Внутренняя симметрия тензоров и соотношения дуальности
В кристаллофизике часто применяются тензоры высших рангов, симметричные по некоторым индексам. Тензор называется симметричным по двум или нескольким индексам, если все его изомеры, отличающиеся друг от друга перестановкой этих индексов, равны между собой. Так, компоненты тензора третьего ранга, симметричного по двум последним индексам, удовлетворяют условиям diki = dilk, D2.1) компоненты тензора третьего ранга, симметричного по всем трем индексам, — условиям flkl = fllk — fkli = fkll = flik = flkh D2.2) 252 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ [ГЛ V а компоненты тензора четвертого ранга, симметричного по первым двум и последним двум индексам, — условиям Pijki = Pjiki = Pijik = Pjuk- D2.3) В кристаллофизике встречаются также тензоры, симметричные по целым группам индексов. Таков, например, тензор четвертого ранга, в котором можно не только переставлять индексы в первой и во второй паре, но и переставлять сами эти пары: sijkl == sjikl = sijlk = sjilk = skllf = Sklji = slklj = slkjh D2.4) а также тензор, в котором переставляются только пары индексов, но не индексы внутри пар: nijki = nkliJ. D2.5) Свойство тензора быть симметричным (или антисимметричным) по некоторым индексам или группам индексов называется внутренней симметрией тензора. То, что внутренняя симметрия — действительно свойство тензора, нужно еще доказать. Эти доказательства очень просты; сущность их сводится к тому, что если мы обнаружили какой-то тип внутренней симметрии, отнеся тензор к некоторой системе координат, мы обнаружим тот же тип внутренней симметрии и в любой другой системе координат. Чтобы избежать громоздкого словесного описания внутренней симметрии тензоров, физик-теоретик Ян (Jahn, 1949) предложил простую и удобную систему обозначений. Внутренняя симметрия вектора обозначается буквой V. Внутренняя симметрия тензора ранга г — символом Vrt напоминающим о том, что компоненты тензора ранга г преобразуются как произведения компонент г векторов. Симметричный тензор второго ранга обозначается [V2]—этот символ указывает, что компоненты данного тензора преобразуются как произведения двух компонент одного и того же вектора. Вообще внутренняя симметрия тензора ранга г, симметричного по всем индексам, обозначается [Vr] —его компоненты преобразуются как произведения г компонент одного и того же вектора. Так, внутренняя симметрия тензора f, характеризуемая формулой D2.2), обозначается [Vs]. Если тензор ранга г симметричен по q индексам, его внутренняя симметрия обозначается [Vq] Vr~^\ например, внутренняя симметрия, характеризуемая формулой D2.1), обозначается V[V2\ *). *) Обозначение внутренней симметрии не указывает, на каких именно местах находятся индексы, по которым тензор симметричен; оно относится ко всем изомерам, а в словесном описании и в примерах выбран один из них, наиболее удобный или чаще применяемый в кристаллофизике, § 42] ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ И СООТНОШЕНИЯ ДУАЛЬНОСТИ 253 Встречаются и более сложные обозначения: [V2] [V]2 или просто [V2]2 — внутренняя симметрия тензора четвертого ранга, симметричного по первой паре индексов и по второй паре индексов (формула D2.3)); [1/2]з — внутренняя симметрия тензора шестого ранга, симметричного по первой, второй и третьей паре индексов; l(V2J] — внутренняя симметрия тензора четвертого ранга, симметричного относительно перестановки пар индексов (формула D2.5)); [[V2]2] —внутренняя симметрия тензора четвертого ранга, симметричного по первой и второй парам индексов, а также относительно их перестановки (формула D2.4)). Во всех случаях суммарная степень V равна рангу тензора. Символика Яна позволяет описывать и внутреннюю симметрию псевдотензоров. Приставка «псевдо» обозначается е: внутренняя симметрия псевдовектора (т. е. аксиального вектора, см. § 23) выражается символом eV, симметричного псевдотензора второго ранга — символом e[V2] и т. д. Внутреннюю симметрию скаляра мы обозначим символом 1, тогда внутреннюю симметрию псевдоскаляра естественно обозначить е. В кристаллофизике симметричные тензоры высших рангов часто определяют линейные зависимости, в которых участвуют симметричные тензоры второго ранга. Например, тензор внутренней симметрии V IV2] (см. формулу D2.1)) определяет линейную зависимость симметричного тензора второго ранга IV2] от вектора V: ekl = dmEi (гм = г1к), D2.6) а тензор [У2]2 (см. D2.3)) — линейную зависимость одного симметричного тензора второго ранга [У2] от другого lij = Pijkfiki (£// = £/*» 4i = *ik). D2.7) Симметричные тензоры высших рангов получаются также в результате дифференцирования по тензорным аргументам. Так, дифференцирование скалярной функции по вектору V и симметричному тензору второго ранга IV2] приводит к тензору V IV2] (см. D2.1) ): (* *); D2.8) двукратное дифференцирование скалярной функции по симметричному тензору второго ранга IV2] — к тензору внутренней симметрии UV2]2] (см. D2.4)): д2Ф 2^4 СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ [ГЛ V а двукратное дифференцирование по несимметричному тензору второго ранга V2 — к тензору [ (V2J] (см. D2.5)): ? D2Л0) Число независимых компонент у симметричных тензоров меньше, чем у несимметричных. В то время как у тензора V3 27 (З3) независимых компонент, у тензора V [V2] их всего 18 F х 3) (это особенно ясно из формул D2.6) и D2.8)), а у тензора IV3] — только 10 C компоненты вида /ш + 6 компонент вида /122 + 1 компонента /123). Аналогично у тензора У4 всего 81 (З4) независимая компонента, а у тензора типа [V2]2 их 36 (б2), у тензора типа UV2]2] 21 [6 X F + + 1)/2], у тензора типа [(V2J] 45 [9 X (9 + 1)/2] независимых компонент. Наряду с симметричными тензорами применяются и антисимметричные *). Тензор называется антисимметричным по двум или трем **) индексам, если его изомеры, отличающиеся друг от друга четной перестановкой этих индексов, равны друг другу, а нечетной — антиравны (равны по величине, но противоположны по знаку). Антисимметричность тензоров по Яну обозначается аналогично симметричности, но не квадратными, а фигурными скобками. Например, внутренняя симметрия тензора третьего ранга, антисимметричного по первым двум индексам, обозначается V {V2} или {V2} V и характеризуется равенствами Р//* = — Р//*» D2.11) а внутренняя симметрия антисимметричного по всем индексам тензора третьего ранга обозначается {V3} и характеризуется равенствами ***) Ъ/к = efki = ekij = — eikJ = — ejik = — eun. D2.12) Этот тензор замечателен тем, что у него всего одна независимая компонента. Действительно, если среди индексов есть хотя бы два одинаковых, соответствующая компонента равна нулю, а все шесть отличных от нуля компонент имеют в качестве индексов какую- либо перестановку чисел 1, 2, 3 и, следовательно, связаны между собой пятью равенствами D2.12). Если, например, е123 = 1, то 1 при /т/г = 123, 231, 312; — 1 при 1тп= 132, 213, 321; D2.13) 0 в остальных случаях. *) Иногда вместо слова «антисимметричный» говорят «кососимметричный». **) В трехмерном пространстве тензоры, антисимметричные более чем по трем индексам, тождественно равны нулю. ***) Символика Яна основана на использовании обозначений тех представлений, по которым преобразуются соответствующие тензоры; так, V2, [V] и {V} — простая, симметрическая и антисимметрическая степени векторного представления У, § 42] ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ И СООТНОШЕНИЯ ДУАЛЬНОСТИ 255 Интересно поведение компонент тензора е при преобразованиях координат. Если в старой