Применение теории представлений групп к вопросам симметрии тензоров
Многие проблемы, связанные с симметрией тензоров, решаются с помощью специальных математических методов, основанных на более глубоких результатах теории групп (точнее — одного из ее разделов, называемого теорией представлений групп). Эти методы в последнее время широко применяются во всех отраслях теоретической физики, в которых необходимо учитывать симметрию исследуемых объектов: в теории молекулярных и кристаллических спектров, в теории элементарных частиц, в теории ядерных реакций и т. д. Здесь мы приведем без доказательства только два результата, касающихся симметрии тензоров. Первый из них — способ построения тензора, инвариантного относительно заданной кристаллографической группы G, посредством усреднения тензора по группе: на общий тензор А заданной внутренней симметрии нужно подействовать всеми операциями симметрии g, входящими в группу G, и подсчитать среднее арифметическое всех полученных результатов: А- D71> Если группа G имеет два генератора, удобнее усреднить тензор сначала по ее подгруппе Нъ определяемой одним генератором, а потом результат первого усреднения усреднить по подгруппе #2, определяемой другим генератором. Порядок последовательных усреднений значения не имеет. Например, тензор, инвариантный относительно группы 422 (ее генераторы 4г и 2Х), можно подсчитать как в порядке 4 так и в порядке = | «А>2 + 4г <А>2 + 22 (А>2 + 41 Второй важный результат, получаемый с помощью методов теории представлений групп, состоит в том, что удается подсчитать 282 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ [ГЛ. V число независимых компонент тензора заданной внешней и внутренней симметрии, не вычисляя при этом самого тензора (Bhagavantam and Suryanarayana, 1949; Jahn, 1949) *). Оно равно усредненному по кристаллографической **) группе G значению характера %т соответствующего тензорного представления Т: D7.2) Этим методом были обнаружены ошибки, допущенные в свое время при вычислении тензоров пьезооптических коэффициентов (см. § 77 и табл. Д. 19) и в течение тридцати пяти лет не замеченные позднейшими исследователями. В табл. 47.1 приведены числа независимых компонент тензоров и псевдотензоров различной внешней и внутренней симметрии до восьмого ранга включительно. В табл. 47.1а содержатся тензоры и псевдотензоры четного типа, а в табл. 47.16 — нечетного. В первой все 39 кристаллографических и предельных групп объединены в подсистемы, поскольку общий вид тензора четного типа, инвариантного относительно кристаллографической или предельной группы, одинаков для всех групп, входящих в одну подсистему. Таких подсистем 14 A1 кристаллографических и 3 предельные). Во второй же таблице указаны только нецентросимметричные группы, так как тензорные величины нечетного типа, инвариантные относительно центросимметричных групп, тождественно равны нулю. Нецентросимметричных групп 25 B1 кристаллографическая и 4 предельные). В таблицах указано не только число независимых компонент тензора, но и число его независимых инвариантов, когда оно отличается от числа независимых компонент. В этих случаях подсистеме в табл. 47.1а или группе в табл. 47.16 соответствуют две строки чисел: в верхней приведены числа независимых компонент, в нижней — числа независимых инвариантов. Разность между числом независимых компонент и числом независимых инвариантсв равна числу параметров, необходимых для задания ориентации данного тензора относительно координатной системы. Так, у вектора всего один независимый инвариант — его длина. В кристаллах, имеющих ось симметрии, материальный вектор должен совпадать с ней по направлению. Этим требованием полностью определяется ориентация вектора относительно координатной системы. Поэтому число независимых компонент вектора для этих классов равно числу его независимых инвариантов, т. е. единице.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Применение теории представлений групп к вопросам симметрии тензоров» з дисципліни «Основи кристалофізики»
