Тензоры, определенные на расширенной ортогональной группе
Все тензоры, определенные на группе вращений, преобразуются однотипно, а именно,, V.*-''fc •••'*/*!•"*.• (?2Л) о о Здесь || ri'k II — матрица поворота R (ft, ф) вокруг вектора ft на угол ф. Но тензоры, определенные на ортогональной группе, распадаются на два типа. Тензоры четного типа при инверсионном по- _ о вороте 1R (ft, ф) координатной системы преобразуются по формуле G2.1), а тензоры нечетного типа — по формуле At. = — г. G2.2) Таблица 72.1 Таблица умножения группы пространственно-временных инверсий XV Подчеркнем, что || ri>k II — матрица соответствующего собственного поворота R (й, ф), а не всего ортогонального преобразования в целом. В расширенную ортогональную группу входят преобразования о четырех родов: собственные повороты R (ft, ф) и три рода несобст- — о венных, а именно, инверсионные повороты 1R (ft, ф), антиповороты о о VR (ft, ф) и инверсионные антиповороты 1'R (ft, ф). Результат последовательного проведения двух несобственных поворотов легко определяется с помощью приводимой здесь таблицы умножения группы пространственно-временных инверсий (табл. 72.1). Нетрудно показать, что на расширенной ортогональной группе можно определить тензоры четырех типов: четного и трех нечетных. Тензоры четного типа инвариантны относительно группы инверсий IV и потому при любом преобразова- о нии JR (ft, ф), где /g 1Г, преобразуются по формуле G2.1). При собственных поворотах по той же формуле преобразуются тензоры всех типов. Каждый тензор любого из нечетных типов под действием несобственных поворотов двух родов преобразуется по формуле G2.2), а под действием поворота третьего рода — по формуле G2.1). В самом деле, пусть данный тензор под действием инверсионных поворотов преобразуется по формуле G2.2). Под действием антипово- / 1 г г 1 1 1 г т 1 1 1 т г V г 1' 1 1 V Т Г 1 1 474 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ. VIII ротов он преобразуется либо по формуле G2.1), либо по формуле G2.2). Так как инверсионный антиповорот можно рассматривать как произведение инверсионного поворота на антиповорот, ясно, что в первом случае данный тензор под действием инверсионных антиповоротов преобразуется по формуле G2.2), во втором — по формуле G2.1). Подсчитав все возможности, придем к выводу, что на расширенной ортогональной группе определено ровно три типа нечетных тензоров. Названия типов (электрический, магнитный, магнитоэлектрический) связаны с тем, что к этим типам относятся соответственно векторы напряженности электрического и магнитного полей и тензор магнитоэлектрической поляризации (см. § 73). Все тензоры, определенные на расширенной ортогональной группе, преобразуются по формуле Л./ , =yr.'k ... /у. А. . , tj... in * 4*1 Cnkn ki--kn7 G2.3) где коэффициент у = ±1 зависит от типа тензора и рода преобразования и определяется по табл. 72.2, а || />л || — матрица соответствующего собственного поворота. Таблица 72.2 Коэффициенты у в формуле преобразования тензора, определенного на расширенной ортогональной группе Тип тензора Четный Электрический Магнитный Магнитоэлектрический Род преобразования R 1 1 1 1 Tr 1 -1 1 —1 l'R 1 1 —1 —1 l'R 1 —1 —1 1 Внешняя симметрия тензоров, определенных на расширенной Ортогональной группе, определяется максимальной точечной группой