проводить осреднение допускается только для однородных характеристик, измеренных в одной шкале. Это означает, например, что не имеет физического смысла вычисление среднего значения скорости для мобильного абонент ского пункта, если слагаемыми являются скорость передачи данных и скорость перемещения этого объекта. Иными словами, осредняются только такие значения ; / . , / = ! , . . . , « , которые пред ставляют собой или оценки различных измерений одной и той же характеристики, или оценки нескольких различных однород ных характеристик. Каждое значение показателя у- может иметь для исследовате ля различную ценность, которую учитывают с помощью коэф фициентов значимости е., причем Ее,- /=1 Л. Для получения осредненного значения показателя наиболее часто применяют основные формулы осреднения, приведенные в табл. 2. Простая и взвешенные средние величины различаются не толь ко по величине (не всегда), по способу вычисления, но и по своей роли в решении задач системного анализа. При этом средневзве шенные величины используются для сравнения систем с учетом «вклада» различных факторов в осредненную оценку. Рассмотрим, например, среднее количество информации, по лучаемой из сети Интернет организацией, пользующейся услуга ми различных прикладных служб. Если эта средняя величина вхо дит в систему показателей себестоимости, протоколов работы, типов используемых линий, то следует применять взвешенное среднее, так как произведение невзвешенного среднего на общую 791 пропускную способность линий не даст количества полученной информации, поскольку служба электронной почты использует ся, например, значительно реже, чем WWW, и, следовательно, вносит меньший «вклад» в общее количество получаемой инфор мации. Если же необходимо изучить связь количества получае мой информации с днем недели, то следует применять простое среднее количество информации за сутки, полностью абстраги руясь от различий между типами служб. 1 Вид осреднения Средневзвешенное арифметическое (СВА) Среднее арифметическое (СА), частный случай СВА при равнозначности измерений (с,.=1/я) Среднее квадратическое (СК) Средневзвешенное геометрическое (СВГм) Среднее геометрическое (СГм), частный случай СВГм при с,.= \/п Средневзвешенное гармоническое (СВГр) Среднее гармоническое (СГр) Т а б л и ц а 2 Формула п /=1 1 " Уса = Г Z .V/ " /=1 /l " 2 >'СВГМ = П У [ ' /=1 ycrM="l^/i у СВГр ~ " 1 Усгр = "\^У1 Ч-1 -1 Среднее арифметическое используется в случаях, когда важ но сравнить абсолютные значения какой-либо характеристики нескольких систем. Например, скорость вывода на печать тек стов (лист/мин.) для различных печатающих устройств. Если при замене индивидуальных значений показателя на среднюю величину требуется сохранить неизменной сумму квад ратов исходных величин (измерение вариации характеристики в совокупности), то в качестве средней следует использовать сред нее квадратическое. Например, при определении местоположе ния источника радиоизлучения в радиоразведке вычисляется сред нее квадратическое отклонение нескольких измерений. 792 Среднее геометрическое, в свою очередь, используется для оп ределения относительной разности отдельных значений при не обходимости сохранения произведения индивидуальных величин тогда, когда среднее значение качественно одинаково удалено от максимального и минимального значений, т.е. когда важны не абсолютные значения, а относительный разброс характеристик. Например, если максимальная производительность процессора на операциях с данными целочисленного типа составляет для сжатия текстового файла миллион условных единиц, а для сжа тия изображений графических объектов - сто, то какую величи ну считать средней? Среднее арифметическое (500 000) качествен но однородно с максимальным и резко отлично от минимального. Среднее геометрическое с точки зрения логики дает верный от вет - 10 000. Не миллион и не сотня, а нечто среднее. В статистике среднее геометрическое находит применение при определении средних темпов роста. Среднее гармоническое используется, если необходимо, что бы неизменной оставалась сумма величин, обратных индивиду альным значениям характеристик. Пусть, например, в режиме обмена данными средняя скорость передачи данных по прямому каналу составляет 64 Кб/с, а средняя скорость по обратному ка налу - 2,4 Кб/с. Какова средняя скорость обмена данными? При замене индивидуальных значений скорости j^j = 64 и;;2 ~ 2,4 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время передачи в обе стороны, иначе средняя скорость может оказаться любой. Таким образом. / 3^CD = 2 ^ср 1 1 ,-1 _ + — ^ 4,8 Кб/с. 64 2,4 ) Приведенные примеры показывают, что в каждом конкрет ном случае требуется четкое определение допустимых условий применения средних величин. Соотношение между разными типами средних величин опре деляется правилом маэ1Сорс1нтности средних СГр < СГм < СА < СК. Использование необоснованных способов определения сред них величин может привести к искусственному завышению или занижению осредненного значения показателя качества системы. 