Надійне функціонування будь-якої операційної системи залежить від численних об’єктивних і суб’єктивних чинників, що часто знаходяться в складній взаємозалежності. Це призводить до того, що поява відмов або збоїв у функціонуванні операційної системи носить вірогідний характер. Останнє дає підставу для оцінювання надійності такого роду систем за широкого ужитку математичних методів. Більшість з них, використовуючи узагальнення накопиченої статистичної інформації про функціонування конкретної операційної системи за реальних ринкових умов, дають змогу виявляти імовірні закономірності та співвідношення між випадковими чинниками, що різноступенево впливають на показники надійності. З метою виявлення цих закономірностей широко застосовують теорію імовірностей — математичну науку про закономірності масових явищ, яка пропонує операційним менеджерам шляхи зменшення невизначеності, оскільки їм дуже часто доводиться приймати важливі рішення. Вивчення теорії імовірностей, заснованої на оцінюванні невизначеностей, забезпечує надійний інструмент для виміру і контролю різних їхніх форм для осіб, якими приймаються рішення. 4.1.1 Основні поняття теорії імовірностей У теорії імовірностей застосовують ряд базових понять — досвід, експеримент, результат, подія, випадкова величина, імовірність, частота. Розглянемо їх у такій інтерпретації. Досвід — це практичне здійснення ряду умов, правил. Експеримент — один або декілька дослідів. Результат — можливий підсумок експерименту. Усі явища в економіці за ознаками кількісного оцінювання їхнього прояву розподіляють на одиничні і масові. 197
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Одиничним вважається явище, що повторюється за багаторазового відтворення досліду. Подія — це явище, що відбувається в результаті накопичення досліду. Події відрізняються між собою за ступенем можливості появи і характером взаємозв’язку. Події прийнято позначати великими літерами латиниці — А, В, … ... Достовірною називають подію, що за всіх дослідів завжди настає, якщо буде здійснена визначена сукупність умов. Неможливою називають подію, що за всіх дослідів ніколи не настає. Випадковою називають подію, що за здійснення сукупності умов може або відбутися, або ні. Наприклад, відмова або збої в операційній системі за весь період життєвого циклу. Спільні — це дві події, одна з яких не виключає можливості появи іншої. Наприклад, зростання курсу долара (подія А) за визначений час не виключає підйому цін на товари, вироблені за операційною системою (подія В). Неспільними називають дві події, якщо в процесі функціонування операційної системи поява однієї з них виключає можливість появи іншої. Наприклад, відмова і працездатність операційної системи не можуть виникати одночасно. Рівноможливі — це кілька можливих подій, що з’являються в процесі досліду. Причому немає підстави припускати, що поява однієї імовірніша за появу решти. Незалежними вважають такі події, поява яких не залежить від того, яка подія відбулася перед цим. Якщо події, що входять у групу, попарно несумісні, то їх називають «групою неспільних подій». Однак, якщо сумісні хоча б дві події з цієї групи, то вони є групою спільних подій. На практиці часто цікавляться настанням двох неспільних подій, що утворюють повну групу. Такі події називаються протилежними. 198
Розділ 4 Нaдійність операційних систем
Подію, протилежну події А, прийнято позначати як A. Наприклад, працездатність операційної системи — А, а її відмова — A. У випадку, якщо подія є якісною характеристикою результату процесу функціонування операційної системи, то кількісну характеристику його представляє випадкова величина. Випадковою називають величину, що у результаті іспиту може прийняти те чи інше (але тільки одне) значення, причому заздалегідь невідомо, яке саме. Випадкові величини звичайно позначають великими літерами латиниці, наприклад, Х, Y, …, а їхні можливі значення — відповідними малими літерами х, у, … ... Випадкові