Метод прямой проверки, описанный в предыдущем параграфе, не дает возможности находить тензоры, инвариантные относительно групп тригональной и гексагональной систем, а также относительно предельных групп симметрии. Для решения этих задач требуются более сложные методы, один из которых — метод прямой проверки в циклических координатах — мы и рассмотрим. Введем в рассмотрение циклические базисные векторы Два из них мнимы и комплексно сопряжены, о чем и напоминает черта над вектором /*). Они, однако, линейно независимы, так как поэтому их и можно использовать в качестве базиса. Обращение формул D6.1) имеет вид *1=У+У. e2 = -i(j-J), es = e. D6.2) Запишем один и тот же вещественный вектор в декартовом и в циклическом базисе: е2 + геъ = f *) Все действия над комплексными векторами проделываем так же, как над вещественными, рассматривая / как обычный коэффициент (причем t2 = —1). Заметим, что в линейной алгебре скалярное произведение комплексных векторов определяется по-другому. 276 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ [ГЛ V Заменив ег и е2 их выражениями D6.2) и сравнив коэффициенты при одинаковых векторах, найдем z = z. D6.3) Таким образом, и здесь черточка —это знак комплексного сопряжения. Повернем теперь координатную систему вокруг оси Х9 на угол ф. Новые декартовы базисные векторы равны ev = ег cos ф + е2 sin ф, е* = — е1 sin q> + e2 cos ф, D6.4) ег=е3. Им соответствует и новый циклический базис \ , J' = \ (ev - ier), e' = er. D6.5) Чтобы получить закон преобразования циклических базисных векторов при таком повороте системы координат, выразим новые декартовы орты через старые декартовы орты, а последние с помощью формул D6.2) — через старые циклические базисные векторы. Тогда получим / = е-*у\ J = е*% е' = е. D6.6) Отсюда найдем закон преобразования компонент. Так как V+V+ ге = IT +17/7 + * V, ясно, что £'=**ф&. !' = *-'¥!, г' = г. D6.7) Если компоненте £ приписать индекс 1, компоненте | — индекс— 1, а компоненте z — индекс 0, то закон преобразования циклических компонент (но не базисных векторов!) при повороте вокруг оси Х3 можно записать с помощью матрицы || c^i II: ck« = eik'vbk>i = e^bk'i D6.8) в виде Ak^Ck-tA^&tbk-iAt. D6.9) Соответственно закон преобразования циклических компонент тензора А ранга г при повороте на угол <р вокруг оси Х3 принимает вид Если поворот вокруг оси Х3 представляет собой единичный поворот вокруг оси симметрии порядка N, то ф = 2n/N и ^. D6.11) § 46] ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. ТЕОРЕМА ГЕРМАНА 277 Представим себе теперь, что тензор А ранга г задан своими компонентами А1х... ir относительно циклической системы координат. Сформулируем условия, которым должны удовлетворять эти компоненты, чтобы тензор А был инвариантен относительно группы N (т. е. относительно поворотов вокруг оси симметрии N-то порядка). Матрица || cvi II записана у нас в виде, очень удобном для подстановки ее в основное уравнение инвариантности D4.3). Сделав это, получим {[^]}.//=0. D6.12) Отличными от нуля могут быть только те компоненты, для которых обращается в нуль фигурная скобка. Но e2nis = 1 тогда и только тогда, когда s — целое число или нуль. Таким образом, отличны от нуля только те циклические компоненты инвариантного относительно группы N тензора, сумма индексов которых равна нулю или делится на N. Мы получили очень простое правило, по которому мы сразу можем выписать все отличные от нуля компоненты тензора, инвариантного относительно любой группы поворотов, правда, только в циклической системе координат. Перечислим, например, отличные от нуля циклические компоненты тензора А четвертого ранга, инвариантного относительно группы 3 (минус для удобства пишем над индексом): л л__ А- А А ЛШв' Л1Ш' ^lOOl' ^ОООО' Л0Ш' а также компоненты, получающиеся из выписанных при любой перестановке индексов (общее число отличных от нуля компонент равно 4 + 6+12+1+4- 27). Посмотрим, как изменятся эти результаты для инверсионных поворотов. При инверсии циклические координаты