793 Сводные данные по характеристикам разных шкал и перечень допустимых операций осреднения характеристик приведены в табл. 3. Как следует из этой таблицы, для величин, измеренных в но минальной шкале, никакие осреднения не допускаются. Среднее арифметическое применимо для величин, измерен ных в шкалах интервалов, разностей, отношений и абсолютной, но недопустимо для шкалы порядка. Более устойчивой оценкой среднего является медиана (50%-ный квантиль), которая рекомендуется как основной показатель для шкал порядка, интервалов, разностей, отношений и абсолютной. Математическое ожидание допустимо для шкал интервалов, раз ностей, отношений и абсолютных, но не столь устойчиво, как медиана. Применение его для величин, измеренных в шкале по рядка, является некорректным. Среднее геометрическое является единственно допустимым средним для степенных и логарифмических шкал, а также одним из допустимых для шкалы отношений. Для нее допустимы также средневзвешенное арифметическое, среднее гармоническое и сред нее квадратическое. Вопрос о применении средних в настоящее время исследован достаточно полно. Это нельзя сказать о средневзвешенных. Од нако для наиболее часто применяемого средневзвешенного ариф метического доказан следующий факт. Средневзвешенное ариф метическое, часто применяемое как обобщенный линейный критерий (аддитивная свертка при сведении векторной задачи к скалярной, при осреднении показателей и др.), допустимо при менять тогда и только тогда, когда значения частных показате лей можно представить мультипликативным метризованным от ношением линейного порядка или, другими словами, когда они измерены в шкале отношений. Доказано, что задача линейного программирования корректна, если коэффициенты ее целевой функции и ограничений измерены в шкале отношений. Перспективы развития теории шкалирования и ее примене ния для нужд математического обеспечения информационных систем связаны с дальнейшим развитием понятия измерения. Наиболее перспективным представляется расширение понимания шкалы путем привлечения понятий нечеткой и лингвистических переменных, используемых в теории нечетких множеств. Обоб щение понятия характеристической функции путем перехода к 794 Т а б л и ц а 3 Исходная эмпирическая система Отношение порядка Эквивалентность Линейный порядок То же с мульти пликативной метрикой 1 Линейный порядок |То же с аддитивной метрикой То же на оси 1 целых чисел Шкала Номиналь ная Порядка Интервалов Степенная Логарифми ческая Отношений Разностей Абсолютная Параметры, сохраняющиеся при переходе от одной шкалы к другой (из числа допустимых) Распределение по классам эквивалентности | Порядок Отношение разностей Ч>{У\)-^(У2) У\-Уг 9(V3) ф(>'4) УЪ У 4 Отношение разностей логарифмов 1пф(у|)-1пф(;;2) _ НУ\)-НУ2) In ф(з^з ) ~ ^" Ф(>'4 ) ^^(УЗ) ~ ^^(У4 ) Отношение логарифмов 1пф(:и1) _\пу^ 1пф(>;2) 1п>'2 Отношение оценок 9(jl) _ У\ Ч>{У2) У 2 Разность оценок ^{У\)-Ч>{У2) = У\ -У2 [Допустимых преобразований нет 1 ._. Допустимые виды сред нее нет нет да нет нет да да да другие нет нет нет СГр То же СВА, СГм, СГр, СК - Рекомендуемые (да-нет), допустимые (+) и недопустимые (-) виды обработки случайных величин средние медиа на 1 нет да да да да 1 да Л/(х) нет нет + + + 4- • разброс т нет нет да + + + другие нет - - характе ристики связи нет R(^,n) согг (^,Ti) 1 COV (^,Tl) понятию функции принадлежности Ц^^Е [0,1], используемой в этой теории, создает основу для введения более тонкой структуры из мерения качественных характеристик и учета неопределенностей, свойственных сложным системам на основе понятия нечеткой шкалы. Например, пусть рассматриваемое нечеткое множество - воз раст людей. Нечеткими переменными (шкальными значениями), означающими возраст, являются лингвистические переменные ;<молодой», «средний», «старый» с приписанными им функция ми принадлежности, которые можно определить так, как показа но на рис. 2. 80 Возраст Рис.2 При этом 20-летний человек относится к нечеткому подмно жеству возраста «молодой» с функцией принадлежности |Ь1^^^^^ = = 0,8, и он же с функцией принадлежности \х = 0,1 относится к нечеткому подмножеству возраста «средний».
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ШКАЛЫ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ ОЦЕНКЕ СИСТЕМ» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
