Преобразование индексов при перемене системы координат
В кристаллографии довольно редко приходится иметь дело с преобразованием координатных систем, потому что обычно используются стандартные, фиксированные системы. Однако бывают случаи, когда один и тот же кристалл можно описать в двух различных стандартных системах координат. В частности, кристаллы триго- нальной системы иногда описываются не в гексагональной, а в ромбоэдрической системе координат. Кроме того, если в кристаллографии обычно пользуются элементарными, хотя бы и непримитивными ячейками, то в физике твердого тела, как правило, предпочитают примитивные. Во всех этих случаях переход от одного способа описания к другому определяется соответствующим преобразованием векторного базиса решетки. Пусть аъ а2» #з — некоторый векторный базис кристаллической решетки. Условно назовем его «старым» и наряду с ним рассмотрим другой базис решетки a^t a.2s #з'> который будем (столь же условно) называть «новым». Соответственно «старой» и «новой» будем называть координатные системы, построенные на этих базисах. Зная компоненты какого-либо вектора относительно старой системы координат, можно вычислить его компоненты относительно новой системы; эту операцию, примененную ко всем векторам, фигурирующим в решаемой задаче, принято называть преобразованием координатной системы или переходом от старой системы координат к новой. Векторы нового базиса, как и всякие векторы, можно разложить по старому базису: A3.1) § 13] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ 99 Если старые базисные векторы определяют элементарную ячейку, то все коэффициенты Pg, целочисленны. Если же параллелепипед, построенный на векторах старого базиса, не элементарен, коэффициенты PjJ' не обязательно целочисленны (но во всяком случае рациональны). Так как и новые базисные векторы некомпланарны, можно разложить старые базисные векторы по новому базису: aa = Qtav>. A3.2) Чтобы найти соотношения, связывающие коэффициенты Q% с коэффициентами Pjy, подставим выражение A3.2) для аа в формулу A3.1) Так как базисные векторы линейно независимы, из этого равенства следует £'=8£. A3.3) Но можно поступить и по-другому: подставить выражение A3.1) для а$> в формулу A3.2). В результате получим равенство р\. Ph р\> РЬ РЬ РЬ р\' 1 р\. , р\, II Qi' QJ' QV QY QV QV QV QV QI' В силу линейной независимости базисных векторов из него следует ЛР' Da Xa /1 Q A \ Наборы коэффициентов Р%> и Qa образуют квадратные матрицы Р = Соотношения A3.3) и A3.4) можно записать в виде матричных равенств PQ = 1, QP = I. A3.5) Здесь II 0 0 || 0 10 A3.6) о о 1 || — единичная матрица. Если две матрицы удовлетворяют одному из соотношений A3.5), они обязательно удовлетворяют и второму. Такие матрицы называются взаимно обратными. Зная одну из взаимно обратных матриц, скажем, Р, нетрудно найти элементы другой. Для этого следует подсчитать определитель det Р матрицы Р и алгебраичео* 4* 100 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ Т кие дополнения Il£ ее элементов. Алгебраическое дополнение П£' элемента Р%> матрицы Р равно умноженному на (—1)а + Р' определителю, который получится из определителя матрицы Р, если в последнем вычеркнуть тот столбец и ту строку, которые содержат элемент Р%>. После этого элементы Q£' матрицы Q вычисляются по формуле Введем символы Леви-Чивита 1 при ару=123, 231, 312, 6aPv= -1 при aPv = 132, 213, 321, A3.8) 0 в остальных случаях *) и 8а^\ отличающийся от предыдущего только верхним положением индексов. Посредством введенных символов в сжатой и изящной форме записываются соотношения A1.4) и A1.6) между базисными векторами прямой и обратной решетки: f A3.9) аа = у a6apYa x aY> а также формулы для векторных произведений базисных векторов ааха^ = v8azya\ aa x а* = -^ Ь^ат A3.10) Символы Леви-Чивита позволяют также очень коротко записать последовательность действий, необходимых для вычисления определителя любой C X 3)-матрицы S с элементами S%: det S = 8apYS?SfSj = 6a^SiS|s5. A3. Воспользовавшись этими формулами, подсчитаем объем v' параллелепипеда, построенного на новых базисных векторах. Очевидно, v' = ах> • (а2' X ЯзО- Заменив новые базисные векторы их разложениями A3.1), получим a • (ap х ау). A3.12) *) Известно и другое определение символа Леви-Чивита, более компактное, но, пожалуй, менее наглядное: § 13] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ Ю1 Использовав для подсчета ар х ау формулу A3.10), а затем прибегнув к формуле A1.2), получим A3.13) Сравнив это выражение с формулой A3.11), придем к соотношению v' = vdetP. A3.14) Таким образом, определитель матрицы Р равен отношению объема параллелепипеда, построенного на новых базисных векторах, к объему параллелепипеда, построенного на старых базисных векторах. Очевидно, det Q = v/v' (определители взаимно обратных матриц взаимно обратны). Посмотрим теперь, как при заданном преобразовании базиса кристаллической решетки преобразуется базис обратной решетки. Очевидно, новым ковариантным базисным векторам а1у а2'» #з' соответствуют и новые контравариантные базисные векторы аУ% а2', а3', определяемые соотношениями аа,.аг = б£. A3.15) Они разлагаются по старым посредством матрицы Q: а+ = <Ха\ A3.16) Действительно, при этом законе преобразования eta* • ау' = = Pa'Qi\afi'а^> а отсюда с помощью A1.2) и A3.3) сразу получается соотношение A3.15). Ясно, что старые контравариантные базисные векторы разлагаются по новым посредством матрицы Р: d* = PW. A3.17) Теперь легко выяснить, как при заданном преобразовании базиса преобразуются компоненты векторов решетки, отнесенных к этому базису, т. е. индексы Миллера кристаллографических направлений (ребер) и кристаллографических плоскостей (граней). Рассмотрим сначала индексы кристаллографических направлений. Для любого вектора / справедливо равенство 1 = 1*аа = 1*'ар. A3.18) Для его выполнения необходимо, чтобы /р' = (#Г. A3.19) Действительно, тогда ft'a$> = Qy'lyP($'a(Xj а отсюда после применения тождества A3.4) следует, что равенство A3.18) при этом законе преобразования удовлетворяется. Напротив, старые компоненты 1а выражаются через новые посредством матрицы Р: t = P%,l{y. A3.20) 102 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ I Совершенно аналогично выводятся формулы преобразования для индексов граней: Пр' = Рр'Лв, A3.21) na = Q%np. A3.22) Объединим все полученные в этом параграфе результаты в форме таблички. При этом переход от старых величин к новым будем называть «прямым» преобразованием — оно характеризуется формулами, выражающими новые величины как линейные комбинации старых. Переход же от новых величин к старым назовем «обратным» преобразованием. Тогда получим Величины Базисные векторы решетки аа Базисные векторы обратной решетки аа Индексы плоскостей (граней) па Индексы направлений (ребер) /а Прямое преобразование V = P3<«a Обратное преобразование aV = pv,aP' Эта табличка показывает, что прямое преобразование величин с нижним индексом — базисных векторов решетки аа и индексов граней па — осуществляется посредством матрицы Р, а обратное— посредством матрицы Q. Напротив, у величин с верхним индексом— базисных векторов обратной решетки аа и индексов ребер ^—прямое преобразование связано с матрицей Q, а обратное — с матрицей Р. Именно с этим обстоятельством связаны названия величин: величины с нижним индексом называются ковариантными (ко- вариантные базисные векторы aa, ковариантные компоненты na), потому что они преобразуются так же, как основной векторный базис, а величины с верхним индексом — контравариантными (контравариантные базисные векторы aa, контравариантные компоненты /а), потому что они преобразуются обратным, если можно так выразиться, способом. Наименования компонент метрического тензора — «ковариантные» и «контравариантные» — говорят о законах преобразования этих компонент при переходе от одного базиса к другому. Законы преобразования следуют непосредственно из формул A1.8) и A1.11). Если наряду со старым базисом аи аъ а3 вводится новый § 13] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ 103 базис а,*, а2', а3', то, согласно формулам A1.11), закон преобразования ковариантных компонент метрического тензора выражается формулами 8S~%t!$8t A3.23) Сравним эти формулы с законом преобразования ковариантных компонент вектора A3.21), A3.22). Очевидно, ковариантные компоненты метрического тензора преобразуются как произведения ковариантных компонент двух векторов. Это свойство используется для определения тензора. Именно девять величин /ар называются ковариантными компонентами тензора второго ранга, если они преобразуются как произведения ковариантных компонент двух векторов. Более того, Зг величин /а1...