Решение задачи о распространении света в кристалле в произвольной системе координат
Задача о распространейии плоских электромагнитных волн в анизотропной среде настолько важна, что целесообразно рассмотреть ее решение в совершенно произвольной декартовой системе координат, никак не связанной ни с направлением распространения света, ни с главными осями оптической индикатрисы. Пусть т — единичный вектор нормали к фронту плоской электромагнитной волны некоторой частоты со, а т) = т) (со) — тензор диэлектрической непроницаемости для данной частоты. В произвольной декартовой системе координат уравнение оптической индикатрисы имеет вид =1, C7.1) а уравнение проходящей через ее центр плоскости, параллельной волновому фронту, — 0, тг = О. C7.2) Сечение оптической индикатрисы этой плоскостью — эллипс; все его точки удовлетворяют обоим уравнениям. Направления и длины главных полуосей этого эллипса совпадают соответственно с направлениями колебаний и показателями преломления электромагнитных волн с нормалью т, распространяющихся в данном кристалле. § 371 РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В КРИСТАЛЛЕ 227 Длины главных полуосей эллипса — это наибольшее или наименьшее расстояния трчек эллипса от его центра. Поэтому можно найти показатели преломления и направления колебаний, решая задачу о том, каково расстояние от центра эллипса наиболее и наименее удаленных его точек и в каких направлениях от центра эллипса они расположены. Радиус-вектор любой точки г = xfii можно записать в виде r = np Xi = nph C7.3) где п — длина этого вектора, ар — единичный вектор того же направления: рр= 1, р(п=1. C7.4) Тогда уравнение оптической индикатрисы C7.1) примет вид Для точек эллипса единичный вектор р удовлетворяет уравнению mipi = QJ mp = 0. C7.5) Таким образом, расстояние любой точки оптической индикатрисы от ее центра равно п = лГ— =,г— , C7.6) Y4ikPiPk Vp-ЧР где р — единичный вектор, указывающий, в каком направлении от центра расположена эта точка. Если же эта точка принадлежит эллипсу, то компоненты pt единичного вектора р должны еще удовлетворять соотношению C7.5). Функция /Г2 (р) достигает экстремальных значений при тех же значениях ри что и функция п (р), но значительно более удобна для исследования, чем последняя. Таким образом, задача свелась к следующей: при каких значениях pt достигаются и чему равны экстремальные значения функции при дополнительных условиях Для решения этой задачи используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию * Pi. P3)=Y^-iX 8* 2" ^ikPiPk — у Ь (PiPi - *) + ptriiPh C7.8) 228 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV где X и (х — множители Лагранжа. «Подозрительные на экстремум» векторы pW и соответствующие им значения Х{д) и \х{д) найдутся из системы, состоящей из уравнений: ^- = Чирк - 'Xpi + № = О, dF C7.9) т] p а также уравнений C7.4) и C7.5). Уравнения C7.9) вместе с уравнением C7.5) составляют систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных ръ /?2, р31 \л: (г\11-Х)р1+ у\12р2 + Ч21Р1 + (Л22 - Ц Р2 + ч\2зРз + т№ = 0, + Л32^2 +(^-^)^+^^ = 0 ' ' miPl + m2p2 + m3P3 =0. Как известно, система однородных линейных уравнений имеет нетривиальные, т. е. не равные тождественно нулю, решения в том и только в том случае, если определитель этой системы равен нулю: Т|ц—X Ч\\2 х T]i3 A т|21 т|22 — л» 123 "*2 Лз1 Лз2 Лзз — Я» л /7Zj IU2 tn% ( = 0. C7.11) Условие C7.11) представляет собой квадратное уравнение относительно множителя Лагранжа X. Нетрудно доказать, что корни его Х{1) и А,B) вещественны (см. формулу C7.18)). Подставив один из корней, скажем, А,A), в систему C7.10), найдем соответствующие значения компонент вектора р{1) и множителя Лагранжа |шA) с точностью до нормировки, т. е. значения ap[l\ ocp(j\ ар1г1} и а|ш. Неизвестный коэффициент а найдется из условия C7.4), после чего вектор рA) и множитель Лагранжа ц,A) окажутся определенными с точностью до знака, если только А,A) ^=Х^2). Эта точность вполне достаточна, так как центр эллипса служит для него центром симметрии и потому п (—р) = п (р). Рассмотрим некоторые общие свойства решений этой задачи. Скалярно умножив обе части уравнения C7.9) на вектор р^\ где q — 1, 2, получим *(,)=р<*>-4 ■]*<'>. C7.12) Таким образом, множитель Лагранжа Х^д) равен нормальной составляющей тензора диэлектрической непроницаемости в направлении колебаний. Из формулы C7.7) следует, что это просто обратная величина квадрата показателя преломления световой § 37] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В КРИСТАЛЛЕ 229 волны с данным направлением колебаний: C7.13) Скалярно умножив обе части уравнения C7.9) на вектор w, получим ><*>. C7.14) Таким образом, множитель Лагранжа ц,(^ равен взятой с обратным знаком тангенциальной компоненте тензора диэлектрической непроницаемости в направлениях колебаний р и волновой нормали w. Так как тангенциальные компоненты изотропного тензора равны нулю, множитель Лагранжа \iq отличен от нуля только в оптически анизотропных кристаллах. Поскольку единичный вектор направления колебаний р^ коллинеарен вектору индукции D{q) электромагнитной волны с нормалью m и скоростью с/п(д), вектор v\p(g) коллинеарен вектору напряженности электрического поля Ed) этой волны. Множитель \i(q) равен (взятой с обратным знаком) проекции вектора i\-p(«> на направление волновой нормали. Таким образом, он показывает, насколько вектор напряженности электрического поля данной световой волны отклоняется от плоскости волнового фронта. Это отклонение возможно только при распространении света в оптически анизотропной среде. Уравнения C7.10) и C7.11) несколько упрощаются в системе координат, построенной на собственных векторах тензора диэлектрической непроницаемости т). В этой системе координат уравнение C7.11) приводится к виду + [Л BL(8)"*! + Л (8)Л иМ + ЛA)ЛB)^з] = 0. C7.15) Вычислив корни Х{1) и ХB) этого квадратного уравнения, находим векторы направлений колебаний р{1) и рB) и, если нужно, множители Лагранжа |шA) и (хB) из уравнений C7.10), которые в собственной системе тензора т) принимают вид C7.16) Однако значительно более существенного упрощения уравнений C7.10) и C7.11) можно достичь, записав их в системе координат, одна из осей которой, скажем, ось Х3, направлена по вектору волновой нормали т. В этой системе координат тх = т2 — 0, т3 = 1 и отличны от нуля лишь компоненты рх и р2 вектора направления 230 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV колебаний. Из четырех уравнений C7.10) остается, в сущности, только два: Определитель этой системы однородных линейных уравнений равен нулю лишь при V 2) = \ [(Ли + Л22) ± К(Лц-Л22J + B%2J]. C7.18) — п Л21 Лз1 т1 Л12 Л22 —«~2 Т]32 т2 Т|13 Т]23 Лзз — л"$ щ П%2 1 т3 0 Подставив в уравнения C7.17) ХA), найдем компоненты вектора /?A). После этого с помощью третьего из уравнений C7.10) можем найти Rd = —W/'-Wi1'. C7.19) Вектор /?B) и множитель Лагранжа jutB) находятся аналогично.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Решение задачи о распространении света в кристалле в произвольной системе координат» з дисципліни «Основи кристалофізики»
