Пусть X обозначает мноэ/сеснгво возмоэ/сных решений, содер жащее по крайней мере два элемента. Через SelA" обозначим под множество множества X, которое называют мно.жеством выби раемых (выбранных) региений. Часто это множество состоит из одного элемента, но в некоторых задачах оно может содержать и большее число элементов. Задача принятия решений состоит в осу ществлении выбора, т.е. в отыскании множества SelA'c использо ванием всей имеющейся в наличии информации. Процесс выбора невозможен без того, кто осуществляет вы бор, преследуя свои собственные цели. Человека (или коллектив, подчиненный достижению определенной цели), который делает выбор и несет ответственность за его последствия, называют ли цом, принимающим решение (ЛПР). Обычно выбранным (наилучшим) оказывается такое решение, которое наиболее полно удовлетворяет стремлениям, интересам и целям ЛПР. Желание ЛПР достичь определенной цели нередко удается выразить в математических терминах в виде максимиза ции (или минимизации) некоторой числовой функции, которую называют целевой функцией, или критерием. Однако в более слож ных ситуациях ЛПР приходится иметь дело не с одной, а сразу с несколькими функциями подобного типа. Пусть есть т (т ^ 2) целевых функций, определенных на мно жестве X. Они образуют так называемый векторный критерий/= ^ (/рЛ? •••'ЛЛ который принимает значения в т-мерном ариф метическом пространстве Л'". Это пространство называют кри териальным пространством. Задачу выбора решений, включающую множество возможных решений X и векторный критерий/, называют многокритериаль ной задачей (или задачей векторной оптимизации). Ключевую роль в многокритериальной оптимизации играет понятие парето-оптимального решения. Решение .v* G X называ ют парето-оптимальным {отпималъным по Парето, эффективным или неулучшаемым), если не существует другого возможного реше-ния X G X, такого, 4\ofj^x) '^/.{х*) для всех номеров / = 1,2, ..., т , причем по крайней мере для одного номерау G {1,2, ..., т) имеет место строгое неравенство Дх) >f.{x*). Другими словами, паре- то-оптимальное решение не может быть улучшено (в данном слу чае увеличено) ни по какому критерию (ни по какой группе кри териев) при условии сохранения значений по всем остальным критериям. Множество всех парето-оптимальных решений час то обозначают PiX) и называют мноэ/сеством Парето (миоэ/се- ством Эдэ/сворта-Парето), или областью компромиссов. Заметим, что в частном случае, когда критерий всего один, т.е. т = 1, определение парето-оптимального решения превращается в определение точки максимума функции/j на множестве X. Это означает, что парето-оптимальное решение представляет собой обобщение обычной точки максимума числовой функции. Если каждый критерий/j трактовать как функцию полезнос ти /-ГО участника экономики, то к понятию парето-оптимально го решения приводит воплощение идеи социальной справедли вости, состоящей в том, что для коллектива всех участников более выгодным будет только то решение, которое не ущемляет инте ресы ни одного из них в отдельности. При этом в случае перехо да от одного парето-оптимального решения к другому если и происходит улучшение (увеличение) одного из критериев, то обя зательно это улучшение будет сопровождаться ухудшением (уменьшением) какого-то другого критерия (или сразу несколь ких критериев). Таким образом, переход от одного парето-опти мального решения к другому невозможен без определенного ком промисса. Отсюда и наименование множества Парето - область компромиссов. При анализе и решении многокритериальных задач обычно считают выполненной так называемую аксиому Парето, соглас но которой в случае выполнения неравенствах') ^f.{x") для всех номеров / = 1,2, ..., т, где по крайней мере для одного номера j 6 {1, 2, ..., т}имеет место строгое неравенство/(л:') > fix"), ЛПР среди двух данных возможных решений х' и х' всегда отда ет предпочтение первому из них. Аксиома Парето фиксирует стремление ЛПР получить мак симально возможные значения по всем имеющимся критериям. Кроме того, она показывает, что из пары произвольных реше ний то из них, которое не является в этой паре парето-оптималь- ным, из указанной пары никогда выбирать не следует. Так как 85 решения, которые не выбираются из пары, разумно не выбирать и из всего множества возможных решений, то в итоге приходим к так называемому принципу Парето {принципу Эдэ1сворта-Паре- то), в соответствии с которым выбирать (наилучшие) решения следует только среди парето-оптимальных. Математическим выражением этого принципа служит вклю чение SQ\XCIPJ{X\ которое имеет место для любого множества выбираемых реше ний St\X. Основной проблемой в теории принятия решений при нали чии нескольких критериев считается проблема суэ/сения мноэ/се- ства Парето, т.е. выбор наилучшего решения (или наилучших решений) в пределах множества Парето. Эта проблема не может быть решена без привлечения дополнительной информации о многокритериальной задаче. Чаще всего такой информацией яв ляются сведения об относительной важности критериев. Недавно проведенные исследования показали [5], что прин цип Парето, т.е. упомянутое включение, не является универсаль ным, пригодным во всех без исключения многокритериальных задачах и иногда может нарушаться. Принципа Парето следует придерживаться в тех случаях, когда ЛПР в процессе выбора ве дет себя достаточно «рационально». Если же ЛПР действует в определенном смысле «нерационально», то для него наилучшим (выбранным) может оказаться и то решение, которое парето-оп- тимальным не является. К настоящему времени свойства множества Парето изучены достаточно подробно [3]. В общем случае множество Парето мо жет: 1) оказаться пустым; 2) состоять из одного элемента; 3) со держать бесконечное число элементов; 4) совпадать с исходным множеством возможных решений. Легко доказывается, что для конечного множества возмож ных решений множество Парето всегда не пусто, т.