а/. называются ковариантными компонентами тензора ранга г, если они преобразуются как произведения ковариантных компонент г векторов. Во всех высказываниях можно заменить приставку «ко» приставкой «контра»; в результате получим соответствующие определения для контравариантных компонент тензоров. В частности, из формул A3.8), A3.16) и A3.17) выводится закон преобразования контравариантных компонент метрического тензора: ,1324) Возможны также смешанные компоненты тензоров; например, 9 величин fa называются смешанными (точнее — один раз ковариантными и один раз контравариантными) компонентами тензора второго ранга, если они преобразуются как произведения ковари- антной компоненты одного вектора на контравариантную компоненту другого вектора. Уже отмечалось (см. § 12), что в принципе любой вектор можно разложить как по ковариантному, так и по контравариантному базису; соответственно этот вектор окажется заданным своими контравзриантными или ковариантными компонентами. Специфическое свойство метрического тензора состоит в том, что он определяет связь между компонентами обоих типов и позволяет легко переходить от одного из них к другому. Пусть, например, вектор / = 1ааа задан первоначально своими контравариантными компонентами 1а. Чтобы найти его ковариантные компоненты /а, достаточно разложить ковариантные базисные векторы аа по контравариантным: аа = gapap. Теперь имеем / = laga$a&. Однако коэффициенты разложения вектора /поконтравариантному базису — это и есть ковариантные его компоненты 1$ Таким образом, контравариантные компоненты одного и того же 104 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ I вектора связаны формулой Аналогично выводится формула A3.25) A3.26) позволяющая выразить контравариантные компоненты вектора через ковариантные. Формулы A3.25) и A3.26) показывают, что с помощью метрического тензора можно поднимать и опускать индексы. Если мы, в частности, используем метрический тензор, чтобы опустить один из индексов у контравариантных компонент этого же тензора или поднять один из индексов у ковариантных его компонент, то получим смешанные (один раз ковариантные и один раз контравариант- А А Н О А Н А В О А ные) компоненты метрического тензора: а ай gv=g gflv Сравнив этот результат с формулой A1.13), видим, что 8? = в?, A3.27) А О □ Рис. 13.1. Базисные векторы ромбоэдрической и гексагональной систем координат в ромбоэдрической решетке. Узлы, отмеченные кружками, лежат в плоскости чертежа, треугольниками — над, квадратами — под плоскостью чертежа. т. е. смешанные компоненты метрического тензора совпадают с символами Кронекера. Как пример преобразования координатных систем рассмотрим переход от ромбоэдрической системы координат к гексагональной. На рис. 13.1 изображена проекция ромбоэдрической решетки на базисную плоскость. Узлы, отмеченные кружками, будем считать лежащими в плоскости чертежа. Непосредственно над этой плоскостью расположены узлы, помеченные треугольниками, а непосредственно под нею — узлы, помеченные квадратами. Вся картина периодически повторяется: так, непосредственно над плоскостью узлов, помеченных треугольниками, расположена плоскость узлов, помеченных квадратами, а над этой последней — плоскость узлов, помеченных кружками. Базисные векторы ромбоэдрической системы координат аъ а2, а3 направлены от узла, лежащего в плоскости чертежа, к ближайшим к нему узлам, принадлежащим плоскости, расположенной непосредственно над плоскостью чертежа. § 13] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ 105 Базисные векторы гексагональной системы координат а,* и аг лежат в плоскости чертежа. Третий из них аъ> на рисунке не показан, так как он перпендикулярен к плоскости чертежа; этот вектор направлен от начального узла к ближайшему узлу, расположенному точно над ним. Из рис. 13.1 ясны соотношения, связывающие базисные век» торы обеих систем. Именно а\» = ах — а2 а2>= a2 A3.28) Таким образом, матрица ||Рр'|, характеризующая переход от ромбоэдрического к гексагональному базису, имеет вид г 2' 3' 1 0 1 — 1 1 1 0 — 1 1 A3.29) Определитель этой матрицы det P = 3; это показывает, что у гексагональной ячейки объем втрое больше, чем у ромбоэдрической. Матрица обратного преобразования ||Q§'||, согласно формуле A3.7), равна A3.30) Значит, ромбоэдрические базисные векторы следующим образом разлагаются по гексагональным: A3.31) 1 2 3 1' 