ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Основи кристалофізики

Бескоординатная запись тензоров. Инвариантные дифференциальные операции над тензорами
Как уже отмечалось в § 41, тензоры высших рангов можно
записывать в бескоординатной форме. Например, тензор третьего
ранга при бескоординатной записи принимает вид d = dijkeiejek.
Бескоординатная запись умножения тензора на число и сложения
тензоров пояснений не требует. Умножение тензоров обозначаем,
записывая перемножаемые тензоры рядом в должном порядке без
каких-либо знаков между ними. Умножение с последующим
свертыванием естественно обозначать знаком скалярного произведения.
Действительно, если условиться, что знак скалярного
произведения означает скалярное умножение соседних с ним векторов, то,
например, скалярное произведение вектора Р = Ptei на тензор d
равно
Р • d = Ptei • dijkeiefek = Ptdi/k (*/ • et) efek =
= Pidijkbuefek = Pidi/kefek. D3.1)
Получился тензор второго ранга с компонентами Pidiik.
Если бы суммирование производилось по последнему индексу тензора d,
соответствующий тензор можно было бы получить, переставив сомножители:
d • Р = di/keiefek • Pfr = difkPkeief. D3.2)
Но если бы суммирование нужно было производить по среднему индексу
тензора d, мы вообще не сумели бы записать это действие в бескоординатном виде.
К счастью, при записи тензорных соотношений кристаллофизики подобных
ситуаций обычно удается избежать. Спасает от них внутренняя симметрия
применяемых в кристаллофизике тензоров. Действительно, если бы тензор d был
симметричен по всем индексам, было бы вообще безразлично, какой из них избрать
в качестве индекса суммирования. Если даже тензор d симметричен только по
двум индексам (скажем, второму и третьему), этого уже достаточно, чтобы можно
было записать в бескоординатной форме все возможные виды свертывания этого
тензора с вектором, потому что суммирование по второму индексу в этом случае
дает тот же результат, что и суммирование по третьему индексу.
Естественным обобщением рассмотренного выше скалярного
произведения двух тензоров (т. е. перемножения их с последующим
свертыванием по одному индексу от каждого тензора) является
бискалярное произведение тензоров, отличающееся от скалярного
тем, что свертывание производится по двум индексам от каждого
тензора. Знак бискалярного умножения (:) указывает, что два
вектора, находящихся непосредственно левее его, скалярно
перемножаются с двумя векторами, расположенными непосредственно
правее его. Если, например, s = ^к1еге^еке1 и а = отпетепу то
бискалярное произведение этих тензоров — тензор второго ранга
е = s: о = siikieiefekei: отпетеп =
= Stfk/omneie, (ek • ет) (eL - еп) = smakieiej. D3.3)
9 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская - 463
258 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ [ГЛ V
Компоненты е*у бискалярного произведения s : а равны, таким
образом, гу = SijkiQki- Бискалярное произведение х\ = а : s имеет,
очевидно, компоненты х\ы — (tyS//*/.
С помощью знака бискалярного произведения можно
записывать компоненты тензоров третьего и четвертого ранга.
Например, компоненты тензора третьего ранга d и тензора четвертого
ранга s равны соответственно
rd:ekeh
Бискалярное умножение можно применять и к тензорам второго
ранга. Например, компоненты тензора второго ранга а с равным
правом могут быть записаны в любой из трех форм:
Оц — есое/ = в: etef = eief: a. D3.6)
При бескоординатной записи применяется также знак X, он
означает векторное умножение соседних с ним векторов
Например, векторное произведение тензора а = а/;£*£/ на вектор р =
= pkek по определению равно
а хр = оце^; х pkek = оцрм (е, х ek),
а с помощью тождества ej X £* = omet оно принимает
окончательный вид
о Хр = bfkfiiiPi&iGi* D3,6)
В физике сплошных сред широко используются инвариантные
дифференциальные операции: взятие градиента скалярного поля
Ф (г), обозначаемое grad ф, а также расходимости div и и вихря
rot и векторного поля и (г). Аналогичные операции применяются
и к величинам более высокой тензорной размерности. Мы будем
пользоваться в этих случаях теми же обозначениями, но
начинающимися с прописных букв.
Градиент векторного поля и (г) — тензор второго ранга Grad и
с компонентами
(Grad u)i/ = ^—. D3.7)
Транспонированный ему тензор ди/дг называется производной
векторного поля и по радиусу-вектору г:
hrd£j- D3-8)
Симметричная часть каждого из этих тензоров называется
деформацией векторного поля и (г) и обозначается Def и:
^). D3.9)
§ 43] ВЁСКООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ ТЕНЗОРОВ 259
Расходимость тензорного поля а (г) — вектор Div а о
компонентами
D3.10)
Когда нужно дифференцировать по второму индексу, пользуются
расходимостью транспонированного тензора а*:
D3.11)
Если тензорное поле а (г) определено во всех точках
поверхности S, то поверхностный интеграл
nadS
называется потоком тензорного поля а (реже — потоком тензора а)
через эту поверхность. Если же это поле определено (и непрерывно
дифференцируемо) также и во всем объеме V, ограниченном
замкнутой поверхностью 5, то справедлива теорема Гаусса — Остро-
градского
& п • о dS = \ Div о dV D3.12)
s v
— поток тензорного поля через замкнутую поверхность равен
суммарной расходимости того же тензорного поля в объеме,
ограниченном этой поверхностью. Доказательство теоремы Гаусса —
Остроградского для тензорных полей непосредственно следует из
общеизвестного доказательства этой теоремы для векторных полей
и потому не приводится.
Наконец, вихрь тензорного поля г (г) — псевдотензор того же
ранга Rot 8 с компонентами
(Rot в)„ = 6,7*^5**. D3.13)
Rot 8 можно рассматривать как векторное произведение: Rot г =
= у Х8. При необходимости дифференцировать по второму
индексу используется Rot 8*.
В механике сплошных сред широкое применение находит
дифференциальная операция второго порядка — вихрь от
транспонированного вихря тензорного поля 8 (г). Это тензорное поле
Ink 8 = Rot (Rot 8)* D3.14)
имеет тот же ранг, что и исходное, и называется несовместностью
тензорного поля в (г). Компоненты его равны
(Ink 8^ = 6^6^^. D3.15)

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Бескоординатная запись тензоров. Инвариантные дифференциальные операции над тензорами» з дисципліни «Основи кристалофізики»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Інвестиції у виробничі фонди
Визначення потреби в інвестиціях та вартості капіталу
Оцінка і управління кредитним ризиком
Змінні грошові потоки
АУДИТОРСЬКИЙ РИЗИК ТА АУДИТОРСЬКІ ДОКАЗИ. СУТТЄВІСТЬ ПОМИЛОК


Категорія: Основи кристалофізики | Додав: koljan (10.12.2013)
Переглядів: 1018 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП