Нормальные и тангенциальные составляющие симметричного тензора второго ранга
Нормальной составляющей симметричного тензора второго ранга S в направлении единичного вектора п называется число, равное n'S'n = SlJninf. B1.1) Если принять единичный вектор п за один из ортов новой координатной системы, Х^Хъ'Ху (скажем, п = е^), то нормальная составляющая окажется просто соответствующей диагональной компонентой тензора в системе ХХ'Х^ХУ\ в данном примере /j.S./i = Sim'. B1.2) В системе координат, построенной на главных осях тензора, формулы для вычисления его нормальной составляющей принимают особенно простой вид. Считая, что nt — компоненты единичного вектора п относительно собственной системы координат тензора S, получим п Sn = S{1)n\ + SB)nl + Si3)nl B1.3) Если, в частности, два собственных значения тензора S совпадают, то "его нормальная составляющая зависит только от п3 = п • к: Наконец, при совпадении всех трех собственных значений тензора нормальная составляющая п • S - п — S. Зная шесть нормальных составляющих симметричного тензора второго ранга S, можно, вообще говоря, вычислить все компоненты тензора. Они вычисляются как решение системы из шести линейных уравнений с шестью неизвестными nV»n)»Sy = am (I* —1 6). B1.4) где компоненты единичных векторов п{[1) и соответствующие нормальные составляющие а(М() предполагаются известными. Для разрешимости этой системы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля: 2n<2l)nl8l) 2n<Bl)n[l) 2n[l)n<2l) 2/*<2)n<2) ^лi2Ч2) 2n<«>n<*> ^ (я"»J (nfJ ZrifW» 2n<*)n[*) 2n^n^ Ясно, что не всякий набор шести единичных векторов п{^ удовлетворяет условию B1.5), но нетрудно указать такие наборы векторов, которые этому условию удовлетворяют, например, ±^_ п д() _ B1.6) V2 ' / ' V ' § 21] НОРМАЛЬНЫЕ И ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ 163 Нормальные составляющие часто встречаются при решении задач кристаллофизики, и потому важное практическое значение приобретает вопрос: при каком направлении вектора п нормальная составляющая данного тензора S принимает экстремальные значения? Чему равны эти значения? Предполагается, что тензор S задан своими компонентами Sif относительно некоторой системы координат Х1Х2Х3. Математическая формулировка этой задачи такова: найти значения nh при которых достигает экстремума квадратичная форма B1.7) при дополнительном условии 1=0. B1.8) Это типичная задача на отыскание условного экстремума. Такие задачи решаются методом неопределенных множителей Лагранжа: составляется функция <b{n)=F{n)-Xf(n) B1.9) с неопределенным пока множителем X и обычным способом ищут ее безусловный экстремум, т. е. приравнивают нулю ее частные производные ^- = 0, B1.10) а затем из уравнений B1.10) и B1.8) находят компоненты щ и множитель X. Уравнения B1.10) принимают в нашем случае вид или (с учетом симметричности тензора S) Si/n/ = Xnh Sn = Xn, B1.11) но это ведь не что иное, как условие того, что п — один из собственных векторов тензора S, а X — соответствующее этому вектору собственное значение! Таким образом, нормальная составляющая тензора достигает экстремальных значений в направлениях собственных векторов этого тензора. Мало того, эти экстремальные значения равны соответствующим собственным значениям тензора, так как из B1.11) и B1.8) вытекает, что п S • п = Sifriinf = Xtiitii = X. B1.12) Из доказанного следует также, что если все собственные значения тензора положительны (отрицательны), то и все нормальные его составляющие обладают тем же свойством. Если же среди 154 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ II собственных значений тензора имеются и положительные, и отрицательные, нормальная составляющая тензора также принимает и положительные, и отрицательные значения. Будучи непрерывной функцией направления, она при этом на некотором конусе направлений должна обращаться в нуль. Перейдем к рассмотрению тангенциальных составляющих симметричного тензора второго ранга. Пусть S — симметричный тензор второго ранга, а р и q — взаимно перпендикулярные единичные векторы Р P = U Q <7 = Ь pq = 0. B1.13) Тангенциальной составляющей тензора S в направлениях р и q называется число p-S.q^SuPiqj. B1.14) Так как тензор S симметричен, направления р и q в этом определении равноправны и взаимозаменяемы. Пользуясь тем, что единичные векторы р и q взаимно перпендикулярны, можно построить на них как на ортах новую координатную систему Х^Х^Ху: В новой системе тангенциальная составляющая pSq^Sw. B1.15) В то время как нормальные составляющие соответствуют диагональным компонентам тензора, тангенциальные соответствуют недиагональным его компонентам. В собственной системе координат тангенциальные составляющие выражаются следующими формулами: в общем случае p-S-q = S{1)plq1+Si2)p2q2 + S{3)p9q3, B1.16) при совпадении двух собственных значений p-S.q = (Sb-Sl)p3q3, B1.17) и, наконец, при совпадении всех трех собственных значений p-Sq = 0. B1.18) Так как тангенциальные составляющие шарового тензора равны нулю, ясно, что тангенциальные составляющие любого тензора совпадают с тангенциальными составляющими его девиатора. Соответственно по набору тангенциальных составляющих можно восстановить не весь тензор, а в лучшем случае его девиатор. Для этого достаточно пяти тангенциальных составляющих. Для тангенциальных составляющих экстремальная задача значительно сложнее, чем для нормальных, но решается тем же методом. Требуется найти значения pi и qi, при которых достигает экстремума билинейная форма B1Л9) $21] НОРМАЛЬНЫЕ И ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ 155 и которые удовлетворяют дополнительным условиям <P(P) = W/-1=O, ф (^) = ^<7/ — 1 =0, г|)(р, q)=piqi=.Q. B1.20) Составим функцию Ф(р. fl)=^(p. Л—jVq) (P)—7^Ф(Л-1**(Р. Л. B1-21) где V, АЛ и ц — неопределенные множители Лагранжа, и из уравнений и B1.20) найдем интересующие нас векторы р и q, а также значения множителей Лагранжа. Уравнения B1.22) с учетом симметричности тензора S дают m — 0' B1 23) В векторной форме эти шесть уравнений сводятся к двум: s.,-*>-M-o. S/> —АЛ*? —р/> = 0. Скалярно умножив первое из них на q, а второе — на р, найдем fx = ^-S.^=p.S.p; B1.25) напротив, скалярно умножив первое уравнение B1.24) на р, а второе — на q, получим A/=r=p.S.<7; B1.26) обозначим эту величину просто А,. Воспользовавшись этим, сложим друг с Другом и вычтем друг из друга векторные уравнения B1.24); чтобы по-прежнему иметь дело с единичными векторами, разделим еще сумму и разность на Y2. В результате придем к векторным уравнениям B1.27) показывающим, что (^ + р)/У~2 vi(q — p)lV%— собственные векторы тензора S, a \i+ к и \i — к — соответствующие им собственные значения. Пусть, например, е Q — Р /,. 14 Q— P n у!—e*"wf" Ot тогда [А + X = 5A), [I — А, = 5B). Отсюда находим поменяв ролями векторы иA} и иB\ получим .. —*ЭA) Л 2 * 156 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ ГГЛ II Очевидно, максимум функции F (р, Я) = Р*$*Я = SijPiqj равен полуразности наибольшего и наименьшего собственных значений тензора S, а минимум — той же полуразности с обратным знаком. Направления р и ^, на которых функция F достигает экстремальных значений, — биссектрисы углов между собственными векторами, соответствующими наибольшему и наименьшему собственным значениям.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Нормальные и тангенциальные составляющие симметричного тензора второго ранга» з дисципліни «Основи кристалофізики»
—*ЭA) 