магнитной симметрии, относительно которой инвариантен данный тензор. В табл. 72.3 указаны группы магнитной симметрии скаляров и векторов всех четырех типов. Сравнив с этой таблицей результаты исследования симметрии электрических и магнитных величин, проведенного в конце § 68, видим, что напряженности электрического и магнитного полей действительно представляются векторами электрического и магнитного типа соответственно. Однако электрический заряд описывается скаляром четного (не электрического!) типа. Магнитный же заряд, если бы таковой существовал, описывался бы скаляром магнитоэлектрического типа. Рассмотрим внешнюю симметрию тензоров каждого типа в отдельности. §72] ТЕНЗОРЫ РАСШИРЕННОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ГРУППЫ 475 Тензоры четного типа при любых несобственных поворотах преобразуются точно так же, как при соответствующих им собственных. Поэтому материальные тензоры четного типа для всех классов магнитной симметрии, входящих в одну подсистему, одинаковы. Вообще говоря, материальные тензоры четного типа для кристаллов всех классов магнитной симметрии отличны от нуля. Напротив, материальные тензоры любого из трех нечетных типов для многих классов магнитной симметрии тождественно равны нулю. Таблица 72.3 Магнитная симметрия скаляров и векторов, определенных на расширенной ортогональной группе Тип тензора Четный Электрический Магнитный Магнитоэлектрический Скаляр оооо/яГ ooool' оо сот оо сот' Вектор оо/ mm V comV со/mm' coj m'm Тензоры электрического типа при любых антипсворотах преобразуются так же, как при соответствующих им собственных поворотах, а при любых инверсионных антиповоротах — как при соответствующих им инверсионных поворотах. Поэтому очень легко выяснить вид тензора электрического типа, инвариантного относительно заданной точечной группы магнитной симметрии: достаточно уничтожить все штрихи в обозначении группы и обычным способом (методом прямой проверки или просто с помощью таблиц) найти вид соответствующего тензора нечетного типа, инвариантного относительно получившейся обычной точечной группы. Таким образом, задача о магнитной симметрии тензоров электрического типа сразу сводится к задаче об обычной симметрии тензоров нечетного типа. Ясно, что вид тензора четного типа, инвариантного относительно заданной группы магнитной симметрии, определяется точно так же: в обозначении группы вычеркиваем все штрихи и ищем тензор четного типа, инвариантный относительно получившейся обычной группы. Тензор магнитного типа, как показывает табл. 72.2, под дей- о ствием антиповорота l'R (ft, ф) преобразуется так же, как тензор электрического типа, под действием соответствующего инверсионного поворота 1R (ft, ф). Инверсионные же антиповороты 1'R (ft, ф) на тензоры обоих типов действуют одинаково. Отсюда вытекает следующее правило: тензор магнитного типа, инвариантный относительно магнитной группы G, имеет точно такой же вид, как тензор 476 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ VII! Таблица 72.4 Соответствие между группами магнитной симметрии тензоров различных типов G оооо ml' coco m oooom' оооо 1' оооо тЗ'т • тЗт тЗт' т'Зт' т'Зт 43'т АЪт 43т' 43'2 432 4'32 тЗ' тЗ т'З 23' 23 оо/ттГ со/тт со/т'т со/тт' со/т'т! сотУ сот сот' 888 to to to а, оооо ml' оооо Г оооот' оооо т оооо тЗ'т 43'2 43'т т'Зт' т'Зт тЗт' 4'32' 4'3т' тЗт 432 43т тЗ' 23' т'З тЗ 23 со/ттУ оо2Г со/т'т ooml' со/т'т' со/тт' со 2' сот! со/тт со2 оот а. ooooml' оооо т оооо Г оооот' оооо тЗ'т тЗт тЗт' 43'2 АЪ'т т'Ът 43т 4'32' т'Зт' 432 А'Ът' тЪ' тЪ 23' т'З 23 со/ттУ со/тт со ml' со/тт' оо 2Г со/т'т сот оо2' со/т'т' оо2 сот' G со/тУ оо/т со/т! со Г оо 6/тттУ 6/ттт б/т'тт 6/тт'т' б/т'т'т' б'/ттт! б'/т'тт' бт2У 6т2 б'т2' 6т'2' 6'т'2 бттУ бтт бт'т' 6'mm! 6221' 622 62'2' 622' 6/тУ 6/т 6/т' б'/т б'/т' 61' 6 6' 61' 6 6' а, оо/т Г col' оо/т' оо/т оо 6/тттУ 6221' б/т'тт бттУ б/т'т'т' б'/ттт! 6т2Г б'/т'тт' 6'22' 6'т2 6'тт' 6'т'2 б/тт'т' 62'2' бт'т' 6т2' 6/ттт 622 бтт 6т2 6/тУ 6У б/т' б'/т 61' б'/т' 6' 6' 6/т 6 6 оо/т Г оо/т ооГ оо/т' оо 6/mmml' б/ттт бттУ б/тт'т' 6221' 6т2Г б'/т'тт' б'/ттт' 6т2 6'тт' бт'2' 6'22' б/т'тт бтт 62'2' 6'т2' 6/т'т'т' 622 бт'т' 6'т'2 6/тГ 6/т 61' 61' б'/т' б'/т б 6' 6/т' б 6' § 72] ТЕНЗОРЫ РАСШИРЕННОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ГРУППЫ 477 Таблица 72.4 (продолжение) G 4 / mmmY 4/mmm 4/m'mm 4 /mm'm' 4/m'm'm' 4' /mmm' 4'lm'mm' 42ml' 42m 42'm' 4'2'm 4'2m' 4mm Г 4mm 4m'm' 4mm' 422Г 422 42'2' 4'22' •4/тГ 4/m 4/m' 4'/m 4'/m' 41' 4 V 41' 4 4' G, 4/mmmY 422 Г 4/m'mm 4mm Г 4/m'm'm' 42тГ 4'lm'mm' 4'/mmm' 4'22' 4'mm' 4'2'm 4'2m' 4/mm'm' 42'2' 4m'm' 42'm' 4/mmm 422 4mm 42m 4/mY 4Y 4/m' 4Y 4'/m' 4'/m 4/m 4 4/mmmY 4/mmm 4mm Г 4/mm'm' 422 Г 4' /mmm' 42m Г 4'lm'mm' 42m 42'm' 4'mm' 4'22' 4/m'mm 4mm 42'2' 4'2'm 4/m'm'm' 422 4m'm' 4'2m' 4/m Г 4/m 4Г 4'/m 4Г 4'/m' 4' 4/m' 4 4' G ЗтГ 3m 3m 3'm 3'm' 3'm 3m 3m' 3'2 32 32' ЗГ 3 3' 3' 3 mmmY mmm mmm' mm'm m'm'm' mm2Y mm2 m'm'2 mm'2' 222Г 222 22'2' G, ЗтГ 3'2 3'm 3'm 3'm' 3m' 32' 3m' 3m 32 3m ЗГ 3' 3' 3 3 mmmY 2221' mmm' mm2Y m'm'm' mm'm' 22'2' m'm'2 mm'2' mmm 222 mm2 Gt ЗтГ 3m 3m' 3'm 3'2 3'm 3m 32' 3'm' 32 3m' ЗГ 3 3' 3' 3 mmmY mmm тт2Г mm'm' 222 Г mmm' mm2 22'2' mm'2' m'm'm' 222 m'm'2 478 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ VIII Таблица 72.4 (продолжение) G 2/тГ 2/m 2/m' 2'/т 2'lm1 ml' m tn' G, 2/m Г 21' 2/m' 2'lm mV 2'lm' 2' m' Ga 2/m Г 2/m 21' ml' 2'lm' 2'lm m 2' a 21' 2 2' I' Г 1 G, 2/m 2 m 11' 1' I' I 1 Gi 2/m' 2 m' IГ I 1' Г 1 электрического типа, инвариантный относительно магнитной группы Gx. Чтобы получить группу Gx из группы G, нужно в последней заменить все инверсионные повороты соответствующими антиповоротами, а антиповороты — инверсионными поворотами. Аналогично выводится второе правило: тензор магнитоэлектрического типа, инвариантный относительно магнитной группы G, имеет точно такой же вид, как тензор электрического типа, инвариантный относительно магнитной группы G2. Чтобы получить группу G2 из группы G, нужно в последней все антиповороты заменить соответствующими инверсионными антиповоротами, а инверсионные антиповороты — простыми антиповоротами. Группы Gj и G2 для любой заданной группы магнитной симметрии легко найти с помощью табл. 72.4, а вопрос о виде тензора электрического типа, инвариантного относительно заданной группы магнитной симметрии, рассмотрен выше. Таким образом, формальные задачи магнитной кристаллофизики удается свести к уже решенным задачам классической кристаллофизики (Сиротин, 1962; Birss, 1962).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тензоры, определенные на расширенной ортогональной группе» з дисципліни «Основи кристалофізики»
