Подсчитаем работу внешних усилий Р, приложенных к поверхности S упругого тела, объем которого V. Если под действием этих усилий точки поверхности испытывают малые смещения 6и, то работа = §8u-PdS=§ bUiPi dS. s s § 51J ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА 313 Так как Р = вп, где л —единичный вектор внешней нормали к поверхности S, то § § щцщ dS. s s Преобразуем, как и в § 50, поверхностный интеграл в объемный: Ья* = J div F0 • a) dV = J -~- Fupif) dV. По правилу дифференцирования произведения Jd&ut (* до ц ^Lo.dV + ^u^dV. E1.1) V V Пространственные производные малых смещений д (8ui)/dxj равны малым дисторсиям бе/у + бсо/у, но так как свертка антисимметричного тензора бсо^ с симметричным тензором вц — тождественный нуль, первое подынтегральное выражение из E1.1) сводится к о у 8еу. Обратимся ко второму интегралу. По уравнениям эластоди- намики doij/dXf = рйь а Ьщ можно рассматривать как щ б/, где Ы — время, в течение которого происходят смещения Ы. Далее, piiiUi 8t — A/2) pd/dt (й^) б/, но это — изменение кинетической энергии единицы объема за время б/ (в приближении теории малых деформаций плотность р в процессе деформирования остается постоянной). Тогда второй интеграл из E1.1) оказывается изменением суммарной кинетической энергии ofC упругого тела. Таким образом, работа внешних усилий так что часть работы, затрачиваемая на то, чтобы сообщить единице объема тела малую деформацию бе^ (или, для большей общности, чтобы изменить деформацию единицы объема на малую величину бе/у), оказывается равной 6R = Otfiei,. E1.2) Упругие (точнее — линейно-упругие) тела характеризуются тем, что напряжения в них пропорциональны деформациям. В применении к кристаллам это означает, что тензор напряжений линейно зависит от тензора деформаций, и эта линейная зависимость <* = c:e E1.3) определяется материальным тензором с; он называется тензором коэффициентов упругости или коэффициентов жесткости и выражается в кгс/см2, дин/см2 или Н/м2, 314 упругость кристаллов [гл vi Чтобы найти работу, необходимую для конечного изменения деформации единицы объема анизотропного упругого тела от значения е@) до значения еA), нужно проинтегрировать выражение E1.2) с учетом E1.3): A Этот интеграл, вообще говоря, зависит от пути интегрирования; условием же независимости его от пути интегрирования является существование такой функции W (е), чтобы dW dW /C1 A. 7 Тогда работа по упругому деформированию единицы объема будет равна A так что функция W (е) окажется плотностью энергии упругой деформации. При естественном предположении W @) = 0 она равна W = -i- Ctjkfitfikt = у е : с : е. E1.5) Из E1.4) следует также, что а это означает, что Суы = Ск№ Учитывая еще внутреннюю симметрию [V2] тензора е (еу = в^) (см. § 42), получаем отсюда, что если выполняется соотношение E1.4), то внутренняя симметрия тензора с равна [[V2]2]: Cijki = cjm = с ij ik = сш/. E1.7) Соотношение же E1.4), как следует из гл. VII, выполняется, в частности, в таких важных случаях, как адиабатическое и изотермическое деформирование кристалла. В формулах E1.3), E1.5) и E1.6) удобно заменить пары индексов if и Ы греческими индексами к и [х, принимающими значения 1,... ..., 6. Метод перехода к такой форме записи описан в приложении Е. После этого формулы примут вид соответственно E1.3') E1.5') <5L6'> § 51] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА 315 Соотношение E1.3) можно обратить, выразив деформации как функции напряжений: е = s : сг, e^, = s^o^; E1.8) s — тензор коэффициентов упругой податливости (или модулей упругости); внутренняя его симметрия, разумеется, такова же, как и у тензора с, выражается он в см2/дин, см2/кгс или м2/Н. Соотношения E1.3) и E1.8) называются обобщенным законом Гука для анизотропных сред. Если нужно учесть и температурное расширение кристалла, их дополняют температурными членами. При однородном изменении температуры на 0 градусов кристалл, свободный от внешних нагрузок, испытывает температурную деформацию а называется тензором коэффициентов теплового расширения, очевидно, он, как и тензор е, симметричен; размерность его — К. В общем случае, когда на кристалл воздействуют и механические напряжения, и изменения температуры, тензор малых деформаций слагается из частей, обусловленных каждым из этих воздействий в отдельности: = s^ + аЛ0. E1.9) Тогда температурные члены появляются и в выражениях для напряжений: РаЭ; E1.10) Р называется тензором коэффициентов термоупругости; он, как и а, симметричен. Выведем соотношения между материальными тензорами, входящими в обобщенный закон Гука с температурными членами E1.9), E1.10). Подставив в формулу E1.10) деформации, выраженные посредством формулы E1.9), получим <Ъ = Съ^О? — (рь — СяцОц) 0. Так как это тождество должно удовлетворяться при произвольных значениях напряжений ал, и температуры 0, из него следуют искомые соотношения n = у (bimbin + SinS/m)» E1.11) E1.12) В формулировках закона Гука E1.3) и E1.10) (но не E1.8) и E1.9I) можно тензор деформаций заменить тензором дисторсий ди/дг или транспонированным ему тензором Grad и (см. § 49). Дело в том, что е = ди/дг —- (о = Grad и + (о, а тензор малых 316 упругость кристаллов [гл. vi вращений со антисимметричен, и при свертывании с симметричным по последней паре индексов тензором с дает нуль: Сцк1®ы — О, с : о = 0. Поэтому закон Гука E1.3) можно записать в виде °i) = cm^, a = c:^=c:Grad«. E1.13) Подставив эти выражения в E0.7), получим уравнения движения упругого тела (уравнения эластодинамики) Йг = Р"Ж- <^GradGrada = p^!-, E1.14) а подставив их в E0.8), — уравнения упругого равновесия (уравнения эластостатики) ст -~^- = О, с i Grad Grad и = 0. E1.15) Это система трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с тремя неизвестными. Ею удобно пользоваться для решения задач теории упругости в тех случаях, когда граничные условия заданы для смещений. Однако граничные условия чаще задаются для напряжений, т. е. указываются усилия, приложенные к поверхности кристалла. Заметим, что граничные условия на свободных от нагрузок частях поверхности кристалла задаются именно для напряжений: усилия, приложенные к этим частям поверхности, равны нулю, смещения же здесь, вообще говоря, отличны от нуля. При задании граничных условий для напряжений удобнее записать дифференциальные уравнения теории упругости в такой форме, чтобы неизвестными функциями были компоненты тензора напряжений а. Они должны, как мы знаем, удовлетворять уравнениям упругого равновесия Коши E0.8), а полученные из них с помощью закона Гука компоненты тензора деформаций г — уравнениям совместности Сен-Веиана D9.18). Таким образом, приходим к системе девяти дифференциальных уравнений относительно шести неизвестных функций оц (г) *): Divo = 0, Ink(s:o) = 0, blknbHmsmnpqJ^=O E1.17) с тремя граничными условиями а п = Р, atfnl = Ph E1.18) *) Уравнения E1.17) называются обобщенными на случай анизотропного тела уравнениями Бельтрами^Митчелла, § 52] СИММЕТРИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ 317 где Р — векторная функция координат, заданная на всей поверхности упругого тела. Можно доказать *), что эта система всегда имеет решение и притом единственное. Закон Гука записан здесь без температурных членов, поэтому выведенные уравнения описывают упругое равновесие кристалла при постоянной температуре. Учет теплового расширения кристалла и связанных с ним температурных напряжений мы оставим до § 55.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обобщенный закон Гука» з дисципліни «Основи кристалофізики»
