Точечными группами магнитной симметрии называются расширенная ортогональная группа и все ее подгруппы. Расширенная ортогональная группа состоит из всевозможных ортогональных преобразований g, а также из тех же преобразований, умноженных на инверсию времени; обозначим их g'. Из того, что инверсия времени коммутирует со всеми ортогональными преобразованиями, а квадрат ее есть тождественное преобразование, вытекают следующие правила умножения: если gk> gjgi=gh 454 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ. VIII ТО gig'i=gk, gjgi = gU F8.1) '' = gk> gjgi=gi- Рассмотрим кристаллографические (т. е. содержащие повороты и антиповороты лишь на углы я/2, я,3 и кратные им) и предельные группы магнитной симметрии. Их иногда называют также классами магнитной симметрии. Прежде всего в их числе содержатся, конечно, 32 обычные кристаллографические группы и 7 обычных предельных. Такие группы можно рассматривать как группы магнитной симметрии, не содержащие никаких антиповоротов, в том числе и инверсии времени. Это белые, или полярные, группы G. Далее, в число точечных групп магнитной симметрии входят 39 серых (нейтральных) групп GY: это 32 кристаллографические и 7 предельных. В каждой из них содержится инверсия времени, и любой поворот g входит в группу вместе с соответствующим антиповоротом g'. Наконец, третий тип групп магнитной симметрии образуют черно-белые группы, или группы смешанной полярности G'. В сс- став каждой из них инверсия времени не входит, но наряду с собственными или инверсионными поворотами ku ..., hk обязательно входят и антиповороты g'u ..., gi Так как в группу не входит /', ни одна из операций gy не совпадает ни с одной из операций hh Повороты hi образуют группу Я — кристаллографическую (т. е. не магнитную) подгруппу группы G', а антиповороты составляй т множество G' — Я. Зафиксировав некоторый антиповорот g'h рассмотрим всевозможные произведения g)hi, где hi пробегает всю группу Я. Все они различны и в силу F8.1) принадлежат множеству G' — Я. Поэтому число элементов в нем не меньше, чем в группе Я. С другой стороны, рассмотрев всевозможные произведения g'jg'i при фиксированном g'j и пробегающем все множество G' — Я элементе gi, найдем, что все они также различны и в силу F8.1) принадлежат группе Я, так что число элементов в ней не меньше, чем в G' — Я. Ясно, что эти числа просто равны и Я — подгруппа группы G' индекса 2. Отбросив штрихи у элементов g\ можно получить из любой черно-белой группы G' кристаллографическую группу G = = {Ль ..., hk, gi, .... gk}. И наоборот, из любой кристаллографической группы G, содержащей подгруппу Я индекса 2, можно получить черно-белую группу G', умножив элементы gJy не входящие в подгруппу Я, на инверсию времени. Совокупность поворотов hi и антиповоротов g) составляет искомую черно-белую группу G', и этим методом можно получить все такие группы. ! 68] ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ МАГНИТНОЙ СИММЕТРИИ 455 Выясним, например, какие черно-белые группы можно получить из группы ?2т. Это группа восьмого порядка. Она имеет три подгруппы индекса 2, а именно 4, 222_и тт2. Рассмотрим их последовательно. Из элементов группы 42т входят в подгруппу 4: /, 2Z, 4Z, 4\\ не входят в нее: входят в подгруппу 222: не входят в нее: входят в подгруппу тт2\ 2т ТПи mv 1, 41, не входят в нее: tnUJ 4 41 Заменив ортогональные преобразования, не входящие в подгруппы Я, соответствующими антиповоротами, придем к трем следующим черно-белым группам: {/, 2Z, 4 41 2ХУ 4 } {/, 22У 2Х, 2yi ~4'Z1 {/, 2г, ти, mv, 2 они изображены на рис. 68.1. ', m'ut ;, 2'уу Рис. 68.1. Фигуры из белых и черных тетраэдров, принадлежащие точечным группам антисимметрии, связанные с кристаллографической _группой G « 42m: a) G' = 42'т'» б) G' = 4'2т', в) G' = 4'2'т. Остальные кристаллографические черно-белые группы легко получаются тем же методом (см., например, рис. 68.2). В табл. 68.1 перечислены все кристаллографические и предельные *) группы G, их подгруппы Н индекса 2 и соответствующие черно-белые группы С. Подсчет показывает, что имеется *) Самый простой вывод предельных черно-белых групп основан на следующей теореме: если точечная группа G имеет знакопеременное представление (т. е. представление, состоящее из чисел 1 и —1), то можно построить черно- белую группу G', оставляя без изменений те элементы группы G, которым в данном знакопеременном представлении соответствует 