Наряду с основным ковариантным базисом аъ а2, а3 применяется взаимный векторный базис, состоящий также из трех векторов, которые мы будем обозначать той же буквой а, но с индексами сверху; а\ а2, а3 и называть контравариантными базио § 11] ВЗАИМНЫЙ ВЕКТОРНЫЙ БАЗИС И ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА *» ными векторами или базисными векторами обратной решетки. Эти векторы определяют как решение следующей системы 9 линейных уравнений, связывающих их с обычными, или ковариантными базисными векторами: а1.а3 = 0, а2-а3 = 0, а3а3=1. Если ввести символ Кронекера при ftp=a> (ил) при p=^a, v то эту систему уравнений можно записать короче: aa-tfp = 6& (a, p = l, 2, 3). A1.2) Система A1.2) показывает, что любой контравариантный базисный вектор (скажем, а1) перпендикулярен к обоим ковариантным базисным векторам с другими номерами (в данном примере — векторам а2 и а3) и составляет острый угол с одноименным ковариантным базисным вектором (с вектором аг). Действительно, если скалярное произведение двух векторов равно нулю, они взаимно перпендикулярны, если же оно положительно — угол между ними меньше прямого. Так как вектор а1 перпендикулярен к вектору а2 и вектору а3, он коллинеарен их векторному произведению: а1 = та2 X X а8, где т — некоторое неизвестное нам пока число. Чтобы найти его, подставим в произведение а^-а1 величину а1 из выражения тах-(а2-а^ = 1. Заметим теперь, что объем элементарной ячейки, построенной на векторах аъ a2, a3i равен v = ai- (a2xa3) = «2- (fl3xai) = a3- {a1xa2). A1.3) Отсюда m=l/v. Подсчитав тем же способом а2 и а3, получим ! а2 X а3 а 0з X ai 3 ai X а2 m Дч Формулы A1.4) показывают, что базисные векторы обратной решетки а\ а2, а8 направлены по нормалям к координатным плоскостям кристаллической решетки. Длины же их, как показано ниже, равны обратным величинам межплоскостных расстояний координатных плоских сеток решетки. Вычислим смешанное произведение контравариантных базисных векторов а1-(а2 X а3). Воспользовавшись известной формулой двойного векторного произведения (А X В) X С = (А-С)-В — — (В-С)-Л, подсчитаем а2 X а3 = (I/a2) (а3 X а3) X {аг X а2) = = (l/v2) {[a8-(ax X a2)] ax — \ax (аг х a2)]a3} = A/a) ab так как bio- 86 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ I рое слагаемое равно нулю. Далее, заметив, что ах-ах = 1, найдем окончательно а1 • (я2 X я3) = 1/0. A1.5) Отсюда вытекает, что контравариантные базисные векторы а1, а2, а3 некомпланарны (так как их смешанное произведение не равно нулю) и образуют правую тройку (так как оно положительно). Заметив, что в основные уравнения A1.2) ко- и контравариантные базисные векторы входят совершенно симметрично, можно по аналогии с A1.4) сразу написать формулы, позволяющие выразить ковариантные базисные векторы через контравариантные: aL = va2xast a2 = va?xa1, a3 = vaxxa2 A1.6) (первую из них мы, в сущности, уже получали, вычисляя смешанное произведение контравариантных базисных векторов). Параллелепипед, построенный на контравариантных базисных векторах а1, а2, а3, называется кристаллографической ячейкой обратной решетки. Если кристаллографическая ячейка прямой решетки совпадает с элементарной, то и кристаллографическую ячейку обратной решетки называют элементарной. Неограниченно повторяя эту ячейку в пространстве в трех направлениях, из таких параллелепипедов можно построить решетку, называемую обратной кристаллической решеткой; она находит широкое применение в теории структурного анализа кристаллов и в теоретической физике твердого тела. Контравариантные базисные векторы часто называют поэтому базисными векторами обратной решетки. Основные векторы обратной решетки, т. е. контравариантные базисные векторы а1, а2, а3, как и вообще всякие векторы, можно разложить по основному (ковариантному) базису аъ а2, а3: Индексы при коэффициентах разложения g обозначают: первый — номер разлагаемого вектора, второй — разлагающего (не путать с показателями степени!). Эти три разложения можно, применяя буквенные индексы и обозначение суммирования, записать и короче: з но еще лаконичнее их запись, использующая правило суммирования Эйнштейна: (П.7) § 11] ВЗАИМНЫЙ ВЕКТОРНЫЙ БАЗИС И ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА 87 В этой записи на необходимость суммирования указывает то обстоятельство, что индекс р — индекс суммирования — повторяется дважды: в верхнем положении и в нижнем. Когда в «одночлене» встречаются два одинаковых греческих индекса, один сверху, а другой снизу — это не одночлен, а сумма одночленов, в которых индекс суммирования принимает последовательно значения 1, 2, 3; случаи, когда индексы принимают другие значения, будут оговариваться особо. Коэффициенты разложения ga$ называются контравариантными компонентами метрического тензора. Чтобы выяснить их смысл, скалярно умножим правую и левую части равенств A1.7) на некоторый контравариантный базисный вектор av.