Пьезоэлектрическая пластинка под действием однородных механических напряжений
Рассмотрим кристаллическую пластинку, толщина которой а много меньше длины и ширины: а2 <^ S; это позволяет пренебречь эффектами у краев. Ориентация пластинки задается единичным вектором нормали п\ условимся, что он направлен от нижней стороны пластинки к верхней. Поверхности ее, перпендикулярные к я, металлизированы. На пластинку действует однородное напряжение ст. Найдем деформацию и плотность зарядов на обкладках. Так как поверхности металлизированы, они являются эквипотенциальными поверхностями. Выбрав начало координат где- либо на нижней обкладке, введем координату z = п- г. Очевидно, все плоскости, параллельные обкладкам, также будут эквипотенциальными поверхностями, потенциал ф зависит только от z, т. е. <р = ф (z). Тогда напряженность электрического поля Е = — ф'/i, где ф' = dy/dz. На обкладки пластинки действуют усилия в пи —а • п на единицу площади, а на боковые поверхности — усилие e-q, где q — нормаль к данному участку боковой поверхности. При этом удовлетворены § 59] РАССМОТРЕНИЕ ЭЛЕКТРО- И ЭЛАСТОСТАТИКИ 395 уравнения упругого равновесия и граничные условия для напряжений. Уравнения E9.3) можно записать теперь в форме D = — х • щ' + 4яс! 2 0, F9.4) е а — п • dq/ + s I 0, E9.5) где ф' зависит только от 2, а 0 вообще не зависит от координат. Поэтому уравнение div D = О приводит к ф" = 0. Отсюда ясно, что ф — линейная функция z, а это значит, что деформации однородны и, следовательно, уравнения совместности деформаций Ink е =■ 0 удовлетворяются тождественно. При замкнутых накоротко обкладках ф @) = ф (а). Отсюда Ф = const, т. е. напряженность поля в пластинке равна нулю. Плотность поверхностных зарядов на нижней' обкладке равна Рпов = ^л-# =пд:в. E9.6) На верхней обкладке она такова же по величине, но противоположна по знаку (это связано с противоположным направлением внешней нормали к поверхности). Деформации в пластинке при этом, согласно E9.5), равны е = s : <г, т. е. таковы же, как и в отсутствие пьезоэлектрического эффекта. При разомкнутых обкладках разность потенциалов U = ф @) — — Ф (а) = —аф' не равна нулю, а следовательно, отлично от нуля и поле в пластинке. С другой стороны, при разомкнутых обкладках n*D = 0. Учитывая это, получим из E9.4) откуда найдем напряженность поля Е = —ф'я и разность потенциалов на обкладках U = —аф'. Деформация теперь зависит не только от упругих, но и от пьезоэлектрических свойств кристалла: согласно E9.5) Это можно записать в виде Выражение в скобках играет роль нового, зависящего от пьезоэлектрических коэффициентов, тензора упругой податливости. Очевидно, жесткость пластинки в этом случае несколько увеличивается; это и не удивительно: работа усилий, приложенных к поверхностям пластинки, затрачивается теперь не только на создание 396 ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. VII энергии упругой деформации - аа: s: 0 — -у а • х- л на 1 см2 пластинки, но и на создание электрической энергии*) W - 1 /у/1- Х п-*-пDпап.А:а\*_ 1 „4n(nd:o)* на 1 см2. Таким образом, деформация уменьшается ровно настолько, чтобы связанное с этим уменьшение упругой энергии компенсировало появление энергии электрической. Отношение W9J(Wynp + W9J]) показывает, какая часть механической энергии #мех = Wynp + WQJlJ затраченной на деформирование пьезоэлектрической пластинки, перешла в электрическую; квадратный корень из этого отношения Raex E9.9) называется коэффициентом электромеханической связи. Его можно представить в виде 4(£d:aJ /t-Q im Это отношение, очевидно, не зависит от величины электрического поля или механических напряжений: если увеличить в несколько раз все