ведут себя так же, как и декартовы: все они меняют знак на обратный. Поэтому матрица преобразования циклических координат при инверсионном повороте отличается от полученной ранее матрицы для простого поворота только знаком: ckU = — eil4^i. D6.13) Условие инвариантности тензора относительно инверсионной оси порядка N имеет поэтому вид ]}/1.../г = 0, D6.14) где г — ранг тензора А. Для тензоров четного ранга оно, таким образом, вообще не отличается от условия инвариантности относительно простой оси того же порядка. У тензоров же нечетного ранга, инвариантных относительно группы N9 отличны от нуля лишь ком- 278 симметрия тензоров высших рангов [гл. v поненты, для которых частное от деления суммы индексов на порядок оси есть полуцелое число ±(l1+...+lr) = ±±, ±{, ±|,... D6.15) Действительно, квадратная скобка в уравнении инвариантности D6.14) при нечетном г обращается в нуль при этом, и только при этом условии. Обобщение выведенных условий инвариантности на псевдотензоры не представляет никакого труда. Если у тензора отличны от нуля только такие циклические компоненты, сумма индексов которых равна нулю, то тензор, очевидно, инвариантен относительно любой группы поворотов, потому что условие инвариантности выполняется для него при любом N. Но это значит, что данный тензор инвариантен относительно предельной группы оо, и ясно, что только такие тензоры и обладают этим свойством. Этот результат не только дает возможность найти общий вид материальных тензоров для текстур, но также позволяет доказать одну из важнейших теорем теоретической кристаллофизики. Теорема Германа. Если тензор ранга г имеет ось симметрии порядка N и г <с N, то этот тензор имеет и ось симметрии бесконечного порядка (Hermann, 1934; Герман, 1945). Доказательство этой теоремы очень просто. Так как циклические индексы принимают лишь значения —1, 0, 1, сумма индексов для любой компоненты по абсолютной величине не превышает ранга тензора г. Если г < N, то для выполнения условия инвариантности необходимо, чтобы эта сумма для отличных от нуля компонент равнялась нулю. А это и значит, что тензор имеет ось симметрии бесконечного порядка. Теорема Германа находит многочисленные применения. Материальные тензоры второго ранга для кристаллов средней категории имеют, согласно этой теореме, ось бесконечного порядка; изучая диэлектрические свойства кристаллов, мы сталкивались уже с этим обстоятельством. Все тензоры второго ранга для кубических кристаллов изотропны, потому что кубические кристаллы имеют четыре оси третьего порядка; это мы тоже уже видели. Далее, тензоры третьего ранга для кристаллов классов 4, 6 и для текстур класса оо совпадают по форме; также совпадают эти тензоры для кристаллов классов 422, 622 и текстур класса оо2, для кристаллов классов 4mm, 6mm и текстур класса oom. Тензоры четвертого ранга совпадают по форме для подсистем 6/т и оо/т, а также для подсистем 6/mmm и оо /mm. Какое значение имеют эти обстоятельства для кристаллофизики, мы увидим позднее, когда познакомимся со свойствами, которые описываются тензорами третьего и четвертого рангов. $ 461 ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ТЕОРЕМА ГЕРМАНА 279 Итак, мы умеем выписывать неисчезающие циклические компоненты тензоров, инвариантных относительно групп N и N9 a также инвариантных относительно предельной группы оо. Но ведь нужны нам не циклические, а декартовы компоненты тензоров. Возникает потребность в удобном способе преобразования циклических компонент в декартовы. Оказывается, и здесь полезно то обстоятельство, что компоненты тензоров преобразуются как произведения соответствующих координат; именно на этом основан способ, который мы продемонстрируем на примерах. Условимся об обозначениях. Вместо циклических индексов 1, О и —1 будем опять писать £, z и £ соответственно. Тензорные компоненты будем обозначать фигурными скобками с коэффициентом, например а{£Щ; при этом содержимое фигурных скобок указывает, какие индексы имеет данная компонента, а коэффициент — чему данная компонента равна. С содержимым фигурных скобок можно проделывать тождественные преобразования в соответствии с формулой D6.3), а именно, Если в фигурные скобки входит два или более индексов, придется производить умножение; это делается обычным образом с одним усложнением: ни в коем случае нельзя менять местами сомножители, так как это означало бы перестановку индексов. Коэффициент i можно переставлять на любое место и даже выносить за скобки. Например, Ш = {(* - iy) (х - iy)} = {хх} - {уу} - i {xy} - i {ух}. Скобки {11} непосредственно получаются из предыдущих посредством комплексного сопряжения, т. е. изменения знаков мнимых слагаемых; это уменьшает вдвое число необходимых расчетов. Заметим еще, что подсчитав, скажем, скобки Ш) = {ххх} + {хуу} + {уху} - {уух} + +1 ({хху} - {хух} - {ухх} - {ууу}), можно сразу выписать также скобки {Щ} и {Щ} — для этого нужно просто сделать соответствующие перестановки и в правой части равенства: для получения {%\1} нужно поменять местами второй и третий индексы во всех скобках правой части, а для получения {1Щ — первый и третий. Рассмотрим пример: подсчитаем тензор третьего ранга, инвариантный относительно поворотов вокруг оси третьего порядка. Запишем его в виде 280 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ ГГЛ V Здесь выписаны все неисчезающие его компоненты; a, a, blt blt .., — произьоль- ные комплексные коэффициенты. Раскрыв скобки, получим g = (a+a)({xxx}-{xyy}-{yxy}-{yyx}) + + i (а-а) ({ууу} — {хху} - {хух} - {ухх}) + ({xxz} + {yyz}) + i (h-bx) ({xyz} - {yxz}) + } + {yzy})+i (b -b2) {xzy)-{yzx}) + 63-63) ({zxy}-{zyx}) + d Очевидно, коэффициенты перед фигурными скобками, составленными из индексов х, у, г, — соответствующие компоненты в декартовых координатах. Если тензор g веществен, то а и 5, Ьх и 6j и т. д. — комплексно-сопряженные числа, так как они служат коэффициентами при комплексно-сопряженных фигурных скобках. Многие из компонент оказались связанными между собой. Действительно, полученное равенство означает, что отличны от нуля компоненты '—[УУХ] ИЛИ gn] =— gi2» = — #212 = — #221, 1УУУ] = — [хху] = — [хух] = — [ухх] или g222 = — gU2 = — glal = — g211, [**z] = [yyz] или g113=gr223, [xyZ] = — [yXZ] Г ЛИ gr123=— ^2i3, [*гх] = [#г(/] или ^ш = — ^2з2» [лгге/] = — [i/гл:] или gi32 = — g2si, [zxx] = [гуу] или gr311 = g322, [zxy] = — [г^/д:] или g312 = — gr321, [zzz] или g333. Таким образом, из 21 отличной от нуля компоненты всего 9 независимых. Рассмотрим гензор d, также инвариантный относительно группы 3, но, кроме того, симметричный по второму и третьему индексам. У него отличны от нуля компоненты: ^113 = ^131 s ^223 = ^232» ^123 = ^132 = — ^213 = — ^231> ^811 = ^322» rf333- Их всего 19, и 6 из них независимы. Наконец, симметричный по всем индексам тензор !, инвариантный относительно той же группы, имеет отличные от нуля компоненты: fill =s — /l22 — — /212 == — /221» /222 — — /l!2 я — /l21 = — /211» /ll3 = /l31 = /311 = /223 = f322 = ^232» /зЗЗ* Их всего 15, независимых же из них лишь 4. Не представляет труда построить соответствующие тензоры, инвариантные относительно группы 32 или Зт. Для этого нужно лишь отсеять те компоненты, которые обращаются в нуль вследствие требования инвариантности относительно 2Х или тх соответственно. Так, для группы 32, воспользовавшись табличкой, выписанной специально для тензора третьего ранга в предыдущем параграфе, найдем отличные от нуля компоненты тензора g: #111 = — #122 = — #212 = — #221» #123 = — #218» #182 = — #231» #312 == — #821» тензора d: dlll = — dl22— — d2i2= — ^221> di23=dl32 = — d2i3= — d281 и, наконец, тензора f: /ш s — /122= — /212 = — /221* § 47] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП 281 Другой способ построения тензоров, инвариантных относительно групп тригональной и гексагональной систем см. Fumi A952a, b); Fieschi and Fumi A953).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Циклические координаты. Теорема Германа» з дисципліни «Основи кристалофізики»
