Малые изменения симметричного тензора второго ранга
Решение многих проблем кристаллофизики связано со следующей задачей тензорной алгебры: известны собственные значения S(j, и собственные векторы *) щ симметричного тензора второго ранга S. Как они изменятся при заданном малом изменении тензора S? Рассмотрим сначала случай, когда все три собственных значения исходного тензора S различны. К тензору S прибавим малый симметричный тензор £; если он действительно мал по сравнению с S, тензор S + £ должен мало отличаться от тензора S. Отличия проявятся, во-первых, в небольших изменениях собственных значений, во-вторых, в малом повороте тройки собственных векторов ult #2» #з- Чтобы изменения £,;, собственных значений были малы, все компоненты тензора £ должны быть по абсолютной величине значительно меньше собственных значений тензора S: IC*/l<|Sci,|. А для того чтобы был мал и поворот тройки собственных векторов, компоненты тензора £ должны быть по абсолютной величине значительно меньше разностей между собственными значениями тензора: Измененные собственные значения S(j, + g(j, и измененные собственные векторы щ + dui удовлетворяют уравнению B0.1) Не ограничивая общности, можно считать векторы щ единичными* Потребуем, чтобы измененные векторы щ + Ьщ также были единичны; кроме того, они, как мы знаем, должны быть взаимно ортогональны: Раскрыв скобки, получим щ • bUj + tif • dui+dUi • би/=0. B0.2) Разложим векторы би/ по базису U\t и2, tt3: &щ = щкик. B0.3) Коэффициенты этого разложения <Oy = 6ui-Uf. B0.4) Из равенства B0.2), если пренебречь в нем членами второго порядка малости, вытекает антисимметричность тензора со: со// + со// = О. B0.5) А отсюда, в свою очередь, следует, что приращение дщ каждого собственного вектора щ перпендикулярно к этому вектору. Действительно, согласно формуле B0.4), скалярное произведение собственного вектора на его приращение равно одной из диагональных компонент тензора со, а все такие компоненты в силу тождества B0.5) равны нулю. Раскроем теперь скобки в формуле B0.1), положив для определенности щ= «1 и соответственно S(j, = SA): S • «i + S • блх + g- ai = 5A,a! + SA) aai+gA>«i. B0.6) *) Для дальнейших выкладок удобнее обозначить собственные векторы щ% а не и111, как в предыдущих параграфах^ 160 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ II Здесь мы сразу отбросили члены второго порядка малости. Приняв во внимание, что S-a1=SA,a1, и воспользовавшись разложением B0.4), перепишем B0.6) в виде <Ol2S • Однако S-a2= 5B,a2 и S-08=« S(8)a8. Поэтому g-«i = 5(D«i + (°i2E(i, — SB))u2 + <dl3(S{1) — SC))u8. B0.7) Скалярно умножая обе части равенства B0.7) последовательно на ult u% и «8, получим искомые результаты: B0.8) Остальные собственные значения и компоненты тензора со вычисляются аналогично. Если тензор £ задан своими компонентами £// в системе главных осей тензора S, то решение поставленной задачи записывается в виде S(i> = £ii» со28= — оK2= о g—, *ЭB) «3C) Еси = Ьв. %а-«иас"с„ > B0.9) — @21 = Антисимметричный тензорсо характеризует малый поворот тройки собственных векторов. Чтобы этот поворот был действительно мал, нужно, чтобы все компоненты тензора со были значительно меньше единицы, а для этого, как показывают формулы B0.9), в свою очередь, необходимо, чтобы компоненты тензора со были малы не только по сравнению с собственными значениями тензора S, но и по сравнению с их разностями. Перейдем теперь к рассмотрению другого случая: тензор S имеет два совпадающих между собой собственных значения (S ±) и одно от них отличное (Sh). В этом случае задача значительно усложняется. Тензор S обладает теперь одним собственным вектором и, соответствующим собственному значению Яц, и целой собственной плоскостью, соответствующей двукратному собственному значению SL. Измененный же тензор S+ £ имеет, вообще говоря, три собственных вектора; один из них v = и + 6и, близок к и, остальные два расположены где-то в плоскости, к нему перпендикулярной. Пусть qlt q2 и v — единичные собственные векторы тензора S + £, а р1 и р2 — проекции векторов q1 и q2 на собственную плоскость тензора S; можно записать B0.10) Из ортонормированности тройки собственных векторов следует, что (в пределах принятой степени точности) векторы рх и р2 единичны и взаимно перпендикулярны, а тензор со антисимметричен. В уравнения для собственных значений и собственных векторов B0.11) подставим выражения собственных векторов B0.10) и произведем почленное скалярное умножение, пренебрегая членами второго порядка малости, После § 20] МАЛЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕНЗОРА 151 приведения подобных членов получим Sx) o>32«, B0.12) Скалярно умножив векторные равенства B0.12) последовательно на р19 р2 и и, придем к шести соотношениям: «•£•« = £C,; B0.13) pi£pi=S<i>, p2-S-p2=HB), pi-g-p2=0; B0.14) которые для удобства объединены в три группы. Соотношение B0.13) позволяет сразу вычислить £C>. Векторы р! и р2 нам пока неизвестны, однако соотношения B0.14) показывают, что они являются собственными векторами двумерного тензора £±, т. е. проекции тензора £ на собственную плоскость тензора S. Соответственно £A) и £B) —собственные значения этого двумерного тензора. Пусть тензор £ задан матрицей своих компонент || £*/1| в системе координат, построенной на ортах elt e2, ut где ех и е2 — произвольные взаимно перпендикулярные векторы, лежащие в собственной плоскости тензора S. Тогда двумерный тензор £± в системе координат, построенный на ортах et и е2, задается матрицей компонент , = 0. B0.16) ki2 с» г Его собственные значения |A) и |B)—корни квадратного уравнения lbi-6 Они равны fed. 2) = - l(bll*rt,22) ± Г (fell — е22Г + (^&12ГЛ- (ZU.Wj Теперь нетрудно найти и собственные векторы тензора £±: Ь^-. B0.18) Соотношения B0.14), таким образом, использованы полностью. Зная векторы рг и р2, из соотношения B0.15) можно теперь найти коэффициенты щ1 и (о32. Очевидно, ^ _ £12^31 + £23 E<1) — £и^ 81 (SS B0.19) (О = £l2£23 + £31 fic) — £22' После этого по формулам B0.10) можно, наконец, найти собственные векторы qlf q2 и v тензора S + £. Задача решена полностью. Случай, когда все собственные значения тензора S совпадают, рассматривать, очевидно, бесполезно. Собственные векторы тензора S + £ совпадают в этом случае с собственными векторами тензора £, а соответствующие добавки к собственным значениям равны собственным значениям тензора £,
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Малые изменения симметричного тензора второго ранга» з дисципліни «Основи кристалофізики»
