Влияние пространственной дисперсии на распространение упругих волн в нецентросимметричных кристаллах и гиротропных телах обусловливает акустическую активность — акустический аналог оптической активности (Андронов, I960). Обобщенный закон Гука E1.3) при учете пространственной дисперсии в первом приближении принимает вид Рис. 82.1. Схема взаимного подчинения групп симметрии оптических свойств направлений. in (83.1) Характеризующий пространственную дисперсию упругих свойств кристалла тензор акустической гирации Ь, как. и с, симметричен по первой (//) и по второй (kf) паре индексов; это позволяет записать (83.1) в форме (83.2) (ср. переход от формулы E1.3) к формуле E1.13)). Отсюда найдем изменение уравнений эластодинамики E1.14), вызванное учетом пространственной дисперсии: вид (83*3) Для плоских волн и = Ар ехр [Bщ"Д) (т • г — vt)] уравнения (83.3) имеют [т • с т • b : mm] p = (83.4) § 83] АКУСТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 539 Это уравнения Кристоффеля для акустически активных кристаллов. Они показывают, что в кристаллоакустике, как и в теории оптической активности, пространственная дисперсия в первом приближении приводит к появлению чисто мнимой добавки к тензору с, и отсутствие поглощения означает, что комплексный тензор сцу, + Bш'А) Ьцштп эрмитов, так что мнимая его часть антисимметрична: blixn= —b^in. Таким образом, внутренняя симметрия тензора b есть {[У2]2}У. Поскольку в основное уравнение (83.4) тензор b входит в виде т • b : mm, наиболее существенна его симметричная по первому, четвертому и пятому индексам часть — симметризованный тензор акустической гирации. Для него антисимметричность относительно перестановки первой и второй пар индексов сводится к антисимметричности по второму и третьему индексам, так что его внутренняя симметрия оказывается равной {V2} [Vs]. Это позволяет, воспользовавшись соотношением дуальности {У2} [Vs] ~ eV [У3], ввести псевдотензор акустической гирации g: gstln = у bsjkbljkln* 2n (83-5) Посредством псевдотензора g определяется зависящий от направления волновой нормали т аксиальный вектор акустической гирации (83.6) Он, вместе с введенным в § 56 тензором Кристоффеля М = т • с • т, позволяет привести уравнения Кристоффеля (83.4) к окончательной форме r83 ? Таким образом, псевдотензор акустической гирации g внутренней симметрии е1/[У3] в основном и определяет акустическую активность кристаллов. У него в общем случае (т. е. для кристаллов класса 1) 30 независимых компонент, в то время как у тензора b с симметрией {[У2]2} V, исчерпывающе описывающего акустическую активность, их 45. Материальные псевдотензоры eV [V3] в приложении Д не приведены *). Вид этих псевдотензоров для всех нецентросимметричных кристаллографических классов получим посредством разложения их на неприводимые части (см. § 52) — метода, основанного на теории представлений групп. Псевдотензор g представим в виде g = gH>+g{31>; (83,8) 8ijkl = таким образом, псевдотензор g*4* симметричен по всем индексам, ag*31* —только по трем последним индексам, а при симметрировании по всем индексам обращается в нуль. Можно показать (для этого и требуется теория представлений), что псевдо- тензар g*4* состоит из частей, преобразующихся как псевдоскаляр Г9 псевдоде- виатор D и псевдононор N, a g*31* —из частей, преобразующихся как вектор К, псевдодевиатор D и септор S. Из этих величин тензоры такой внутренней симмет- *) Для тех кристаллографических групп, которые состоят только из операций первого рода, вид псевдотензоров eV [V3] совпадает с видом тензоров V [У3], приведенных в табл. Д. 17, Псевдотензор четвертого ранга общего вида рассмотрел Барковский A970), 540 эффекты высших порядков [гл IX рии, как g*4* и g*31\ составляются с точностью до численных коэффициентов однозначно, а именно, Здесь верхними индексами показано, которому тензору g*4* или g *31 ) принадлежит данный член разложения. Подставляя в это разложение общие формы неприводимых тензоров, инвариантных относительно кристаллографических групп (см. табл. 47.3), получим общий вид псевдотензоров g для соответствующих групп. Подставив разложение (83.9) в (83.6), найдем общую формулу для аксиального вектора акустической гирации у {4$} - ц 4 W . (83.10) 1 [\ immm. Пользуясь формулой (83.10), можно для любого нецентросимметричного кристаллографического класса и любого направления волновой нормали пг найти вектор Q и записать систему уравнений Кристоффеля (83.7). Решая ее, будем считать, что соответствующая задача кристаллоакустики без учета акустической активности уже решена, т. е. известны скорости у0/ и вещественные векторы поляризации р@1) упругих волн, удовлетворяющие уравнениям М • р = ри2р, и выясним, как они изменяются под влиянием акустической активности кристалла. Рассмотрим сначала случай, когда волновая нормаль m не является акустической осью кристалла. В системе координат, построенной на векторах р@/), система (83.7) принимает вид Р (о? 1 - v2) pl + iQ3p2 - 1Q2P3 = 0, -iQsPi + P (v*2-v*) P2 + iQlPs = 0, (83.11) iQ2Pl - iQlPz + p (i/§3 _ ф) рз = 0. Отношение Q/(pv2) всегда мало — порядка a/Xt где а — параметр решетки, X — длина волны; мы будем считать, что малы и отношения типа С?3/[р(Уо2 — — U5i)], а Для этого нужно, чтобы волновая нормаль была достаточно удалена от акустических осей. При этом условии систему (83.11) можно решать приближенными методами. Они дают (83Л2) (83ЛЗ) Посредством циклической подстановки из (83.12) получим v2 и v3t а из (83.13) — рB) и pC)t Сравнение этих формул с соответствующими формулами теории оптической активности кристаллов (81.13) и (81.16) показывает, что исследуемое явление очень напоминает распространение света в оптически активном кристалле в направлении, достаточно далеком от оптической оси (когда | rql — n~f \ > >> I O38 |). Акустическая активность также проявляется в том, что поляризация § 83] АКУСТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 541 волн вместо линейной становится эллиптической, причем эллиптичность мала — порядок отношения параметра, характеризующего активность, к параметру, характеризующему анизотропию, равен G33/(n0'i — n^f) в теории оптической активности и С?3/[р(Уо2 —yoi)l B теории акустической активности. Изменение же скорости, обусловленное активностью, в обоих случаях пропорционально произведению этого отношения на параметр активности, т. е. имеет второй порядок малости. Интересен частный случай формулы (83.13), когда один из векторов р@1) совпадает с волновой нормалью, т. е. без учета акустической активности волна продольна. Тогда большая ось эллипса колебаний направлена по волновой нормали, а малая лежит в плоскости волнового фронта (ср. с эллипсом колебаний вектора £ при слабой оптической активности, § 81). Такая ситуация реализуется, по-видимому, почти на всех продольных нормалях в кристаллах класса 1: с одной стороны, по теореме Ф. И. Федорова (§ 56) каждый такой кристалл имеет по меньшей мере две продольные нормали т'1\ с другой стороны, нет никаких оснований ожидать, что Q(md>) параллелен mU). Акустическая активность, подобно оптической, наиболее ярко проявляется при распространении упругой волны вдоль одной из акустических осей кристалла. Для анализа уравнений Кристоффеля (83.7) в этом случае отнесем их к системе координат, два орта которой, ег и е2, лежат в плоскости собственных векторов тензора М, а третьим ортом служит изолированный собственный вектор р@0) тензора М, причем орты ех и е2 выберем так, чтобы обращалась в нуль компонента Q2 вектора Q: B - iQsPi + Р Кх - и2) р2 + iQiPs = 0, (83.14) Волне, скорость которой у00, а поляризация рт\ при учете акустической активности соответствует эллиптически-поляризованная волна с малой эллиптичностью; ее скорость v0 и вектор поляризации р@) определяются формулами ^-р-м^г (83Л5) ^)^ (83Л6) Однако множеству волн, распространяющихся со скоростью у01 и поляризованных в направлениях р(Ф>, при учете акустической активности соответствуют две волны, поляризованные