Проблема выбора стандартных кристаллографических и кристаллофизических систем координат
Представим себе обычную в наши дни ситуацию: в двух различных лабораториях независимо синтезирован один и тот же кристалл и исследуются его свойства. Для того чтобы сотрудники обеих лабораторий описали их одинаково, они должны одинаково выбрать кристаллографическую и кристаллофизическую координатные системы, а для этого нужны общепринятые и притом совершенно однозначные правила выбора координатных систем. Рис. 86.1. К выбору наименований и положительных направлений координатных осей в кристаллах тетрагональной сингонии. Здесь излагаются существующие рекомендации по выбору координатных систем и обсуждаются возможности их уточнения. Дело в том, что для выбора в каждой сингонии кристаллографических осей координат X, Y, Z есть общепринятые правила (см. § 4). Получили широкое распространение также правила, позволяющие связать с кристаллографическими осями X, Y, Z кристаллофизи- ческие оси Xlf X2, Х3. Эти правила таковы: когда кристаллографическая система координат прямоугольна, оси Xlt Х2, Х3 совпадают с осями X, У, Z соответственно; в кристаллах гексагональной сингонии оси Х3 и Х1 совпадают соответственно с осями Z и Х\ в кристаллах моноклинной сингонии оси Х2 и Х3 совпадают соответственно с осями У и Z; наконец, в кристаллах триклинной сингонии ось Хя совпадает с осью Z, а ось Хх лежит в плоскости @10), т. е. XZ. Эти правила приведены в табл. А.2, в согласии с ними составлены также табл. АЛ и Б.1. Формулировка этих правил дана в IRE Standards on Piezoelectric Crystals A949); см. также Мэзон A952). Однако нужно еще выбрать положительные направления на осях и решить, какую из симметрически эквивалентных осей назвать, скажем, ПРОБЛЕМА ВЫБОРА СТАНДАРТНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ 555 X, а какую Y. Структурных данных для этого недостаточно; приходится пользоваться результатами некоторых кристаллофизических измерений. Соответствующие рекомендации содержатся в IRE Standards A949). К сожалению, эти рекомендации относятся только к пьезоэлектрическим кристаллам. Кроме того, чтобы можно было применить эти рекомендации к какому-либо энантиоморфному кристаллу, нужно знать, является ли данный кристалл правым или левым, но какие именно кристаллы следует называть правыми, а какие — левыми, там не указано (за исключением кристаллов кварца, которым посвящен отдельный пункт). Здесь формулируются правила выбора координатных систем, пригодные для всех кристаллографических классов; они по возможности согласуются с рекомендациями IRE. Кроме того, здесь предлагаются общие правила для выбора из двух энантиоморфных модификаций правой. Рассмотрим эти правила сначала на примере кристаллов тетрагональной сингонии. Если в каком-либо кристалле тетрагональной сингонии по общим правилам (см. § 4) введена система координат А (рис. 86.1), то и системы 8, С, ..., Я, связанные с системой А операциями симметрии класса 422, также удовлетворяют правилам выбора кристаллографических осей координат; эти правила не дают возможности отличить одну из этих систем от другой. В классах \lmmtn и 422 все эти системы симметрически эквивалентны, так что отличать их и невозможно и не нужно. Но в остальных классах эти восемь систем группируются в наборы симметрически эквивалентных систем, как показано в следующей таблице: Классы 4mm, 4/m, 4 42m i Преобразования первого рода U 2Я, 4Я, 41 h 2z* 2Xi 2у U 2г Наборы эквивалентных систем {Л, Я, С, D}; {£, F, G, Я} {Л, Я, Е, F}\ {С, D, G, Я} {Л, В}; {С, D}; {Е, F}; {G, Н} Обозначения преобразований и координатных систем здесь таковы же, как на рис. 86.1; координатные системы, входящие в один набор, заключены в фигурные скобки. Системы, входящие в различные наборы, симметрически не эквивалентны и могут (и должны) быть отличны друг от друга. В классах 4mm и 42т для выбора одного из двух возможных в кристаллах этих классов наборов координатных систем воспользуемся рекомендациями IRE: в классе 4mm выберем тот набор, относительно которого положителен пьезоэлектрический коэффициент d33, в классе 42т — тот, относительно которого положителен коэффициент <23б. Класс 4/m центросимметричен, пьезоэлектрическими свойствами не обладает и потому в IRE Standards A949) не рассмотрен. Однако в этом классе допустимые координатные системы группируются в два набора (см. таблицу); условимся выбирать тот из них, относительно которого коэффициент упругой податливости Sxq положителен (легко проверить, что операции симметрии, преобразующие один набоц. в другой, меняют знак этого коэффициента; так, 2xsu = —sie). Этим же правилом можно воспользоваться для того, чтобы выбрать один из двух наборов, возможных в классе 4, и одну пару наборов из двух таких пар, возможных в классе 4. Для того чтобы выбрать один набор из двух, входящих в эту пару, дополнительно потребуем положительности коэффициента <2зв. Заметим, что группа 4 — единственная общая подгруппа групп 4/m и 42т, и для класса 4 естественно объединить правила, применяемые^ классах 4/m и 42т; это здесь и сделано. Осталось указать правила, позволяющие назвать одну из энантиоморфных модификаций классов 422 и 4 правой. Условимся называть правой ту из модифи- 556 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ КРИСТАЛЛОФИЗИКИ [ГЛ X каций класса 422, для которой положителен пьезоэлектрический коэффициент <214, и ту из модификаций класса 4, для которой положителен коэффициент d^. Коэффициенты рассматриваются относительно введенного набора правых симметрически эквивалентных координатных систем для данного класса; существенно при этом, что выбор набора в классе 4 произведен по центросимметричному свойству (упругости), совершенно одинаково проявляющемуся в обеих энантио- морфных модификациях. Вообще для определения правой модификации можно было бы применить любые пьезоэлектрические коэффициенты и более того — любые компоненты материального тензора нечетного типа (см. § 44), отличные от нуля в кристаллах соответствующих классов. По образцу рассмотренного примера можно было бы исследовать методы однозначного выбора кристаллографических и кристаллофизических координатных систем для каждой сингоний в отдельности, но целесообразнее, опираясь на приемы, использованные в этом примере, сформулировать общие правила для всех кристаллографических классов. Условимся выбирать кристаллографические и кристаллофизические системы координат правыми, а углы между положительными направлениями соответственных кристаллографических и кристаллофизических осей (X и Xlf Y и Х2, Z и Х3) — меньшими 90°. Поэтому выбор положительного направления на кристаллографической оси (скажем, X) определяет положительное направление на соответствующей кристаллофизической оси (Хх) и наоборот. Для кристаллов моноклинной сингоний принято еще, что угол C между положительными направлениями осей X и Z тупой, а для триклинной наряду с C должен быть тупым и угол а между положительными направлениями осей Y и Z. Эти неравенства вместе с условием, что система координат является правой, определяют положительные направления на кристаллографических осях триклинной и моноклинной сингоний. Правила выбора кристаллографических осей и положительных направлений на них определяют не одну координатную систему, а я/2 повернутых друг относительно друга систем (п — порядок группы симметрии голоэдрического класса данной сингоний), которые связаны между собой преобразованиями первого рода, входящими в группу симметрии голоэдрического класса, или, что то же самое, всеми преобразованиями симметрии энантиоморфного гемиэдрического класса (см. табл. 86.1). Все эти системы симметрически эквивалентны в кристаллах голоэдрического и энантиоморфного гемиэдрического классов, поэтому вопрос о выборе положительных направлений на осях или наименований осей для кристаллов этих классов не возникает. Относительно операций симметрии остальных классов эти /г/2 координатных систем составят два или четыре набора симметрически эквивалентных систем (/г/4 или /г/8 систем в каждом). Число таких наборов для каждого класса указано в табл. 86.1. Системы одного набора связаны с системами других наборов преобразованиями симметрии энантиоморфиого гемиэдрического класса той же сингоний, не входящими в группу данного класса. Выбор положительных направлений на координатных осях или наименований осей сводится к выбору одного из двух или четырех возможных наборов. При этом приходится руководствоваться кристаллофизическими критериями (поскольку кристаллографические уже исчерпаны) и пользоваться наборами, состоящими из