е. имеет место неравенство PiX) Ф 0. Следует также отметить, что в случае не прерывных целевых функций/р/2, ...,/^^ и непустого компактно го множества А', А" с R" обязательно существует хотя бы одно парето-оптимальное решение. 86 Важную роль в многокритериальной оптимизации играют различного рода необходимые и/или достаточные условия паре- то-оптимальности. Здесь в первую очередь необходимо отметить следующий легко проверяемый результат. Если существует такой набор положительных чисел >.1,>и2,...Д„,, /77 IL^i -^, ЧТО ДЛЯ некоторого возможного решения х* G X выпол- няется неравенство /77 ^ т Yi^ifii^ )=H^ifi(^) для всех хеХ, п) /=1 /=1 то л* - парето-оптимальное решение. Согласно приведенному достаточному условию парето-опти- мальности максимизация скалярной функции Z^/Z/W с поло- /=1 жительными коэффициентами Яр ^2, ..., \ „ на множестве X, ко торую называют аддитивной сверткой критериев, всегда приво дит к парето-оптимальному решению (при условии, что указанная задача максимизации имеет решение). При определенных дополнительных условиях имеет место и обратный результат, т.е. необходимое условие парето-оптималь- ности. Сформулируем этот результат. Пусть множество возможных решений X, X с: R'\ является выпуклым и все целевые функции/р/2, ...,/^, вогнуты на этом множестве. Для всякого парето-оптимального решения .т* существу ет соответствующий набор неотрицательных чисел Яр ^2, ..., Я^^, Y,Xf = 1, при котором имеет место неравенство (1). i=\ Нетрудно заметить, что между достаточным (первым) и не обходимым (вторым) условием парето-оптимальности имеется определенная «нестыковка». В достаточном условии требуется строгая положительность всех чисел Яр Я2, ..., Я^, тогда как в не обходимом условии эти числа неотрицательны и в сумме равны единице, а значит, они одновременно в нуль не обращаются, но среди них могут встречаться равные нулю. 87 Действительно, известны примеры, когда максимизация ад- т дитивной свертки Z^/./I(-^), среди коэффициентов X,, А,^, ..., \^, /=1 которой могут встречаться нули, на множестве X приводит к ре шению, лежащему за пределами множества Парето. Тем не менее указанные результаты свидетельствуют о том, что задача многокритериальной оптимизации (точнее говоря, задача построения множества парето-оптимальных решений) в принципе может быть сведена к решению определенного семей ства скалярных задач (т.е. задач с одним критерием). Такое све дение многокритериальной задачи к семейству скалярных задач называют скаляризацией. Тем самым приведенные два результата служат фундаментом скаляризации на основе аддитивной сверт ки критериев. Следует отметить, что к настоящему времени разработан бо гатый арсенал самых различных типов скаляризации многокри териальных задач [3]. Существуют определенные модификации понятия парето-оп- тимального решения. Например, возможное решение .Y* называ ют оптимальным по Слейтеру {слабо эффективным), если не су ществует X G X, для которого имеют место строгие неравенства Дх) >/(л-*), для всех / = 1,2, ..., т . Из приведенных определений следует, что всякое парето-оп- тимальное решение является оптимальным по Слейтеру. Обрат ное в общем случае места не имеет, так как существуют оптималь ные по Слейтеру решения, не являющиеся парето-оптимальными. Таким образом, множество решений, оптимальных по Слейтеру, в общем случае шире множества Парето. Имеются и другие разновидности понятия решения многокри териальной задачи. Среди них наиболее важным является поня тие собственно эффективного решения [3]. Для него выполняются аналогичные уже приведенным необходимые и достаточные усло вия, использующие аддитивную свертку, что и для парето-опти- мального решения, но с коэффициентами Xj, Х^^ •••' \,?' которые все строго положительны. Тем самым для собственно эффектив ного решения отмеченная «нестыковка» необходимых и достаточ ных условий отсутствует. Часто числа Xj, ^2, ..., Х,^^ трактуют как коэффициенты отно сительной важности критериев. Следует отметить, что это чисто 88 эвристический подход, не имеющий под собой математической основы. В настоящее время можно в общих чертах считать пост роенной математическую теорию относительной валсности кри териев [6], в рамках которой разработаны определения относи тельной важности как для пары критериев, так и в общем случае - для произвольной пары групп критериев. Показано, каким обра зом информацию об относительной важности критериев можно использовать для сужения множества Парето. Более того, уста новлено, что только на основе информации подобного типа (т.е. информации об относительной важности критериев) можно по лучить сколь угодно точное приближение для множества тех ре шений, которые претендуют на роль выбранных. Это говорит о принципиально важной роли, которую выполняет информация об относительной важности критериев в решении проблемы суже ния множества Парето. Иными словами, в процессах принятия ре шений нужно лишь научиться выявлять такую информацию у ЛПР, а затем с помощью результатов теории относительной важности критериев умело ее использовать.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ВЕКТОРНАЯ (МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ) ОПТИМИЗАЦИЯ» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