компоненты вектора Е или тензора 0, оно не изменится. Однако вследствие анизотропии кристалла оно существенно зависит от направления электрического поля и ориентации тензора напряжений. На практике однородное напряженное состояние пьезоэлектрической пластинки реализуется обычно в виде одноосного растяжения или сжатия, направление которого либо перпендикулярно к пластинке (продольный пьезоэлектрический эффект), либо лежит в ее плоскости (поперечный эффект). В случае продольного эффекта тензор напряжений а = опп. Поверхностная плотность заряда на замкнутых накоротко обкладках Рпов = <м • d: nn, E9.11) разность потенциалов между разомкнутыми обкладками E9.12) Сравнив напряжение а с относительным изменением толщины пластинки пг-п, получим модуль Юнга Е (п). При замкнутых *) Здесь С — емкость, приходящаяся на 1 см2 площади пластинки (см, § 28), § 59J РАССМОТРЕНИЕ ЭЛЕКТРО- И ЭЛАСТОСТАТИКИ 397 обкладках величина его такова же, как и в отсутствие пьезоэлектрического эффекта, а при разомкнутых (ср. E9.8)) — —"■['-мДД' <59-13> Дробь в скобках, очевидно, представляет собой квадрат коэффициента электромеханической связи для случая продольного пьезоэлектрического эффекта (ср. E9.12)). Так как во все формулы, описывающие продольный эффект, тензор d входит лишь в виде комбинаций nd:nn, его можно заменить тензором продольного пьезоэлектрического эффекта fijk = fyjky действительно при любом п имеем /i-d : пп = пЛ : пп. Симметрия тензора f подробно рассмотрена в § 58. При поперечном эффекте тензор напряжений а = oqq, -где q — единичный вектор, лежащий в плоскости пластинки. При этом поверхностная плотность заряда на замкнутых обкладках Рпов = <™-<1:^, E9.14) а разность потенциалов между разомкнутыми обкладками Коэффициент электромеханической связи при поперечном эффекте для каждого данного среза (т. е. при некотором фиксированном п) зависит от направления растяжения q. Пьезоэлектрическая пластинка под действием разности потенциалов. Подадим на обкладки той же пьезоэлектрической пластинки разность потенциалов U. Очевидно, в пластинке возникнет поле Е = (U/а) п. Если пластинка свободна, т. е. на ее обкладках и боковой поверхности усилия равны нулю, то напряжения будут равны нулю во всей пластинке. Тогда D = (U/a)*.n9 E9.17) s = (U/a)n-d. E9.18) Отсюда находим плотность заряда на нижней обкладке Механическим аналогом пластинки с разомкнутыми обкладками служит пластинка, к которой прикладывается одноосное сжимающее или растягивающее напряжение о = отш, не позволяющее ей изменять толщину, так что все время е : пп = 0. Из уравнения е: пп = (И la) n-d:nn + ann :s:nn = 0 398 ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. VII найдем величину напряжения а У- n'd:nn . E9.20) a nn:s:nn ч ' Отсюда получим формулу для индукции п_ и L „ 4я (я ■ d : im) d : /ш "| и~^Г'П nn : s: nn J' которую можно представить в виде аналогичном E9.8): выражение в скобках играет роль измененного тензора диэлектрической проницаемости. Плотность зарядов на обкладках п-Р _ Un.x.n Г« 4я (п ■ d : nnJ Рпов"" 4л ~" Ana L (n-x-n)(imis:ii меньше, чем в случае свободной пластинки E9.19). Как и в E9.13), ее уменьшение определяется квадратом коэффициента электромеханической связи k2. Тот же коэффициент k2 показывает, какая часть затраченной на создание разности потенциалов электрической энергии переходит в энергию механических напряжений (обе эти величины отнесены к 1 см2 пластинки). Действительно, Ь2_ ^мех _ 4я (п - d : nnY „-q 9оч Яэл ~"(n-K.n)(nn:s:nn) ф loy.zo;
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Пьезоэлектрическая пластинка под действием однородных механических напряжений» з дисципліни «Основи кристалофізики»