1, и умножая остальные на инверсию времени (Инденбом, 1959), 456 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ. VIII 58 кристаллографических черно-белых групп и 7 предельных. А всего точечных групп магнитной симметрии разных типов 143: 122 кристаллографические и 21 предельная. Международные обозначения кристаллографических групп магнитной симметрии определяются следующими правилами: 1) полярная (белая) о) /О Я) группа G обозначается точно так же, как кристаллографическая группа, состоящая из тех же преобразований; 2) нейтральная (серая) группа QY обозначается символом соответствующей кристаллографической группы G с добавлением Г, Таблица 68.1 Черно-белые кристаллографические и предельные группы магнитной симметрии Рис. 68.2. Фигуры из белых и черных тетраэдров, принадлежащие точечным группам антисимметрии, связанные с кристаллографической группой С = 2/m: a) G' = 2/m', б) g' «= 2'm, в) G* = 27m'. Q 1 I 2 m 2/m 2/m 2/m 222 mm2 mm2 mmm mmm mmm 3 3 32 3m 3m 3m 3m 4 4 4/m 4/m H 1 1 1 I 2 m 2 2 m 2/m 222 mm2 — 3 3 3 3 32 3m 2 2 2/m 4 G' V 2' m' 2'/m' 2/m! 2'/m 22'2' m'm'2 mm'2' mm'm' m'm'm! mmm! — 3' 32' 3m' 3m' 3'm' 3'm 4' 4' 4'/m 4/m' G 4/m 422 422 4mm 4mm 42m 42m i2m 4/mmm 4/mmm 4/mmm 4/mmm 4/mmm 6 6 6/m 6/m 6/m 622 622 6mm 6mm 6m2 H i 222 4 mm2 4 222 mm2 ? mmm 4/m 422 4mm 32m 3 3 3 6 6 32 6 3m 6 32 G' 47m' 4'22' 42'2' A'mm' 4m'm' 4'2m' 4'2'm 42'm' 4'/mmm' 4/mm'm' 4/m'm'm1 4/m'mm 4'/m'm'm 6' 6'- 67m' 6/m' 67m 6'22' 62/2/ 6'mm1 6m'm! 6'm'2 Q — m2 6m2 6/mmm 6/mmm 6/mmm 6/mmm 6/mmm 23 m3 432 43m m3m m3m m3m oo oo/m oo2 com co/mm oo/mm co/mm coco oooom H 3m 6 3m 6/m 622 6mm 6m2 — 23 23 23 m3 432 43m — oo oo oo oo/m oo2 com — oooo G' Erm2' 6m'2' б'/т'тт' 6/mm'm' 6/m'm'm' 6/m'mm б'/ттт' — m'3 4'32' 4'3m' m3m' m'3m' m'Sm oo/m' oo2' com* co/mm' co/m'm' co/m'm — со com' § 681 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ МАГНИТНОЙ СИММЕТРИИ 457 например 32Г, тЗтГ; на нейтральность группы указывает также наличие в символе знака 3'; так, вместо 32Г и /лЗ/лГ можно писать 3'2 и тУт соответственно; 3) обозначение группы смешанной полярности G' (черно-белой группы) отличается от международного обозначения соответствующей кристаллографической группы G только тем, что упомянутые в нем антиоперации отмечаются штрихом, например, m'3/n означает, что инверсией времени сопровождается отражение в плоскостях {100}, тЪт' — в плоскостях {НО}, а т'Зт' — ив тех, и в других *). Кристаллографические группы магнитной симметрии применяются для описания симметрии кристаллов с учетом магнитной упорядоченности их структуры, предельные же можно использовать, в частности, чтобы охарактеризовать симметрию величин, фигурирующих в системе уравнений Максвелла. Электрический заряд е. Это Скаляр, не меняющий знак при инверсии времени. Он, таким образом, инвариантен относительно всех преобразований расширенной ортогональной группы оо оо 1Г, которую поэтому и следует считать его группой симьегрии. Такова же, конечно, и симметрия массы частицы т. Напряженность электрического поля Е. Это полярный вектор, не меняющий своего направления при инверсии времени. Его группа магнитной симметрии включает в себя группу симметрии полярного вектора оо т и группу Г — это предельная группа оо ml'. Такой же симметрией, как вектор £, обладает и радиус- вектор г. Напряженность магнитного поля Н. Это аксиальный вектор, который при инверсии времени меняет направление на обратное. Отражение в плоскости, параллельной главной оси, также меняет направление аксиального вектора на обратное. Ясно, что сочетание такого отражения с инверсией времени не изменит направления вектора Н и, следовательно, является для него элементом симметрии. Поэтому группа симметрии вектора напряженности магнитного поля содержит в качестве подгрупп группу симметрии аксиального вектора оо/ти группу т' (причем эта плоскость параллельна оси оо). Такова предельная группа оо I mm'. В качестве упражнения определим, какова была бы симметрия магнитного заряда, если бы такие заряды вообще могли существовать. Это был бы псевдоскаляр, меняющий знак при инверсии времени. Ясно, что относительно пространственно-временной инвер- *) Наряду с международными обозначениями точечных групп магнитной симметрии применяются и шубниковские (см. §5 и табл. 6.1). Они получаются из шубниковских обозначений кристаллгорафических групп почти по тем же правилам. Единственное отличие состоит в том, что вместо штриха употребляется минус под соответствующим^символом, например, группы 42'm', 4'2т' и Z'2'm по Шубникову обозначаются 4:2, 4:2 и 4:2 соответственно, 458 МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ [ГЛ. VIII сии (антиинверсии) такая величина должна быть инвариантна. Симметрия ее поэтому оо оо Г. Точечные группы магнитной симметрии кристаллов, трактуемые как группы антисимметрии, можно применить для описания симметрии (точнее, антисимметрии) материальных тензоров нечетного типа (см. § 44). Их применение основано на следующих рассуждениях. Действие инверсии на тензоры нечетного типа состоит в умножении всех их компонент на —1, и эту операцию естественно рассматривать как антиотождествление: / -►■ /'. Сама по себе эта операция в группах антисимметрии тензоров нечетного типа, конечно, отсутствует, но произведения ее на операции, входящие в группу симметрии тензора, определяют его антисимметрию. Пусть, например, в число элементов симметрии тензора нечетного типа входит плоскость симметрии т. Так как m = J?«/, a /->/', то /л-> 2-1' = 2\ т. е. из наличия у тензора нечетного типа плоскости симметрии следует, что у него есть также перпендикулярная к ней ось антисимметрии второго порядка. Это означает, что при повороте тензора (или системы координат) на 180° вокруг направления, перпендикулярного к плоскости симметрии, все его компоненты изменяют знак на обратный. И действительно, одна из изображенных на рис. 44.2 стереографических проекций указательной поверхности продольного пьезоэлектрического эффекта в кристалле турмалина (класс Зт) построена так, что плоскость проекции Х2Х3 совпадает с одной из плоскостей симметрии кристалла. Перпендикулярная к ней ось Хг должна поэтому служить антиосью второго порядка: 2' || Хг — и она действительно является таковой, что ясно видно на проекции. Другой пример: пусть у тензора нечетного типа ось симметрии второго порядка 2. Так как 2 = т-Т, то 2-> т', т. е. из наличия у тензора нечетного типа оси симметрии второго порядка следует наличие у него еще и перпендикулярной к ней плоскости антисимметрии. Это видно на рис. 58.2 и 58.3 — стереографических проекциях указательных поверхностей продольного пьезоэлектрического эффекта в кристаллах этилендиаминтартрата и сульфата лития (класс 2). Ось 2 || Х2 на них не заметна (она дает возможность ограничиться одним передним кругом проекций), а перпендикулярная к ней плоскость антисимметрии m' J_ Х2 видна совершенно отчетливо. Поскольку в группу антисимметрии вместе с плоскостью симметрии входит перпендикулярная к ней антиось второго порядка, а вместе с осью второго порядка — перпендикулярная к ней антиплоскость, в группу антисимметрии должно входить и произведение этих элементов — антицентр симметрии (или центр антисимметрии) /'. Он входит в группу антисимметрии любого тензора нечетного типа: действительно, если тензор умножается на —1 и при ШУБНИКОВСКИЕ ГРУППЫ 459 инверсии 7, и при антиотождествлении У, он инвариантен относительно произведения этих операций /'. Таким образом, в то время как тензоры четного типа центросимметричны, тензоры нечетного типа антицентросимметричны. Это облегчает выяснение групп антисимметрии С (Т) тензоров нечетного типа Т: чтобы построить группу G' (Т), достаточно добавить к группе симметрии G (Т) центр антисимметрии Г и его произведения на все g e G (Т). Очевидно, все получаемые таким образом группы G' (Т) оказываются черно-белыми. Предельные группы антисимметрии строятся аналогично. Так, группа симметрии вектора G (V) = оо т\ его группа антисимметрии С (V) = oolm'm отчетливо видна на рис. 22.3, изображающем его указательную поверхность. Группа симметрии антисимметричного по всем индексам тензора третьего ранга е (см. § 42) G (е)= оо оо, группа его антисимметрии С (е) = оо оо т'. Таблица 68.2 Группы антисимметрии тензоров нечетного типа (О — группа симметрии, О' — группа антисимметрии) G 1 2 m 222 mm2 3 32 3m 4 G' I' 2/m' 2'/m m'm'm' mmm' 3' 3'm' 3'm 4/m' G 4 422 4mm 42m 6 6 622 6mm 6m2 G' 4'/m' 4/m'm'm' 4/m'mm A'/m'mm' 6/m' 6'/m 6/m'm'm' 6/m'mm 6'/mmm' G 23 432 43m oo oo2 oom oooo G' m'3 m'3m' m'3m oo/m' co/m'm' со/m'm oooom' В табл. 68.2 указано, какова группа антисимметрии G' любого тензора нечетного типа, имеющего группу симметрии G.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Точечные группы магнитной симметрии» з дисципліни «Основи кристалофізики»
