ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Основи кристалофізики

Ортогональные преобразования
При решении кристаллофизических задач часто оказывается
удобной не кристаллофизическая, а какая-то другая система
декартовых координат, направления осей которой определяются
геометрией данной задачи. Так как система декартовых координат
полностью задается своим ортонормированным базисом,
преобразование декартовых координат означает переход от одного орто-
нормированного базиса к другому.
Преобразование, при котором ортонормированный базис
переходит тоже в ортонормированный, называется ортогональным
преобразованием. Множество всех таких преобразований образует
ортогональную группу оооош. Преобразования, входящие в
ортогональную группу — ортогональные преобразования, — не
меняют длин векторов и углов между ними, что и позволяет орто-
нормированному до преобразования базису оставаться таковым
и после преобразования.
Для сравнения заметим, что от преобразований базисов
кристаллической решетки мы вовсе не требовали, чтобы они были
ортогональны, в частности, при переходе от ромбоэдрического
базиса к гексагональному изменялись и длины базисных векторов,
и углы между ними.
§ 171
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
136
Пусть «старая» система координат ХХХ2Х3 построена на
базисе еъ е2, e3i а «новая» ХХ'Х^Хъ^ — на базисе е^у е^$ ег>.
Разложение нового базиса по векторам старого
er =Ci>kek A7.1)
определяется коэффициентами ct>k, которые образуют матрицу
ортогонального преобразования
Icin clfi с1П |
С2'1 <>2'2 С2'д •
Она называется также матрицей косинусов, так как каждый ее
элемент d>k равен косинусу угла между соответствующими
координатными осями (рис. 17.1):
ct.k = ev • ek = cos (Xi>, Xk) = cos ai>k. A7.2)
Обратное преобразование
ek = см'Ву, \\i ,6)
очевидно, Характеризуется матрицей ||с#'||, которая одновременно
и обратна исходной матрице \\ci^\\ и транспонирована ей. Такие
матрицы удовлетворяют соотношениям
и называются ортогональными.
Квадрат определителя такой матрицы
равен единице, или
II =±1. A7.5)
Рис. 17.1. Углы aik между
«старыми» и «новыми» координатными
осями, стереографическая проекция.
Ортогональные преобразования
подразделяются на собственные
(вращения) и несобственные
(инверсионные вращения). Первым
соответствуют матрицы с определителем +1,
вторым — с определителем —1.
Любое вращение R можно
охарактеризовать осью вращения и
углом поворота вокруг нее. Поэтому для задания любого вращения
достаточно одного вектора ф, направление которого совпадает
с осью вращения, а длина ф равна углу поворота. Условимся при
этом, что вращение R (ф) вокруг вектора ф происходит в направлении
правого винта. Все мыслимые вращения будут учтены, если
рассматривать все возможные векторы ф, длина которых
удовлетворяет неравенству 0 ^ ф ^ я. При этом каждому вращению на
угол, меньший я, будет соответствовать единственный такой вектор,
а на угол я — два равных по длине противоположно направленных
136 КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ [ГЛ. II
вектора. Вращение R (ср) чаще обозначается R (ft, ф), где ft = <р/<р—
единичный вектор направления вектора <р.
Если построенная на ортонормированном базисе eVt е2', е#
новая декартова система координат получается из построенной
на базисе е1$ е2, е3 старой посредством вращения R (ft, ф), то матрица
Wi'j(k, ф)||, соответствующая этому вращению, т. е. задающая
разложение ер = />/*/» такова *):
\\rri(k, Ч>>1| —
1cos<p + fef(l — coscp) fessin<p + fcifcs(l — coscp) — k2 s\nq> + ktks (I — coscp)
— Лвsincp + fc2fci A —coscp) соэф + л! A—соэф) fej sincp + fc2fe3 О — coscp)
Л2 sin ф + fe3fei A — coscp) — kt sincp + fe3fc2(l — coscp) coscp + fefU — coscp)
С помощью символов Кронекера и Леви-Чивита ее элементы
записываются следующим образом:
г 1ч (ft, ф) = д*'/С08ф4-в;'//&/$Шф + £;'£/A — соБф). A7.6)
В формуле A7.6) kf и kj — компоненты вектора ft в новой и старой
системах соответственно, но так как одна система получается из
другой в результате вращения вокруг именно этого вектора,
компоненты просто совпадают: ky = ku k,y = k2i ky = k3. При малых
(ф <К О углах поворота
г 1ч (ф) я« &1Ч + б/'/лф*. A7.7)
Инверсионный поворот на угол ф вокруг единичного вектора ft
представляет собой произведение соответствующего собственного
поворота на инверсию: Q(ft, ф) = / • R (ft, ф). Следовательно, его
матрица \\qi'j(k, <p)|| — произведение матрицы \\ri4(k ф)|| на
матрицу инверсии || — 6i>j\\t т. е. ||^'/(ft, фI1 = II—^'/(*ФI1- Таким образом,
общий вид матрицы ортогонального преобразования
ct'i (k, ф) = A[6f/cos ф + б/'/Л sin y + ki'kj (I — cos ф)], A7.8)
где Д = ±1, причем Д = +1 соответствует собственному, а Д =
= —1 — инверсионному вращению.
В табл. 17.1 приведены матрицы кристаллографических
преобразований симметрии как в общем виде, так и при специальном —
наиболее часто применяемом в кристаллографии и
кристаллофизике — выборе осей вращения.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ортогональные преобразования» з дисципліни «Основи кристалофізики»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: Аналогові стільникові мережі
Інвестиції у виробничі фонди
Аудит обліку витрат на формування основного стада
ЗАКОН ГРОШОВОГО ОБІГУ
Аудит надзвичайних доходів і витрат


Категорія: Основи кристалофізики | Додав: koljan (09.12.2013)
Переглядів: 544 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП