Бескоординатная запись тензоров. Инвариантные дифференциальные операции над тензорами
Как уже отмечалось в § 41, тензоры высших рангов можно записывать в бескоординатной форме. Например, тензор третьего ранга при бескоординатной записи принимает вид d = dijkeiejek. Бескоординатная запись умножения тензора на число и сложения тензоров пояснений не требует. Умножение тензоров обозначаем, записывая перемножаемые тензоры рядом в должном порядке без каких-либо знаков между ними. Умножение с последующим свертыванием естественно обозначать знаком скалярного произведения. Действительно, если условиться, что знак скалярного произведения означает скалярное умножение соседних с ним векторов, то, например, скалярное произведение вектора Р = Ptei на тензор d равно Р • d = Ptei • dijkeiefek = Ptdi/k (*/ • et) efek = = Pidijkbuefek = Pidi/kefek. D3.1) Получился тензор второго ранга с компонентами Pidiik. Если бы суммирование производилось по последнему индексу тензора d, соответствующий тензор можно было бы получить, переставив сомножители: d • Р = di/keiefek • Pfr = difkPkeief. D3.2) Но если бы суммирование нужно было производить по среднему индексу тензора d, мы вообще не сумели бы записать это действие в бескоординатном виде. К счастью, при записи тензорных соотношений кристаллофизики подобных ситуаций обычно удается избежать. Спасает от них внутренняя симметрия применяемых в кристаллофизике тензоров. Действительно, если бы тензор d был симметричен по всем индексам, было бы вообще безразлично, какой из них избрать в качестве индекса суммирования. Если даже тензор d симметричен только по двум индексам (скажем, второму и третьему), этого уже достаточно, чтобы можно было записать в бескоординатной форме все возможные виды свертывания этого тензора с вектором, потому что суммирование по второму индексу в этом случае дает тот же результат, что и суммирование по третьему индексу. Естественным обобщением рассмотренного выше скалярного произведения двух тензоров (т. е. перемножения их с последующим свертыванием по одному индексу от каждого тензора) является бискалярное произведение тензоров, отличающееся от скалярного тем, что свертывание производится по двум индексам от каждого тензора. Знак бискалярного умножения (:) указывает, что два вектора, находящихся непосредственно левее его, скалярно перемножаются с двумя векторами, расположенными непосредственно правее его. Если, например, s = ^к1еге^еке1 и а = отпетепу то бискалярное произведение этих тензоров — тензор второго ранга е = s: о = siikieiefekei: отпетеп = = Stfk/omneie, (ek • ет) (eL - еп) = smakieiej. D3.3) 9 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская - 463 258 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ [ГЛ V Компоненты е*у бискалярного произведения s : а равны, таким образом, гу = SijkiQki- Бискалярное произведение х\ = а : s имеет, очевидно, компоненты х\ы — (tyS//*/. С помощью знака бискалярного произведения можно записывать компоненты тензоров третьего и четвертого ранга. Например, компоненты тензора третьего ранга d и тензора четвертого ранга s равны соответственно rd:ekeh Бискалярное умножение можно применять и к тензорам второго ранга. Например, компоненты тензора второго ранга а с равным правом могут быть записаны в любой из трех форм: Оц — есое/ = в: etef = eief: a. D3.6) При бескоординатной записи применяется также знак X, он означает векторное умножение соседних с ним векторов Например, векторное произведение тензора а = а/;£*£/ на вектор р = = pkek по определению равно а хр = оце^; х pkek = оцрм (е, х ek), а с помощью тождества ej X £* = omet оно принимает окончательный вид о Хр = bfkfiiiPi&iGi* D3,6) В физике сплошных сред широко используются инвариантные дифференциальные операции: взятие градиента скалярного поля Ф (г), обозначаемое grad ф, а также расходимости div и и вихря rot и векторного поля и (г). Аналогичные операции применяются и к величинам более высокой тензорной размерности. Мы будем пользоваться в этих случаях теми же обозначениями, но начинающимися с прописных букв. Градиент векторного поля и (г) — тензор второго ранга Grad и с компонентами (Grad u)i/ = ^—. D3.7) Транспонированный ему тензор ди/дг называется производной векторного поля и по радиусу-вектору г: hrd£j- D3-8) Симметричная часть каждого из этих тензоров называется деформацией векторного поля и (г) и обозначается Def и: ^). D3.9) § 43] ВЁСКООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ ТЕНЗОРОВ 259 Расходимость тензорного поля а (г) — вектор Div а о компонентами D3.10) Когда нужно дифференцировать по второму индексу, пользуются расходимостью транспонированного тензора а*: D3.11) Если тензорное поле а (г) определено во всех точках поверхности S, то поверхностный интеграл nadS называется потоком тензорного поля а (реже — потоком тензора а) через эту поверхность. Если же это поле определено (и непрерывно дифференцируемо) также и во всем объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью 5, то справедлива теорема Гаусса — Остро- градского & п • о dS = \ Div о dV D3.12) s v — поток тензорного поля через замкнутую поверхность равен суммарной расходимости того же тензорного поля в объеме, ограниченном этой поверхностью. Доказательство теоремы Гаусса — Остроградского для тензорных полей непосредственно следует из общеизвестного доказательства этой теоремы для векторных полей и потому не приводится. Наконец, вихрь тензорного поля г (г) — псевдотензор того же ранга Rot 8 с компонентами (Rot в)„ = 6,7*^5**. D3.13) Rot 8 можно рассматривать как векторное произведение: Rot г = = у Х8. При необходимости дифференцировать по второму индексу используется Rot 8*. В механике сплошных сред широкое применение находит дифференциальная операция второго порядка — вихрь от транспонированного вихря тензорного поля 8 (г). Это тензорное поле Ink 8 = Rot (Rot 8)* D3.14) имеет тот же ранг, что и исходное, и называется несовместностью тензорного поля в (г). Компоненты его равны (Ink 8^ = 6^6^^. D3.15)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Бескоординатная запись тензоров. Инвариантные дифференциальные операции над тензорами» з дисципліни «Основи кристалофізики»
