Теплопроводность изотропных твердых тел определяется исходя из пропорциональности теплового потока q градиенту температуры grad T: XdT C3.1) 208 ВВЕДЕНИЕ В КРИСТАЛЛОФИЗИКУ [ГЛ III (знак минус выбран, чтобы коэффициент теплопроводности X всегда можно было считать положительным: тепловой поток направлен в сторону понижения температуры). Естественное обобщение этой закономерности на анизотропные тела д = — *,.grad7\ C3.2) Эта формула полностью аналогична формуле теории электропроводности кристаллов C2.4), которую можно записать в виде /= —a.gradq). C3.3) Тензор теплопроводности %, так же как тензор электропроводности а, симметричен, и все его собственные значения положительны. Очевидно, div g равна количеству теплоты, выходящему из единицы объема тела за единицу времени. Изменение температуры в этом объеме за единицу времени равно —div qt деленной на теплоемкость единицы объема, т. е. на ср, где с — удельная теплоемкость (теплоемкость единицы массы), р — плотность. Отсюда следует уравнение теплопроводности кристаллов g = - ±- div q = -^ div (Ь • grad T). C3.4) Поскольку тензор теплопроводности ^, как р и с, не зависит от координат, можно вынести его за знак дифференцирования и ввести тензор температуропроводности к = A/рс)Х и записать уравнение теплопроводности в виде ОТ , д*Т к Если в каждой точке тела dT/dt = 0, то мы имеем дело с установившимся, неизменным во времени тепловым потоком. В этом случае, отбрасывая не имеющий теперь значения множитель 1/ср, получаем из C3.5) уравнение полностью аналогичное уравнению для потенциала в теории постоянного тока. В этих условиях теплопроводность кристаллических стержней и пластинок, очевидно, вычисляется по формулам, совершенно аналогичным тем, которые получены в предыдущем параграфе. Разности потенпЫалов соответствует теперь разность температур, силе тока — количество тепла, проходящего за 1 К/с через стержень или пластинку, напряженности электрического поля — взятый с обратным знаком градиент температуры, вектору плотности тока — вектор потока тепла. § 33] ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 209 Рассмотрим температурные поля, возникающие в кристаллах при равномерном нагревании, т. е. при повышении температуры окружающей среды с постоянной скоростью h [К/с]. Разумеется, равномерное охлаждение рассматривается точно так же, только к считается отрицательным. После некоторого периода установления *) можно с достаточной степенью точности считать, что в каждой точке кристалла температура возрастает со скоростью h. Тогда решение уравнения теплопроводности C3.5) можно искать в форме Г (г, t) = O® + ht; C3.7) функция Ф удовлетворяет уравнению = Л. C3.8) Пусть кристаллическая пластинка толщины 2а равномерно нагревается с поверхностей п-г = ±а. Здесь п — единичный вектор нормали к плоскости пластинки, г — радиус-вектор, отсчитываемый от какой-либо точки, лежащей в средней плоскости пластинки. Введем координату г — п-г = щх^ Очевидно, температура — функция г и времени t, причем JL 2lJL dxt —dxt дг Уравнение C3.8) запишется теперь в виде и так как температура среды с обеих сторон пластинки одинакова, Ф (—а) = Ф (а). Поэтому решение уравнения C3.9) имеет вид где В — неизвестная пока постоянная, определяемая из граничных условий. В частности, если принять, что температура Т (гЫ, t) на границе кристалла равна температуре окружающей среды То (t), то Обычно кристаллы нагреваются в воздухе или ином газе. При этом температура поверхностных слоев кристалла в большей или меньшей степени отстает от температуры окружающей среды. Соответствующее этой ситуации граничное условие, если не учиты- *) Его продолжительность пропорциональна квадрату линейных размеров тела, обратно пропорциональна температуропроводности и зависит от условий теплообмена на границе тела, существенно увеличиваясь с ухудшением последних, 210 ВВЕДЕНИЕ В КРИСТАЛЛОФИЗИКУ [ГЛ III вать теплообмен за счет излучения, имеет вид dT(la't)=±H[T0(t)-T(±a, t)]9 C3.11) где коэффициент Н характеризует условия теплообмена на границе кристалла с окружающей средой: Н = 0 соответствует полному отсутствию теплового потока через поверхность кристалла, при Н ->■ оо температура поверхностных слоев кристалла Т (zba, t) стремится к температуре окружающей среды TQ (t). При граничном условии C3.11) очевидно, последнее слагаемое и характеризует отставание температуры поверхностных слоев кристалла от температуры окружающей среды. Определение коэффициента Н затруднительно; в частности, его зависимость от направления нормали к грани кристалла, соприкасающейся со средой, до сих пор экспериментально не исследована. Однако некоторые важные сведения о распределении температуры в кристалле можно получить и не зная этого коэффициента. Как будет показано в § 55, для вычисления напряжений, возникающих в кристалле при его нагревании (или охлаждении), достаточно знать разность между температурой кристалла в данной точке Г (г, f) и средней его температурой (Т (/)). В данном случае При вычислении разности Т — (Т) слагаемое В, как и слагаемое fit, выпадает, и для случая равномерного нагревания кристалла со скоростью h получаем £[Щ1] <33-12)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теплопроводность кристаллов» з дисципліни «Основи кристалофізики»
