При решении кристаллофизических задач часто оказывается удобной не кристаллофизическая, а какая-то другая система декартовых координат, направления осей которой определяются геометрией данной задачи. Так как система декартовых координат полностью задается своим ортонормированным базисом, преобразование декартовых координат означает переход от одного орто- нормированного базиса к другому. Преобразование, при котором ортонормированный базис переходит тоже в ортонормированный, называется ортогональным преобразованием. Множество всех таких преобразований образует ортогональную группу оооош. Преобразования, входящие в ортогональную группу — ортогональные преобразования, — не меняют длин векторов и углов между ними, что и позволяет орто- нормированному до преобразования базису оставаться таковым и после преобразования. Для сравнения заметим, что от преобразований базисов кристаллической решетки мы вовсе не требовали, чтобы они были ортогональны, в частности, при переходе от ромбоэдрического базиса к гексагональному изменялись и длины базисных векторов, и углы между ними. § 171 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 136 Пусть «старая» система координат ХХХ2Х3 построена на базисе еъ е2, e3i а «новая» ХХ'Х^Хъ^ — на базисе е^у е^$ ег>. Разложение нового базиса по векторам старого er =Ci>kek A7.1) определяется коэффициентами ct>k, которые образуют матрицу ортогонального преобразования Icin clfi с1П | С2'1 <>2'2 С2'д • Она называется также матрицей косинусов, так как каждый ее элемент d>k равен косинусу угла между соответствующими координатными осями (рис. 17.1): ct.k = ev • ek = cos (Xi>, Xk) = cos ai>k. A7.2) Обратное преобразование ek = см'Ву, \\i ,6) очевидно, Характеризуется матрицей ||с#'||, которая одновременно и обратна исходной матрице \\ci^\\ и транспонирована ей. Такие матрицы удовлетворяют соотношениям и называются ортогональными. Квадрат определителя такой матрицы равен единице, или II =±1. A7.5) Рис. 17.1. Углы aik между «старыми» и «новыми» координатными осями, стереографическая проекция. Ортогональные преобразования подразделяются на собственные (вращения) и несобственные (инверсионные вращения). Первым соответствуют матрицы с определителем +1, вторым — с определителем —1. Любое вращение R можно охарактеризовать осью вращения и углом поворота вокруг нее. Поэтому для задания любого вращения достаточно одного вектора ф, направление которого совпадает с осью вращения, а длина ф равна углу поворота. Условимся при этом, что вращение R (ф) вокруг вектора ф происходит в направлении правого винта. Все мыслимые вращения будут учтены, если рассматривать все возможные векторы ф, длина которых удовлетворяет неравенству 0 ^ ф ^ я. При этом каждому вращению на угол, меньший я, будет соответствовать единственный такой вектор, а на угол я — два равных по длине противоположно направленных 136 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. II вектора. Вращение R (ср) чаще обозначается R (ft, ф), где ft = <р/<р— единичный вектор направления вектора <р. Если построенная на ортонормированном базисе eVt е2', е# новая декартова система координат получается из построенной на базисе е1$ е2, е3 старой посредством вращения R (ft, ф), то матрица Wi'j(k, ф)||, соответствующая этому вращению, т. е. задающая разложение ер = />/*/» такова *): \\rri(k, Ч>>1| — 1cos<p + fef(l — coscp) fessin<p + fcifcs(l — coscp) — k2 s\nq> + ktks (I — coscp) — Лвsincp + fc2fci A —coscp) соэф + л! A—соэф) fej sincp + fc2fe3 О — coscp) Л2 sin ф + fe3fei A — coscp) — kt sincp + fe3fc2(l — coscp) coscp + fefU — coscp) С помощью символов Кронекера и Леви-Чивита ее элементы записываются следующим образом: г 1ч (ft, ф) = д*'/С08ф4-в;'//&/$Шф + £;'£/A — соБф). A7.6) В формуле A7.6) kf и kj — компоненты вектора ft в новой и старой системах соответственно, но так как одна система получается из другой в результате вращения вокруг именно этого вектора, компоненты просто совпадают: ky = ku k,y = k2i ky = k3. При малых (ф <К О углах поворота г 1ч (ф) я« &1Ч + б/'/лф*. A7.7) Инверсионный поворот на угол ф вокруг единичного вектора ft представляет собой произведение соответствующего собственного поворота на инверсию: Q(ft, ф) = / • R (ft, ф). Следовательно, его матрица \\qi'j(k, <p)|| — произведение матрицы \\ri4(k ф)|| на матрицу инверсии || — 6i>j\\t т. е. ||^'/(ft, фI1 = II—^'/(*ФI1- Таким образом, общий вид матрицы ортогонального преобразования ct'i (k, ф) = A[6f/cos ф + б/'/Л sin y + ki'kj (I — cos ф)], A7.8) где Д = ±1, причем Д = +1 соответствует собственному, а Д = = —1 — инверсионному вращению. В табл. 17.1 приведены матрицы кристаллографических преобразований симметрии как в общем виде, так и при специальном — наиболее часто применяемом в кристаллографии и кристаллофизике — выборе осей вращения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ортогональные преобразования» з дисципліни «Основи кристалофізики»