2/3 -1/3 -1/3 2' 1/3 1/3 -2/3 3' 1/3 1/3 1/3 а2 = "з (— а ( Как уже отмечалось, кристаллы тригональной и гексагональной систем описываются посредством индексов Бравэ, которые связаны с гексагональной системой координат. Однако иногда для описания кристаллов тригональной системы используют индексы Миллера, связанные с ромбоэдрической системой координат, — именно такой способ применил известный кристаллограф П. Грот в своем классическом справочнике (Грот, 1897), да и теперь иногда ими пользуются. Подчеркнем, что Грот использовал индексы Миллера для описания не только тех кристаллов, которые обладают ромбо- Ю6 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ ГГЛ 1 эдрической решеткой Бравэ, но и тех кристаллов тригональной системы, решетка Бравэ которых гексагональна. В последнем случае ромбоэдрическую ячейку следует рассматривать как элементарную, но йе примитивную, примитивной же является ячейка гексагональная. Чтобы уяснить себе и в этом случае связь между ромбоэдрическим и гексагональным базисами, обратимся опять к рис. 13.1. Представим себе, что узлы, отмеченные треугольниками и квадратами, отсутствуют. Оставшиеся узлы, помеченные кружками, образуют гексагональную решетку Бравэ; элементарная ячейка ее определяется векторами ах», а** и аг. Заметим теперь, что векторы 3alt За2 и За3 есть векторы получившейся гексагональной решетки Бравэ. Они-то и определяют, очевидно, элементарную ромбоэдрическую ячейку; объем ее втрое больше объема примитивной гексагональной ячейки. Выведем соотношения между индексами Бравэ, связанными с гексагональной, и индексами Миллера, связанными с ромбоэдрической системами координат. Начнем с символов направлений (ребер). Пусть кристаллографическое направление характеризуется индексами Бравэ [rWV4]. Согласно формуле A2.18) соответствующий вектор / = (г1 - г3) аУ + (г2 - г3) а2- + г*аг>. Воспользовавшись формулой A3.28), разложим базисные векторы гексагональной системы координат a^t а2', #з' по базису ромбоэдрической системы координат: / = (г* - г8) (ох - а2) + (г2 - г3) (а, - а,) + г4 (аг + а2+а8). После приведения подобных членов получим Таким образом, индексы Миллера направления [rW3r4] равны [ri _ г3 + г4. r2-r1 + tA. г3-г2 + г*]. A3.32) Разумеется, если возможно, их следует сократить. Напротив, пусть некоторое направление характеризуется в ромбоэдрической системе координат индексами Миллера U1/2/3], т. е. соответствующий ему вектор Воспользовавшись формулами A3.4), разложим векторы аиа2, а3 по базису гексагональной системы аг, а2<, а3'- После приведения подобных членов системы получим 2/1-/2_/з l« _ пх, _ § 13] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ 107 А теперь по формуле A2.18) найдем индексы Браве [/1_/2# /2_/3 /3_/1 /1+/2 + /3] A3.33) Перейдем к символам кристаллографических плоскостей (граней). Пусть индексы Бравэ некоторой кристаллографической плоскости будут (Р1Р2РзРа)- Согласно формулам A2.22) это означает, что вектор нормали к ней Ковариантные компоненты этого вектора в гексагональной системе координат равны Ковариантные компоненты пъ n2i n3 того же вектора в ромбоэдрической системе координат найдем по формуле A3.22), причем элементы матрицы Q выписаны в A3.30). Получим B/i + to + п3>) = з (Pi - Рз + Р4)> п% = у (— nv + п2> + /г3<) = j (ft - Pi + Л). пз = у (— п\' — 2^2' + ^з') = у (Рз — Рг + Pi)- Таким образом, индексы Миллера плоскости (Р1Р2Р3Р4) равны (Р1-Р3 + Р4. P2-P1 + P4. P3-P2 + P4). A3.34) Наоборот, если кристаллографическая плоскость характеризуется индексами Миллера (nxn2n^ относительно ромбоэдрической системы координат, то вектор нормали к ней п = пхах + п2а2 + п3а3. Ковариантные компоненты вектора п относительно гексагональной системы координат подсчитаем по формуле A3.21); элементы матрицы Р выписаны в A3.29). Компоненты п$> равны Ли = пх — /га , П>2' = П2 — flSi Теперь по формуле A2.22) найдем индексы Бравэ этой плоскости: (% — п2. п2 — п3. пъ — пх. п1 + п2 + п3). A3.35) Формулы A3.32) и A3.33), связывающие индексы Бравэ кристаллографических направлений с их индексами Миллера в ромбоэдрической системе координат, совпадают с формулами A3.34) и A3.35), связывающими индексы Бравэ и Миллера кристаллографических плоскостей.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Преобразование индексов при перемене системы координат» з дисципліни «Основи кристалофізики»
