До сих пор мы предполагали, что линейные члены представляют собой малые добавки к главным, линейным членам. С увеличением интенсивности применяемых воздействий и повышением точности измерений материальные уравнения кристаллофизики обрастают все большим числом квадратичных, кубичных и иных добавок. Но вместо того, чтобы рассматривать, скажем, разложение D, = xt'/Я, + *?/кЕ,Ек + х$/£,ВД + xfttmEfEbEiEn +... (87.1) и анализировать, какой именно вид должны иметь тензоры хB), хC), х<4\ ... для данного класса симметрии кристалла, — вместо этого можно сразу сформулировать гораздо более общую задачу: какие ограничения необходимо наложить на функциональную зависимость вектора D от вектора Е, чтобы эта зависимость была совместима с симметрией кристалла? Совершенно аналогично вместо анализа обобщений закона Гука Ч = SJiiOjj, + SJUvCV^v + Stfivpffuffvtfp + • • • (87-2 ) можно поставить вопрос об общей совместимой с симметрией кристалла форме функциональной зависимости одного симметричного тензора второго ранга от другого. Линейная зависимость одного вектора от другого определяется общим тензором второго ранга с внутренней симметрией У2, а линейная зависимость одного симметричного тензора второго ранга от другого — тензором внутренней симметрии [V2]2. Самая общая форма функциональной зависимости одного вектора от другого или одного тензора от другого, совместимая с симметрией кристалла, представляет собой обобщение именно такой связи, определяемой в линейном случае материальными тензорами типа V2 и [V2]2 соответственно. Между тем наиболее существенные для кристаллофизики связи между двумя векторами и между двумя тензорами определяются симметричными материальными тензорами типа [V2] и [[К2]2]. Действительно по крайней мере при изотермических и адиабатических процессах, линейная связь между векторами напряженности и индукции электрического поля определяется материальным тензором типа IV2], а между тензорами напряжений и деформаций — материальным тензором типа [[V2]]. Доказательства симметричности этих тензоров основаны на существовании некоторых потенциалов, т. е. скалярных функций векторного аргумента Ф (Е) и тензорного аргумента Ф (<г), таких, что <»•«> 560 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ КРИСТАЛЛОФИЗИКИ [ГЛ. X Обобщая соотношения D = D(E) и е = е (а) на случай нелинейных зависимостей, мы и будем исходить из формул (87.3) и (87.4). Векторная функция векторного аргумента, удовлетворяющая формуле (87.3), и тензорная функция тензорного аргумента, удовлетворяющая формуле (87.4), называются потенциальными функциями. Таким образом, чтобы выяснить кристаллофизические закономерности существенно нелинейных эффектов, нужно знать общие и потенциальные векторные и тензорные функции, совместимые с симметрией кристаллов. При этом для задания потенциальной векторной или тензорной функции достаточно задать потенциал, т. е. скалярную функцию векторного или тензорного аргумента: Ф (Е) или Ф (а). В табл. 87.1 приведен вид скалярных и векторных функций векторного аргумента, совместимых с симметрией 32 кристаллографических и 7 предельных классов, а в табл. 87.2 — вид скалярных функций, аргументом которых служит симметричный тензор второго ранга. Методы нахождения этих функций сложны, и мы их здесь обсуждать не будем *). Рассмотрим только, как построены таблицы и какую информацию можно из них извлечь. В табл. 87.1 кристаллографические предельные классы объединены в серии. Каждой серии присвоено наименование старшего из входящих в нее классов. У всех классов, входящих в серию, одинаковы главные векторные инварианты — они перечислены в скобках после названия серии. Эти главные инварианты служат аргументами произвольных функций /, /0, fu ... Например, у серии тггй главные инварианты А2, А\ и А2У. У старшего класса серии любая скалярная функция векторного аргумента, инвариантная относительно его группы симметрии, может быть представлена как функция главных инвариантов. Это записывается в виде Ф = / и означает, что для класса тт2 общий векторный потенциал Q>=f(Ag9 Al, А*)9 (87.5) где / — произвольная функция своих аргументов. Итак, любой векторный инвариант группы тт2 можно представить как функцию инвариантов AZJ A% и А\. У других классов серии есть векторные инварианты, не сводящиеся к главным. Например, у класса 2, входящего в серию тт2у таким дополнительным инвариантом является АХАУ.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Функциональные соотношения кристаллофизики» з дисципліни «Основи кристалофізики»