почти циркулярно; их скорости vx и v2 и поляризации pd) и рB) определяются формулами (83Л7) •(83Л8) И в этом случае для правильного учета членов первого порядка малости в векторах поляризации необходимо принимать во внимание члены второго порядка малости в выражениях для скоростей. Как следует из формулы (83.17), акустическая активность кристаллов, подобно оптической, приводит к размыканию поверхностей нормальных скоростей в точках выхода акустических осей. Это видно, в частности, на рис. 83.1. Как отмечалось в § 56, все оси симметрии выше второго порядка — продольные акустические оси. Если для направления т такой оси псевдовектор акустической гирации Q(m) отличен от нуля, он, очевидно, ей параллелен: Q (т) = = Qm, В этом случае ситуация очень упрощается: продольная волна вообще не 542 ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ IX изменяется (v0 = v00, р@) = р<00))» поперечные же волны поляризованы строго циркулярно v% в01 нн^. (83.19) 'bi»s»-L(tfl + ^l). (83.20) Таким образом, здесь наблюдается вращение плоскости поляризации поперечных упругих волн. При этом удельное вращение плоскости поляризации равно а== Q(u3 . (83.21) Поскольку лучшие направления для наблюдения акустической активности кристаллов — акустические оси, важное значение приобретает величина вектора 0 о О О О О О о О Рис. 83.1. Поверхности нормальных скоростей поперечных упругих волн частоты 28,9 Ггц и их поляризация вблизи оси Х3: а) в а-кварце, б) в условном р-кварце. На оси абсцисс — углы от оси Х8 к оси Х2 (в градусах), на оси ординат — скорости в км/с. На эллипсах поляризации горизонтальное направление параллельно оси Х2, вертикальное — оси X,. Штриховые линии — те же участки поверхностей для волн низкой частоты (Pine, 1971). акустической гирации в направлениях этих осей. Укажем в этой связи, что у кристаллов класса 43 т в направлениях акустических осей A00) и A11) вектср Q (т) обращается в нуль, так как эти направления лежат в плоскостях симметрии. Поляризация поперечных упругих волн, распространяющихся в кристаллах а- и Р-кварца (классы 32 и 622 соответственно) вдоль главной оси симметрии и в направлениях, близких к ней, а также вид соответствующих участков поверхностей нормальных скоростей этих кристаллов показаны на рис. 83.1 ). Акустическая активность кристаллов, как и оптическая, определяется безразмерным параметром а/К — отношением постоянной решетки к длине волны. Поэтому заметные эффекты акустической активности можно получить на гиперзвуковых упругих волнах длины порядка микрометра и частоты порядка гигагерц (Леманов и Смоленский, 1972). Исследование мандельштам-бриллюэновского рассеяния света на циркулярно-поляризованных гиперзвуковых волнах частоты 28,9 Ггц, распространяющихся вдоль главной оси симметрии в кристалле кварца, *) Для Р-кварца расчет проведен условно, использовались данные для а-кварца, но коэффициент си был положен равным нулю, § 83] АКУСТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 543 позволило определить удельное вращение плоскости поляризации гиперзвука — на этой частоте оно оказалось равно 1,06 • 10б град/см (Pine, 1971). Отсюда нетрудно найти компоненты тензоров, характеризующих акустическую активность кварца: £зззз = 5,58 X 109дин/см2, 6ЗШз — 1 »44 • 104 дин/см. Для сравнения с оптической активностью удобнее перейти к другим величинам: сопоставление формул (81.24) и (83.21) показывает, что отношение £3338/ри2 = 9,57-Ю-3 аналогично произведению я£C33, отношение 6312gg/pi>2 = 247 пм — произведению nly123, наконец, отношение g^^lapv2 = 2,88 — параметру n%G33X/a. Таким образом, при сравнении этих величин со значениями G33,7123 и б3з^/я, приведенными в табл. 81.2, последние должны быть умножены на п% ж 2,4. Однако и после этого оказывается, что акустическая активность в кварце проявляется почти в 100 раз сильнее, чем оптическая.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Акустическая активность кристаллов» з дисципліни «Основи кристалофізики»