кристаллофизических систем, полученных из кристаллографических согласно принятым правилам. Кристаллофизические координатные системы, входящие в один набор, симметрически эквивалентны, в разные — не эквивалентны. Поэтому любой материальный тензор кристалла во всех системах, входящих в один набор, имеет одинаковые компоненты, а в системах, принадлежащих разным наборам, некоторые материальные тензоры могут (хотя и не обязаны) иметь различные компоненты. В принципе всегда можно найти материальный тензор, у которого по крайней мере одна компонента меняет знак при переходе от одного набора к другому; в классе, в котором эти наборы сливаются в один, данная компонента обращается в нуль. Выбор одного из двух наборов будет определен, если уело* виться для каждого кристалла данного класса использовать тот набор, относительно которого эта компонента положительна. § 86] ПРОБЛЕМА ВЫБОРА СТАНДАРТНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ 557 Кристаллы пар аморфных, т. е. не голоэдрических центросимметричных классов, обладают только центросимметричными свойствами, поэтому для выбора набора приходится использовать тензоры четного типа, имеющие в данном пара- морфном классе больше независимых компонент, чем в соответствующем голоэдрическом (если данный класс тетартоэдрический, больше чем в параморфном гемиэдрическом). В тригональной и тетрагональной системах этому условию удовлетворяют уже упругие тензоры, но для гексагональной и кубической систем приходится прибегать к пьезооптическим. Правила выбора, принятые для параморфного класса, естественно распространить на всю подсистему (см. §44), в которую он входит. При этом оказывается, что выбор координатной системы не только в параморфных, но также и в энантиоморфных (тетартоэдрических и огдоэдрическом) классах определяется исключительно тензорами четного типа *). В гемиморфных классах для выбора набора нужна компонента материального тензора нечетного типа; условимся применять для этой цели первый отличный от нуля пьезоэлектрической коэффициент из последовательности dn, dn, d22, dUi du (86.1) (с коэффициентом d3l вместо dlA она использована в IRE Standards A949)). При этом для выбора набора в тетартоэдрическом гемиморфном классе следует применять такой коэффициент, который в тетартоэдрическом энантиоморфном классе той же сингонии равен нулю. По приведенным правилам в правых и левых кристаллах любого энанти- оморфного класса координатная система выбирается одинаково, поскольку при выборе используются лишь центросимметричные тензоры. Нецентросимметрич- ные же можно после этого применить для определения правой модификации, так как их компоненты относительно введенной системы координат у правой и левой модификаций одного и того же вещества равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Условимся называть правыми те кристаллы, у которых первый отличный от нуля пьезоэлектрический коэффициент из последовательности (86.1) положителен. В классе 432, у которого все пьезоэлектрические коэффициенты — нули, правой модификацией назовем ту, у которой положителен коэффициент гирации (см. § 81). В табл. 86.1 показано, какие классы называются голоэдрическими, геми- эдрическими и т. д., как они распределяются по подсистемам, сколько имеют наборов и компоненты каких тензоров — четного или нечетного типа — нужны для выбора координатной системы и определения правой модификации. Сами же правила выбора стандартных кристаллографических и кристаллофизических координатных систем для всех 32 классов и правила выбора правой модификации в 11 энантиоморфных классах собраны в табл. А.2. В конце табл. А.2 имеется раздел «Возможные изменения», где указано, как изменятся правила выбора координатных осей и энантиоморфных модификаций, если принять другую установку для кристаллов всех классов моноклинной сингонии Z || 2 или Z 1 т и класса 6/я2, который в этой установке (Z || 6, X || 2) естественно обозначить 62т. Именно так выбраны кристаллофизические системы координат в классических руководствах (Voigt, 1928; Шубников, Флинт и Бокий, 1940), и в некоторых отношениях этот выбор предпочтителен.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Проблема выбора стандартных кристаллографических и кристаллофизических систем координат» з дисципліни «Основи кристалофізики»
