Заметную часть в математическом программировании (МП) составляет линейное программирование (см.), в котором ярко проявляются специфические трудности поиска экстремума на границе допустимой области переменных. Линейное програм мирование является наиболее простым и наиболее изученным разделом МП. В отличие от линейного программирования теория экстремаль ных задач, в которой целевая функция и/или функции, задающие ограничения, нелинейны, называется нелинейным программирова нием. В частности, таковым является квадратичное программиро вание (см.), в котором изучается задача поиска экстремума квадра тичной функции при линейных ограничениях типа равенств и/или неравенств. Линейное программирование первоначально развивалось как направление, разрабатывающее новые подходы к решению задач минимизации выпуклых функций, т.е. в рамках выпуклого про граммирования. Выпуклое программирование (см.) посвящено по иску экстремума выпуклой целевой функции на выпуклом мно жестве, обычно задаваемом в виде системы выпуклых неравенств. Класс задач оптимизации, в которых область определения переменных состоит из отдельных изолированных точек, состав ляет предмет изучения дискретного программирования (см.). Широкий класс нелинейных и дискретных задач может ре шаться с использованием рекуррентного подхода (методов типа математической индукции), являющегося основой динамическо го программирования (см.), идея которого первоначально была предложена Р. Беллманом [1]. Для решения задач оптимизации со случайными параметра ми разработано стохастическое программирование (см.). К МП относят также бесконечномерное программирование (см.), в рамках которого предложены методы решения экстремальных задач с бесконечным числом переменных (например, такие, в ко торых набором переменных являются функции или набор функ ций) и минимизируется (максимизируется) функционал. Развиты также методы решения задач оптимизации, в кото рых переменная принимает только два значения: «истинно» - «ложно» или «да» - «нет». Такие методы относят к булевому ли нейному программированию (см.). Методы МП находят применение в самых различных облас тях техники и экономики. 373 в советской экономике применение идей и методов МП было воспринято не сразу, лишь только после признания работ лауреа та Нобелевской премии в области экономики математика Л.В. Кан торовича за рубежом. Определенный вклад здесь был сделан в том числе профессорами Ленинградского политехнического институ та В.В. Новожиловым, С.А. Соколицыным, Б.И. Кузиным [15, 16] и др. В настоящее время экономическую теорию невозможно пред ставить без экономико-математических методов, основанных на результатах МП. Здесь достаточно упомянуть модели календар ного планирования (упорядочения во времени), расписания, пото ковые или транспорные модели; модели распределения и назначе ния', модели износа и замены оборудования (см. [5, 7, 9, 10, 15 и др.]). Экстремальные задачи независимо от рассматриваемого на правления исследовались в математике Л.С. Понтрягиным {прин цип максимума Понтрягина [13, 14]), Р.Л. Стратоновичем [17], применительно к теории управления - В.Г. Болтянским [2]. В ре зультате сформировалась теория оптимальных процессов. Анализ постановки и решения задачи МП позволяет выявить следующие особенности: • введение понятий целевая функция и ограничения и ориента ция на их формирование являются фактически некоторыми сред ствами постановки задачи; причем эти средства могут быть полез ны, даже если не удается сформировать систему непротиворечивых ограничений или записать целевую функцию в формальном виде; • при использовании методов МП появляется возможность объединения в одной модели разнородных критериев (разных размерностей, предельных значений), что очень важно при ото бражении реальных проектных и производственных ситуаций; • модель МП допускает (и даже ориентирует на это) выход на границу области определения переменных (в то время как ме тоды классической математики в основном приспособлены для поиска точек экстремумов во внутренней части области измене ния переменных); • изучение методов решения задач МП позволяет получить представление о пошаговом приближении к решению, т.е. о по шаговом алгоритме получения результата моделирования. Привлекательность методов МП для решения слабоформа- лизованных задач (каковыми, как правило, являются задачи пла нирования, распределения работ и ресурсов, загрузки оборудования 374 и другие задачи управления современным предприятием на на чальном этапе их постановки) объясняется рядом особенностей, отличающих эти методы от методов классической математики.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
