Наряду с векторами, описывающими перемещение, скорость, ускорение, силу и вполне законно изображаемыми стрелкой, в физике применяются и векторы совершенно другого типа, описы- 6 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская 162 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. II вающие поворот, угловую скорость, угловое ускорение, момент силы, напряженность и индукцию магнитного поля. Они характеризуют вращение вокруг некоторой оси, и их естественно изображать отрезком прямой, направленной параллельно оси с указанием направления вращения вокруг оси (рис. 23.1). Длина отрезка должна быть пропорциональна длине вектора. Такие векторы называются аксиальными, обычные же векторы, чтобы подчеркнуть их отличие от аксиальных, называют иногда полярными. Аксиальные векторы отличаются от по- Раксиальный1%Ямкторы. " ЛЯрНЫХ ГруППОЙ СИММеТрИИ. ГруППЭ СИМ- метрии аксиального вектора оо 1т. В отличие от группы симметрии полярного вектора оо/я, она центросим- метрична: аксиальный вектор инвариантен относительно инверсии (а также относительно отражения в перпендикулярной к нему плоскости). Два пересекающихся аксиальных вектора образуют между собой два угла, дополняющие друг друга до я. Если поворачивать один вектор до совмещения со вторым, то при повороте на один из этих углов направления обхода при совмещении векторов совпадут, а при повороте на другой угол окажутся противоположными. Именно Рио. 23.2. Углы между аксиальными векторами. первый из этих углов мы будем считать углом между аксиальными векторами (рис. 23.2). Рассмотрим алгебру аксиальных векторов. При умножении аксиального вектора на положительное число X длина его увеличивается в X раз, если же К отрицательно, то при этом направление обхода меняется на обратное. о о Сумма двух аксиальных векторов а и Ь определяется подобно сумме полярных векторов. И здесь можно воспользоваться любым из двух эквивалентных способов: способом параллелограмма или способом треугольника. По первому из них на векторах а и бстро- о о о ится параллелограмм; вектор с = а + о совпадает с той из его i 23] АКСИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ 163 диагоналей, которая рассекает угол между векторами а и 6, направ- о ление же обхода выбирается так, чтобы при повороте вектора с о о о в пределах угла между векторами а и о и совмещении с с одним из этих векторов направления обхода совпали бы (рис. 23.3). Рис. 23.3. Сложение аксиальных векторов; способ параллелограмма. При сложении двух аксиальных векторов по способу треуголь- о о ника векторы а и о совмещаются концами так, чтобы направление обхода вдоль получившейся ломаной не менялось бы. Соединив свободные концы отрезком и задав на нем противоположное направ- Рис. 23.4* Сложение аксиальных векторов: способ треугольника (многоугольника). о о о ление обхода, мы и получим вектор с = а + Ь. Как и в случае сложения полярных вектрров, этот способ легко обобщается в способ многоугольника, позволяющий складывать сразу несколько векторов (рис. 23.4). Скалярное произведение двух аксиальных векторов равно про- ° £ изведению длин векторов на косинус угла между ними: а • о = = ab cos у. Задание скалярного умножения позволяет ввести орто- о о о нормированный базис е1} е2, ев, состоящий из аксиальных векторов 6* 164 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. IT (et . °ef » 8/у). Любой аксиальный вектор а можно разложить по этому базису: причем о о о al = ael. B3.2) Легко показать, что если с = а + 6, то ct = at + bh и что а • о = Закон преобразования коэффициентов разложения at таков же, как и закон преобразования компонент полярного вектора: если о о о B3.3) то av = Ci'kak. B3.4) о Элементы матрицы \\сск || являются косинусами углов между базис- о о о о о о ными аксиальными векторами ее и ек. Так как аксиальный базис Рио. 23.5. Преобразование аксиального векторного базиса о определителем —1 (стереографическая проекция). Базис б нельзя получить из базиса а никаким ортогональным преобразованием. инвариантен относительно инверсии, то подвергается ли он соб- о ственному повороту R (к, ф) на угол ф вокруг единичного вектора к или инверсионному повороту 77? (к, ф), — матрица || ci>k || все равно совпадает с матрицей соответствующего собственного поворота. Поэтому при любых ортогональных преобразованиях del 11^11= 1. Правда, можно представить себе и такие преобразования акси- о ального векторного базиса, которым соответствуют матрицы ||с*'Л|| с определителем —1. Таково, например, преобразование конфигурации а в конфигурацию б на рис. 23.5; оно описывается матрицей о Ci'k = — $i'k- Однако такие преобразования не являются орто- i 231 АКСИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ 165 тональными; они будут рассмотрены в §71. В рамках же группы ортогональных преобразований ортонормированные аксиальные векторные базисы распадаются на два класса. Два базиса, входящих в один класс, совмещаются друг с другом посредством двух о о ортогональных преобразований: R (Л, ф) и / R (к, ф), которым о соответствует одна и та же матрица || cc>k\\ с определителем + 1. Базисы же, входящие в различные классы, никаким ортогональным преобразованием друг с другом не совмещаются, орты их образуют о между собой такие углы, что det || d>k || = — 1 *). «л // I аз 4 V ^— 1 У f /щ Рис. 23<б. Определение направлений обхода вокруг базисных векторов (а) и сохранение их при инверсии (б). В большинстве физических задач аксиальные векторы применяются вместе с полярными, и желательно относить векторы обоих типов к одному и тому же базису. Пригоден для этой цели только полярный базис, потому что он существенно изменяется при каждом ортогональном преобразовании в отличие от аксиального, который инвариантен относительно инверсии. Зададим произвольный ортонормированныи полярный векторный о о о базис elt е2, е3. Построим на нем аксиальный базис е 1э еъ е3 так, ' о о о чтобы ех совпадал с еъ ег — с е2, е3 — с е3, а направления обхода вокруг аксиальных базисных векторов определим по нумерации о полярных векторов: направление обхода вокруг ег выбирается от конца вектора е2 к концу вектора е3, направление обхода вокруг о о е% — от конца е3 к концу еъ вокруг е3 — от конца ег к концу е2 (рис. 23.6). Это определение направлений обхода инвариантно: *) Если рассматривать не только ортогональные, а все однородные линейные преобразования, то и в этом случае аксиальные векторные базисы (которые, конечно, уже не будут ортонормированными) распадутся на два класса, так что никакое однородное линейное преобразование не совместит два базиса, принадлежащих к различным классам, 166 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. II оно сохраняется при любых ортогональных преобразованиях; для проверки достаточно подвергнуть получившуюся фигуру инверсии. Заметим, что в этом определении направление обхода вокруг о вектора ег связано не с направлением вектора elt но с направлениями векторов е2 и е3. о Связь направления обхода вокруг вектора ех с направлением вектора еи напротив, не инвариантна относительно инверсионных поворотов. Именно полярный вектор вместе с совмещенным с ним аксиальным вектором образуют либо правый, либо левый винт (рис. 23.7). При этом определение направления вращения по нумерации полярных базисных векторов гарантирует, что и обе остальные пары базисных векторов образуют винт того же направления. Это позволяет присвоить то же наименование и базису. При собственных поворотах правые винты остаются правыми, а левые — левыми, при инвер- ^ сионных же наименования А А (\ А А А А А А А А А винтов изменяются на обрат- UUUUUU UUUUUU ные. Соответственно изменяет- aj ft ся и наименование базиса. С другой стороны, тройка Рис. 23.7. Совмещенные полярный и аксиаль- „Л¥,^л^^„ пАпаттлгл лл~„™ ный векторы: образующие правый (а) и ле- ВеКТОрОВ ПОЛЯрНОГО баЗИСа вый (б) винты. также может быть правой или левой (правой она называется, если можно совместить вектор в\ с большим, е2 с указательным, е3 со средним пальцами правой руки). При собственных поворотах правая тройка остается правой, а левая — левой, при инверсионных же правая превращается в левую, а левая — в правую. Когда направления обхода вокруг аксиальных векторов определены по нумерации совмещенных с ними полярных векторов, оба базиса оказываются согласованными: наименование винтов, образованных парами совмещенных векторов, совпадает с наименованием тройки полярных векторов; если, например, еъ е2, е3 образуют правую тройку, то винты, образованные векторами о о о ег и еъ е2 и е2, es и е3, также правые. Согласованность полярного и аксиального базисов инвариантна относительно любых ортогональных преобразований. Таким образом, заданному полярному базису соответствует один и только один аксиальный, и связь между ними сохраняется при всех ортогональных преобразованиях; напротив, каждому аксиальному базису соответствуют два полярных. Это и позволяет относить к полярному базису компоненты не только полярных, но и аксиальных векторов. Когда полярный базис подвергается ортогональному преобразованию ер = с^^е^ связанный с ним § 23] АКСИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ '67 о о о аксиальный базис преобразуется по закону ее = Ci>kek, причем о . о Cfk = Ci>k при собственных поворотах и Cek = — Ci>k при инверсионных. С обозначением Д = det || а»ъ II это можно записать в виде d'k = Асы* B3.5) Коэффициенты