системе координат эти компоненты определяются формулой D2.13), то в новой системе, переход к которой задается матрицей || сщ ||, они равны ei*yv = cricrmc^neimn- Подсчитав эту сумму для нескольких значений индексов i'j'k' и сравнив ее с величиной Д = det || сьч ||, убедимся, что Д при i'j'k'= 123, 231, 312; — Д при *'/'*'= 132, 213, 321; D2.14) О в остальных случаях. С другой стороны, сравнение формул D2.13) и D2.14) показывает, что все компоненты тензора е (или, если угодно, единственная независимая его компонента) при переходе к новой системе координат умножаются на определитель матрицы преобразования, т. е. являются псевдоскалярами (ср. формулу D2.11)). Таким образом, этот тензор инвариантен относительно всевозможных собственных поворотов, т. е. относительно группы вращений его симметрия оо <х>. Символ Леви-Чивита был определен в § 13 условием 1 при /т/г = 123, 231, 312; —1 при /т/г = 132, 213, 321; D2.15) О в остальных случаях в любой системе координат. Сравнение с тензором е показывает, что для этого б должен быть псевдотензором третьего ранга, так чтобы его компоненты при переходе к новой системе координат преобразовывались по закону bi'l'k* = kCi'iCj'mCk'nblmn, D2.16) где Д = det || cm ||. Так как эти компоненты вообще не изменяются ни при каких ортогональных преобразованиях, группа симметрии тензора 6 — ортогональная группа оо оо т. С помощью псевдотензора Леви-Чивита связь между псевдоскаляром и антисимметричным тензором третьего ранга можно представить аналитически: eifk = г|)б//ь ф = 1 bmei1k\ D2.17) здесь а|з — единичный псевдоскаляр, равный +1 в правой системе координат и —1 в левой. Псевдотензор Леви-Чивита позволяет также установить обратимое соответствие между аксиальным вектором а и антисимметричным тензором второго ранга А = —А*: а* = — 4 8imnAmn • D2.18) ^56 симметрия тензоров высших рангов [гл v Это соответствие сохраняется при любых ортогональных преобразованиях. Действительно, = — Cj>mCk'n§lmn$lpup = — £/'//А'/ЛтлЯ/ = Cj'mCk'nAmn = Aj'k (здесь использованы формула D2.16), тождества Д2 = 1 и б) о В сущности, аксиальный вектор а и антисимметричный тензор А, связанные друг с другом соотношениями D2.18),—это две формы записи одного и того же геометрического объекта. Это же, разумеется, можно сказать и про тензор е внутренней симметрии {V3} и псевдоскаляр г|), связанные друг с другом соотношениями D2.17). Соотношения D2.17), D2.18) и им подобные называются соотношениями дуальности: антисимметричный тензор второго ранга дуален аксиальному вектору, антисимметричный тензор третьего ранга — псевдоскаляру, а антисимметричный псевдотензор третьего ранга — скаляру. Соотношения дуальности очень лаконично и выразительно записываются в символике Яна: соотношение D2.17) — в форме {К3}~е, D2.19) а соотношение D2.18) — в форме {V2}~eV. D2.20) Главное преимущество такой формы записи — возможность чисто формального вывода новых соотношений дуальности из уже известных. Так, умножив обе части соотношения D2.19) на е и заметив, что е2 = 1 (произведение двух псевдоскаляров есть скаляр), получим e{Vs}**> 1 D2.21) — соотношение дуальности между антисимметричным псевдотензором третьего ранга и скаляром. Умножив на V обе части соотношения D2.20), получим \V2}V —eV2 D2.22) — антисимметричный по двум индексам тензор третьего ранга дуален псевдотензору второго ранга, вообще говоря, несимметричному. Умножив же обе части соотношения D2.20) на е, найдем е{У2}~1/ D2.23) — антисимметричный псевдотензор второго ранга дуален обычному полярному вектору. Соотношения D2.22) и D2.23) используются в теории оптической активности кристаллов (см. § 81).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Внутренняя симметрия тензоров и соотношения дуальности» з дисципліни «Основи кристалофізики»