величини, що зустрічаються в економічній практиці, поділяють на дві групи — дискретні і неперервні. Дискретною випадковою величиною називається така, число можливих значень якої звичайне. Неперервною випадковою величиною називається така, що у деякому інтервалі (кінцевому чи нескінченному) може приймати будь-яке значення. Випадкова величина — абстрактне відтворення випадкової події. Імовірність — це числова характеристика ступеня можливості появи будь-якої випадкової події за тих чи інших визначених, здатних повторюватися необмежене число разів, умов. Розрізняють математичну і статистичну імовірність. Математичну імовірність визначають безпосереднім підрахунком за формулою P(A) =
m , n
(4.1)
де Р(А) — імовірність події А; n — загальне число випадків; m — число випадків, що сприяють події А. 199
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
З того, що імовірність є відношенням, випливає два важливих висновки: 1) числове значення імовірності знаходиться в інтервалі від 0 до 1,0, включаючи границі даного інтервалу, тобто 0 ≤ Р ≤ 1,0; 2) сума імовірностей усіх можливих підсумків експерименту (імовірність повної групи подій) дорівнює 1,0, тобто
∑ P = 1,0 . Значення імовірності, що наближається до 1,0, свідчить про більшу визначеність розглянутої події. Значення імовірності, що зменшується до нуля, сигналізує про збільшення невизначеності події. Значення Р = 1,0 відповідає достовірній події, і, навпаки, значення Р = 0 відповідає неможливій події. Досить малу імовірність, за якої у даних умовах подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значущості. Як правило, його приймають так: α = 0,01; α = 0,05; α = 0,10. На практиці імовірність часто заміняють частотою появи цікавої події за кінцевого числа дослідів. Частота — це число (кількість) однакових або близьких (отриманих у спостереженнях) подій чи абсолютних значень випадкової величини, об’єднаних в єдину групу, розряд. Частота, виражена в частках одиниці або відсотках від загальної кількості об’єктів досліджуваної сукупності, називається відносною частотою W = m/n . (4.2)
n i
Приклад. Відділ технічного контролю знайшов 6 нестандартних деталей у партії зі 100 випадково відібраних деталей. Відносна частота появи нестандартних деталей складе W = 6/100 = 0,06, або 6% від загальної кількості проконтрольованих деталей. 200
Розділ 4 Нaдійність операційних систем
За необмеженого збільшення загальної кількості випадків n статистичне значення частоти W змінюється незначно і доходить до деякого числа Р — імовірності даної події m P = lim W = lim n→∞ n→∞ n або
P( A) ≈
m n
(4.3)
Обчислена у такий спосіб імовірність називається статистичною, бо її одержано в результаті іспитів (дослідів, спостережень). Приклад. Банк обслуговує n = 1152 клієнти пенсійного віку (60–85 років). Яка імовірність того, що половина з них є клієнтами у віці від 75 до 85 років? При цьому відомо, що m = 473. Використовуючи формулу (4.3), визначимо розрахункову імовірність
P( A) =
473 = 0,41 . 1152
Наближена рівність Р ≈ m/n визначає імовірність Р певної події за емпіричною частотою, і, навпаки, за відомої імовірності можна визначити очікувану частоту цієї події із n дослідів (спостережень), коли вони ще не проведені. Імовірності складних подій визначаються за двома правилами — додавання імовірностей і множення імовірностей. 4.1.2 Правило додавання імовірностей Для простоти розглянемо лише дві події — А та В. Правило додавання імовірностей застосовується для підрахунку імовірності здійснення події А або В чи обох відразу. Саме ж правило формулюється так: 201
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
імовірність появи однієї з двох неспільних подій, байдуже якої, дорівнює сумі імовірностей цих подій Р(А+В) = Р(А) + Р(В); (4.4)
імовірність появи однієї з декількох попарно неспільних подій, байдуже якої, дорівнює сумі імовірностей цих подій Р(А1 + А2 + … + Аn) = = Р(А1) + Р(A2) + … + Р(Аn) = n
∑ i=1
(4.5) P( Ai ) .
У загальному випадку для повної групи подій А1, А2, …, Аn матимемо
i=1
∑ P(Ai ) =1,0 .
n
(4.6)
Приклад. Підприємство для виробництва продукції уклало угоду на постачання сировини з трьома постачальниками А, В та С. На перший квартал наступного року існує імовірність одержання вантажу з необхідною сировиною від постачальника А на рівні Р(А) = 0,65, а також від постачальника В обсягом Р(В) = 0,24. Яка буде імовірність того, що черговий вантаж буде отриманий від постачальника С? Події «вантаж отриманий від постачальника А», «вантаж отриманий від постачальника С» утворять повну групу, тому сума імовірностей цих подій дорівнює одиниці Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1,0, або 0,65 + 0,24 + Р(С) = 1,0. Звідси обчислювана імовірність буде дорівнювати Р(С) = 1,0 – (0,65 + 0,24) = 0,11. 202
Розділ 4 Нaдійність операційних систем
На практиці у разі проведення оцінок надійності операційних систем найчастіше розглядають дві неспільні протилежні події: стан працездатності системи і стан її відмови за конкретно заданих умов. Природньо, що вони події несумісні. У даному випадку ці події утворять повну групу, для якої сума їхніх імовірностей також дорівнює 1,0: Р(А) + Р( A ) = 1,0 або Р + q =1,0, (4.8) де Р — імовірність того, що операційна система буде працездатною; q — імовірність того, що буде відмова, тобто система буде непрацездатною. Оскільки ці події протилежні (поява однієї з них вірогідна, а спільна поява обох в одному досліді неможлива), то q = 1,0 — Р. (4.9) Приклад. Імовірність того, що ринок для продажу фірмою вироблених електротоварів буде сприятливим у k-му регіоні, складає, за прогнозними даними, Р = 0,6. Знайти імовірність того, що ринок у k-му регіоні буде несприятливим для продажу електротоварів. Події «ринок сприятливий» і «ринок несприятливий» — протилежні, тому обчислювана імовірність буде дорівнювати q = 1,0 – Р = 1,0 – 0,6 = 0,4. 4.1.3 Правило множення імовірностей Його застосовують тоді, коли потрібно знайти імовірність того, що події А та В відбудуться одночасно. Формулюється правило в такий спосіб. 203
(4.7)
О. М. Сумець Основи операційного менеджменту
Якщо дві події — А та В — незалежні, то імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добуткові імовірностей цих подій Р(АВ) = Р(А) · Р(В). Коли Р(А) = Р(В), то Р(АВ) = Р(А)2. Якщо маємо більше двох подій, то Р(А1, А2, …, Аn) = = Р(А1) · Р(А2), …, Р(Аn) = або якщо Р(А1) = Р(А2) = … = Р(Аn), то (4.11) (4.10)
∏ P(Ai ) , i=1
n
∏ P(Ai ) = Р(А)n. i=1
n
(4.12)
Операційна система (або об’єкт) ніколи не може бути надійнішою за самий ненадійний свій елемент. Розглянемо це на елементарному прикладі. Приклад. Якщо обчислювальна операційна система складається з двох елементів — оператора й обчислювальної машини (комп’ютер), з імовірністю безвідмовної роботи кожного Р1 = 0,95 і Р2 = 0,8, то імовірність безвідмовної роботи даної системи Рс буде дорівнювати: Рс = Р1 · Р2 = 0,95 · 0,8 = 0,76. Як бачимо, Рс < Р2 на 5%. Для незалежних подій Р(А·В) = РВ(А) · Р(В), де Р(АВ) — імовірність одночасної появи подій А та В; 204
(4.13)
Розділ 4 Нaдійність операційних систем
РВ(А) — імовірність появи події А за умови, що відбулася подія В (умовна імовірність). В разі розгляду складних подій, особливо за умов непередбачуваності змін зовнішнього середовища (ринку, конкурентів, державної політики тощо), для розгляду всіх можливих підсумків практично використовувати «дерево імовірностей». У даному випадку воно являє собою граф, де спостереження (досліди) представлені вершинами (кружечки), а кожний результат — ребром графа (проста лінія). Імовірність відповідного результату вказується біля галузі, а можливі підсумки й імовірність усієї складної події — наприкінці кожної галузі.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Стислі відомості з теорії імовірностей» з дисципліни «Операційний менеджмент»