сц разложения a=*a&i B3.6) о аксиального вектора а по полярному базису по определению равны о коэффициентам at его разложения по аксиальному базису, связанному с данным полярным базисом; их можно назвать просто компо- о нентами аксиального вектора а. Закон их преобразования выводится из сравнения формул B3.4) и B3.5): щ> = Aci'^ak» B3.7) Из формулы B3.6) следует, что компоненты аксиального вектора a^aei B3.8) — это скалярные произведения аксиального вектора на полярные. В общем случае скалярное произведение аксиального вектора а = akek на полярный р = ptei равно а-р=* (akek) • (piej) = akpk. B3.9) Закон его преобразования следует из законов преобразования компонент аксиального B3.7) и полярного A8.1) векторов: ауру == Aci'^a^Ci'iPi = Ао^/й^р/= /ха^р^ у2о. 10) (здесь использована формула A7.4)). Таким образом, это скалярное произведение инвариантно относительно собственных поворотов координатной системы и умножается на — 1 при инверсионных поворотах. Такие величины называются псевдоскалярами; закон их преобразования имеет вид i|/ = Ai|), B3.11) где if — компонента псевдоскаляра в старой системе координат, г|/ — в новой системе, а А — определитель матрицы ортогонального преобразования, переводящего старую систему в новую. Примером псевдоскаляров служит величина удельного вращения плоскости поляризации изотропных или оптически изотропных веществ, вращающих плоскость поляризации (водный раствор сахара, кубические кристаллы NaC103 и NaBrO3 и др.). Эта величина считается положительной, если направление вращения плоскости поляризации характеризуется винтом, разноименным с винтом 168 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. И координатной системы, и отрицательной в противном случае (см. §81). Так как при инверсионном повороте координатной системы наименование ее винта меняется, величина удельного вращения относительно новой координатной системы и та же величина относительно старой системы будут иметь противоположные знаки. Обычно удельное вращение указывается относительно правой системы координат. Скалярное произведение аксиального вектора на полярный можно определить и чисто геометрически (рис. 23.8): оно равно произведению длин векторов на косинус угла между ними, причем из двух возможных (дополняющих друг друга до л) углов выби- -е- а) 6) Рис. 23.8. К определению угла между полярными и аксиальными векторами: а) угол между полярным и аксиальным векторами в правой системе координат, б) угол между теми же векторами в левой системе координат. рается такой, чтобы при повороте одного из векторов на этот угол до совмещения со вторым получался винт того же наименования, что и базис (или построенная на нем координатная система). Таким образом, скалярное произведение полярного и аксиального векторов имеет смысл только при задании определенной координатной системы, точнее, при указании, является она правой или левой. Перейдем к рассмотрению векторных произведений. Векторное произведение двух полярных векторов р X д есть по определению аксиальный вектор длины pq sin а, перпендикулярный к обоим сомножителям, направление вращения которого совпадает с направлением вращения, совмещающего первый сомножитель со вторым (рис. 23.9, а). Векторное произведение двух аксиальных векторов определяется точно так же (рис. 23.9, б). Векторное произведение аксиального вектора на полярный о а X р есть полярный вектор длины ар sin а, перпендикулярный к обоим сомножителям и направленный так же, как была бы направ- о лена нормальная к а составляющая рL вектора р после поворота о на я/2 вокруг вектора а в направлении его вращения (рис. 23.9, в). При этом некоторая неопределенность угла между полярным и §23] АКСИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ 169 аксиальным векторами не имеет значения, поскольку sin (я — а) = = sin а. При перестановке сомножителей направление этого векторного произведения, как и рассмотренных ранее, меняется на обратное. Для записи компонент всех этих векторных произведений возможна единая форма: пусть с = Ь X d, где каждый из векторов в) Рис 23.9. Векторные произведения: а) двух полярных векторов, б) двух аксиальных, в) аксиального и полярного. Ь и й можно считать как полярным, так и аксиальным вектором, а тип вектора с определяется типами векторов-сомножителей. Тогда Эта форма применима также и для записи дифференциальной операции rot. Как известно, векторную функцию координат и = = rot v можно представить в виде й = у X t>, где символический вектор V = в{ q— . Поэтому компоненты вектора и = rot v равны "i-fiiy/kg--*. B3.13)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Аксиальные векторы» з дисципліни «Основи кристалофізики»
