Изотропными называются тензоры, инвариантные относительно группы оооот, а гиротропными — инвариантные относительно группы оооо. Ясно, что только такие тензоры и могут описывать свойства изотропных и гиротропных сред. Однако метод прямой проверки Фуми к таким тензорам вообще неприменим, а применение к ним метода усреднения по группе довольно затруднительно, так как связано с интегрированием по группе. Между тем изотропные и гиротропные тензоры и псевдотензоры легко выводятся с помощью теории алгебраических инвариантов. Очевидно, любой тензор вида ■«',-* D8-') изотропен, как и все его изомеры. Изотропна, следовательно, и любая линейная комбинация таких изомеров. Справедлива и обратная теорема: любой изотропный тензор ранга г можно представить как линейную комбинацию всевозможных изомеров тензора D8.1) (Гуревич, 1948) *). Эта теорема полностью решает вопрос о построении общего вида изотропных тензоров. ♦) Эти изомеры, вообще говоря, не независимы: из 105 изомеров изотропного гензора восьмого ранга независимых лишь 91, из 945 десятого — 603* § 48] ИЗОТРОПНЫЕ И ГИРОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ 297 Вое изотропные тензоры второго ранга имеют вид Ти = аЬц. D8.2) Так как тензор Кронекера б/у симметричен по индексам, внешняя симметрия оооот тензора второго ранга уже предопределяет внутреннюю симметрию [V2] этого тензора *). Изотропный тензор четвертого ранга — линейная комбинация трех изомеров тензора б/убЛ/: Тун = аЬиЬы + b8ik8fi + cbiibfk. D8.3) Все отличные от нуля компоненты этого тензора '1111 = '2222 = '3333 = # + Ь -\~ С, ^2233 = '3311 = '1122 = '3322 = '1133 = '2211 = Л» /дп л\ гр гр гр гр гр гр 1 {ЧО.Ч:) ' 2323 — ' 3131 — ' 1212 — 1 3232 ~ 1 1313 — i 2121 ~ и> ^2332 = ^3113 = ^1221 = ^3223 = ^1331 == ^2112 = С связаны между собой соотношением ^llll = ^2233 + ^2323 + ^2332» D8.5) Внутренняя симметрия этого тензора характеризуется равенствами Тун = Tuiij = TfUk =■ Tikji. D8.6) В теоретической кристаллофизике применяются тензоры четвертого ранга внутренней симметрии [[У2]2], [У2]2, [V4] и VIV3]. Выведем общий вид соответствующих изотропных тензоров. Изотропный тензор четвертого ранга, инвариантный относительно перестановки двух первых индексов, двух последних индексов, а также первой пары индексов со второй их парой, кроме равенств D8.6), должен удовлетворять еще равенству Tijkl = TJikh а для этого необходимо, чтобы b = с. Поэтому общий вид изотропного тензора внутренней симметрии [[V2]2] таков: TijM = o8/y8w + b F/Лв/, + 6u6jk). D8.7) Внутренняя симметрия [V2]2 ниже, чем [[К2]2], т. е. каждый тензор, инвариантный относительно группы внутренней симметрии *) Это обстоятельство используется в термодинамике. В § 57 специально доказывается симметричность тензора диэлектрической проницаемости к при изотермических и адиабатических процессах; при других процессах он, вообще говоря, не симметричен. Но если внутренняя его симметрия [У2] непосредственно следует из внешней (это имеет место не только для изотропных тел, но и для кубической и ромбической систем, а также для высших подсистем тригональной, тетрагональной, гексагональной систем и текстур), то для сред соответствующей симметрии термодинамическое доказательство симметричности тензора диэлектрической проницаемости, очевидно, излишне, а главное — этот тензор оказывается симметричным не только при изотермических и адиабатических, но вообще при любых процессах, 298 симметрия тензоров высших рангов [гЛ v ], инвариантен и относительно группы [К2]2. Однако табл. 47.1 показывают, что число независимых компонент у изотропных тензоров внутренней симметрии [[У2]2] и [V2]2 одинаково (и равно 2). Из сопоставления этих двух фактов следует, что и общий вид этих тензоров одинаков. Поэтому общий вид изотропных тензоров внутренней симметрии [V2]2 также характеризуется формулой D8.7). По тем же причинам формула D8.7) применима и к изотропным тензорам внутренней симметрии К2[1/2]. Совершенно аналогично находим общий вид изотропных тензоров внутренней симметрии [У4] и VIV3]: Тт = а (8,У6« + 6ik6ji + 6u6Jk). D8.8) Общий изотропный тензор шестого ранга представляется линейной комбинацией 15 изомеров. Приведем, например, вид изотропного тензора внутренней симметрии [[К2]3] Li/klmn = ablfikfimn + Ь {bifikm$ln + btfik jnbkm + ^infijk^ln + Stmfyl&kn + + bin6Jk6lm + 6inbjfikm)\ D8.9) коэффициенты а, &, с выражаются через его компоненты: а = ^112233» Ь = -у (L112222 £ll2?33) » , D8.10) О (L + 2L112233 — 3L112222)- Изотропные тензоры следующих рангов — восьмого, десятого и т. д. — можно построить тем же методом, однако, в отличие от рассмотренных случаев, число Lr линейно независимых изомеров тензора D8.1) при г^8 меньше общего их числа Nr = г\12пп\ (ранг тензора г = 2/г). Поэтому