Вообще-то дискретные модели в математике существовали всегда. С них математика начиналась. Дискретные составляющие занимают большую часть в арифметике, алгебре, геометрии. В то же время есть некоторые принципиальные особенности, которые привели к вычленению этих составляющих и формирова нию дискретной математики как самостоятельного направления. Исходным материалом для формирования этого направления явились комбинаторные знания. Элемеитариая комбинаторика, характерная для древней мате матики, включала: фигурные числа, «магические» квадраты, гно моны, комбинаторные правила отыскания многоугольных фигур ных чисел, формировании числовых магических квадратов и т.п. Позднее появились матричные построения, правила подсчета числа сочетаний, перестановок, размещений с повторениями и т.п. Все эти результаты элементарной комбинаторики развивались первоначально в рамках теории чисел. Первые теоретические построения дискретной математики в форме комбинаторики (см.) начались в XVII в. и связаны с имена ми Б. Паскаля, П. Ферма, К. Гюйгенса, Я. Бернулли, с ранними работами Г. Лейбница. Немалое место комбинаторика занимала и в работах Л. Эйлера. Создание теории множеств связано с имена ми Г. Кантора и Б. Больцано, развитие дискретной математики - с рядом других выдающихся математиков, занимавшихся созда нием и развитием комбинаторных теорий (см. Комбинаторика). Другим важным направлением математики, которое в насто ящее время является основой объединения не только направле-НИИ дискретной математики, но и основой новой трактовки мно гих математических понятий, является теорыямиоэ/сеств (см. Те- оретико-мнолсественные представления). Создателем теории множеств считается представитель немецкой шко лы математиков Г. Кантор (Georg Cantor, 1845-1918), который препода вал в Галле с 1869 по 1905 г. Его работа «Основы общего учения о много образии» («Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre») была издана в 1883 г. Независимо от Кантора теорию бесконечных множеств создал чеш ский математик Б. Больцано (Bernhard Bolzano, 1781-1848), но его идеи были опубликованы позднее, после смерти. В теории множеств есть ряд понятий (безразмерное множество, кон тинуум, появление нового смысла при помещении рядом элементов из разных исходных множеств, парадоксы), которые отличают теорию множеств от классической математики. Поэтому теория Кантора не сразу была принята. Математики первоначально отказывались включить те орию множеств в состав математики. Для признания теории множеств полноправным математическим направлением много сделала группа французских математиков, рабо тавшая под псевдонимом Н. Бурбаки [1]. В XIX в. параллельно с теорией множеств стали развиваться математическая логика, математическая лингвистика, теория гра фов, а в XX в. - и семиотика. Во второй половине XX в. в приложениях математики воз росла роль разделов, необходимых для изучения разнообразных дискретных систем: разработка автоматов и автоматических ли ний, разнообразных электронных устройств и ЭВМ, организа ция производственных процессов, системы связи и управления, транспортные процессы и т.п. К этому времени в составе матема тики было накоплено много математических моделей, с помощью которых можно решать такого рода задачи. Это - графы, матри цы, дискретно-геометрические построения, аппарат анализа ло гических высказываний, вычислительные методы, основанные на принципах дискретного счета. Перечисленные модели имеют общим то, что в них рассматриваются множества, состоящие из дискретных элементов. Изложенное привело к тому, что совокупность направлений и средств моделирования дискретных процессов стали объединять единым названием - дискретная математика. Этим термином в 155 настоящее время обозначают возникшие независимо разделы ма тематики - теорию множеств, комбинаторику, математическую логику, математическую лингвистику, семиотику, теорию графов. Каждое из указанных направлений имеет свою историю. Но обобщающий аппарат теоретико-множественных представлений сказался удобным средством пояснения основных понятий, а час то - и доказательства теорем в математической логике, математи ческой лингвистике и даже в теории графов, и постепенно все эти методы стали объединять в единую область - дискретную матема тику [5-8]. В настоящее время на базе дискретной математики развивает ся ряд прикладных направлений кибернетики и теории систем - от разработки методов кодирования-декодирования информации до синтеза схем и некоторых классов управляющих систем [8]. В теории систем и системного анализа особая необходимость в применении методов дискретной математики возникает при пред ставлении ситуации классом самоорганизующихся систем (см.). При этом на основе указанных методов разрабатывают языки мо делирования и автоматизации проектирования, с помощью кото рых формируют модель. Необходимость в использовании методов дискретной матема тики возникает в тех случаях, когда алгоритм, который необходи мо получить для обеспечения повторяемости процесса принятия решения, не удается сразу представить с помощью аналитических или статистических методов. В этих случаях теоретико-множест венные, логические, лингвистические или графические методы по могают зафиксировать в алгоритме опыт или эвристики ЛПР. В принципе для отражения в алгоритме эвристик допустимы любые неформальные отображения. Однако такие эвристические алгоритмы широкого класса - от ГСН-алгоритмов (ГСН - «гру бая сила и невежество») до «хитрых», «жадных» и аналогичных алгоритмов (название их соответствует виду эвристики, опреде ляющей способ борьбы с перебором при моделировании реше ния) - часто оказываются далеко не эффективными. И здесь боль шую помощь в предварительной оценке реализуемости алгоритма, во введении некоторых формальных правил преобразования, по зволяющих применить ЭВМ и ускорить получение решения, мо гут оказать методы дискретной математики. Инженеров, занимающихся разработкой систем разного рода, не интересуют процессы получения формул и методов, теоремы 156 и тем более их доказательства, которые в монографиях по диск ретной математике представлены с использованием специфичес ких символов и приемов. В монографиях и даже в учебниках по дискретной математике обычно вводятся символика и правила преобразования, детально рассматриваются возможности этих правил, доказываются соответствующие теоремы. В то же время для практических приложений знание доказательств не обязатель но, важно знать, что и зачем применять. Кроме того, в области управления, проектирования сложных технических и производственных комплексов все чаще главной проблемой становится создание принципиально новых^ нетриви альных моделей. В таких случаях математика нужна как средство мышления, формирования понятий, что требует более глубокого понимания сути методов, умения оценить, какой из методов луч ше подходит для формирования модели в конкретной ситуации. Для этого специалист по системному анализу должен знать основ ные особенности методов дискретной математики - теоретико- лиюэюествеиных представлений (см.), математической логики (см.), математической лингвистики (см.), теории графов (см. Графичес кие представления). Для прикладных целей удобны справочные материалы, что и делается в [2-4] и в статьях данного издания по названным на правлениям в форме таблиц, в которых собраны основные отно шения теории множеств, функции и теоремы математической логики и т.д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