коэффициенты при изомерах однозначно не определяются и возникает дополнительная задача: разложить изотропный тензор на линейно независимые комбинации изомеров тензора D8.1). Аналогичная задача возникает для изотропных псевдотензоров, и метод ее решения рассмотрен ниже на примере простейшего из них. Изотропные псевдотензоры имеют, в отличие от изотропных тензоров, нечетный ранг. Любой изотропный псевдотензор ранга г может быть представлен в виде линейной комбинации изомеров псевдотензора «WsV,-^-,/, D8.11) где bititi9 — псевдотензор Леви-Чивита. Число этих изомеров Nr = = г\/3\2пп\, где ранг г = 2/г + 3. В следующей таблице для каждого ранга г выписано число Nr изотропных тензоров вида D8.1) § 48J ИЗОТРОПНЫЕ И ГИРОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ 299 или изотропных псевдотензоров вида D8.11) и число Lr линейно независимых среди них *): г=\ 2 3 4 5 6 7 8 9 10, Nr = 0 1 1 3 10 15 105 105 1260 945, Lr = 0 1 1 3 6 15 36 91 232 603. Эта таблица показывает, что уже изотропный псевдотензор пятого ранга общего вида нерационально представлять в форме Pijklm = Abijkb D8.12) потому что выписанные десять изомеров связаны между собой четырьмя линейными зависимостями и коэффициенты Л, ..., L однозначно не определяются. Разложим этот псевдотензор на симметричные и антисимметричные слагаемые: Pijklm = P(tf) k (lm) + P[ij]k(lm) + P(ij)k[lm] + P[lftk [/m]. D8.13) Первое слагаемое найдем непосредственно из D8.12):' P{ij) k {lm) = & {blkfijm + bikmfyl + 6/fe/6/m + бу^тб//). D8.14) Для разложения второго слагаемого воспользуемся соотношением дуальности z{V2} VIV2] ~ K2[V2]. Поскольку изотропный тензор внутренней симметрии V4V2] определяется формулой D8.7), дуальный ему псевдотензор Рипшт) равен lm) = &l]n [bbnkb = b8iJk6lm + с FtJfikm + biJmbkl). D8.15) Точно так же найдем разложение третьего слагаемого P(ij)k[im] = d8iiim8if + e(8iirn8fk + 8fim8ik). D8.16) Наконец, для записи четвертого слагаемого используем соотношение е {V2} V {V2} ~ eV3. Оно означает, что псевдотензор Рц^ k цт] можно выразить посредством псевдотензо^а третьего ранга. Так как P[ij]k[im] изотропен, псевдотензор третьего ранга также изотропен и, следовательно, имеет вид fbpkq. Поэтому lm] = D8.17) Сложив равенства D8.14) — D8.17), получим для псевдотензора Pijkim разложение Pijklm = a {bikfijm + bikmbjl + 8y*/6/m + bjkm$il) + bbyifiim + + (c + f) bijibkm + (c-f) blJmbkl + dbklmbij + e (8llm8Jk + 8flm8{k), D8.18) *) Для вычисления Lr используются методы теории представлений групп. 300 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ [ГЛ V определяемое, в отличие от D8.12), шестью независимыми коэффициентами а, ..., f. Смысл проведенных преобразований в том, что разложение псевдотензора Р-^ыт на симметричные и антисимметричные слагаемые позволило применить к последним соотношения дуальности, которые и дали возможность записать его без лишних коэффициентов. Так как группа вращений оооо — подгруппа ортогональной группы оооот, все тензоры и псевдотензоры, инвариантные относительно ортогональной группы, т. е. изотропные, инвариантны также и относительно группы вращений. Но есть и такие тензоры, которые инвариантны относительно группы вращений, но не инвариантны относительно ортогональной группы. Такие тензоры будем называть гиротропными. Все они имеют нечетный ранг. Любой гиротропный тензор ранга г может быть представлен в виде линейной комбинации изомеров тензора WVe-^r-1/r' D8Л9) антисимметричный по всем трем индексам гиротропный тензор е подробно описан в § 42. Наконец, гиротропные псевдотензоры имеют четный ранг; любой такой псевдотензор ранга г может быть представлен в виде линейной комбинации изомеров псевдотензора ф8|,«,. ••«,,_,,,, D8.20) где г|) — единичный псевдоскаляр, равный 1 в правой системе координат и — 1 — в левой. Формулы D8.11) и D8.19) линейны относительно псевдотензора bijk и тензора е^к соответственно. Это объясняется тем, что квадратичные комбинации, составленные из этих величин, согласно теореме об изотропных тензорах, выражаются через тензоры Кроне- кера. Именно для псевдотензора Леви-Чивита справедливы формулы D8.21) bijmbkim = S/лб// - 6tt8/ik, D8.22) бшбуЛ/ = 2б/у, D8.23) 8,7*8^ = 6. D8.24) Те же формулы справедливы и для аналогичных квадратичных комбинаций, составленных из компонент тензора eiJk. Формулы D8.21) — D8.24) могут быть использованы и для смешанных квадратичных комбинаций: 8iJkeimnt bijmekim и т. п., но правые их части должны быть при этом умножены на единичный псевдоскаляр г|>. По вопросам, затронутым в этой главе, см. Багавантам и Венкатарайуду A959); Схоутен A965); Хамермеш A966); Вустер A977),
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Изотропные и гиротропные тензоры» з дисципліни «Основи кристалофізики»