Учитывая,что ар -ау = = 6g, получим a«-a?=g^. (И.8) Таким образом, контравариантные компоненты метрического тензора равны скалярным произведениям соответствующих контра- вариантных базисных векторов. Так как скалярное умножение векторов коммутативно, т. е. результат его не зависит от порядка сомножителей, эти компоненты не изменяются при перестановке индексов: g"Y=gY<*. (Ц.9) Рассмотрим теперь разложение основных векторов решетки аъ а2, а3 по основным векторам обратной решетки а1, а2, а3: или, что то же самое: Коэффициенты этого разложения gap называются ковариантными компонентами метрического тензора. Они равны скалярным произведениям соответствующих основных векторов кристаллической решетки: ac6-aY- A1.11) Ясно, что и они не меняются при перестановке индексов: Наборы чисел gap и g^P представляют собой матрицы; сравнение равенств A1.7) и A1.10) показывает, что эти матрицы взаимно обратны Если обозначить \\ga$\\ = G, то \\gaH = G, и справедливы соотношения = 4. A1ЛЗ) 88 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. ! Из формул A1.11) вытекает, что ковариантные компоненты метрического тензора ga$ вполне определяются параметрами ячейки — длинами ребер и углами между ребрами. Если длины ребер обозначить а, Ь, с, а углы между ними а, р, у (см. рис. 1.5), то Ia2 ab cos у cacosp II abcosy b2 bccosa . A1.14) ca cos P be cos а с2 \ С другой стороны, зная ковариантные компоненты метрического тензора, нетрудно вычислить параметры ячейки A1.15) gllg22 Как доказано в § 16, объем элементарной ячейки равен Y^ G; сравнив это с A1.14), получим со = ]/1 — cos2 a — cos2 p — cos2 у + 2 eos a cos p 'cos у. A1.16) Контравариантные компоненты метрического тензора образуют матрицу Ia*2 a* b* cosy* c*a*cosp* II a*b*cosy* b*2 b*c*cosa* , (H.17) c*a* cos P* b*c* cos a* c*2 fl в которой a*, &*, с* —длины ребер ячейки обратной решетки, а а*, р*, у* — углы между ними. По контравариантным компонентам метрического тензора они вычисляются посредством формул, совершенно аналогичных A1.15), а с параметрами ячейки кристаллической решетки связаны соотношениями 1 л sin В л и асо 9 и ~~ Ьсо * с ~~ ш ' cosa*_ cos р cosy-cos a fl<l _ cosycosa-cosp m Jfi C0Sa - sinPsiny • COSP sin у sin a • (H.lo) _ cos a cos p-cos у "" sin a sin P Матрицы G и G для всех 14 решеток Бравэ (при общепринятом выборе элементарной ячейки в каждой из них) приведены в приложении Б. § 12] ИНДИЦИРОВАНИЕ НАПРАВЛЕНИИ И ПЛОСКОСТЕЙ 89 Параллелепипед, построенный на контравариантных базисных векторах а\ а2, а3, называется ячейкой обратной решетки; из таких параллелепипедов строится обратная решетка. Каждой плоскости прямой решетки отвечает в обратном пространстве узел обратной решетки. Бесконечному семейству параллельных плоскостей в прямом пространстве соответствует в обратном пространстве бесконечное семейство точек вдоль направления, нормального к этим плоскостям. Прямая и обратная решетки сопряжены взаимно и имеют одинаковую точечную симметрию (но пространственные их группы, вообще говоря, различны). С помощью обратной решетки описывается периодическое распределение отражающей способности кристалла по отношению к рентгеновским лучам. Основное уравнение дифракции рентгеновских лучей в кристаллах (формула Вульфа — Брегга) определяет зависимость между длиной волны Я, межплоскостным расстоянием d для серии плоскостей решетки, параллельных отражающей плоскости, порядком п дифракционного спектра от этой серии плоскостей и углом падения волны на кристалл: 2dsin6 = AzX. A1.19) Здесь 8 — угол, дополнительный к углу падения. Межплоскостные расстояния между координатными плоскостями A00), @10) и @01) обратны длинам ребер ячейки обратной решетки а*, Ь* и с* и определяются формулами A1.18); в общем же случае межплоскостное расстояние определяется формулой A5.30). Направление вектора обратной решетки г* совпадает с направлением рентгеновского отражения от серии параллельных плоскостей прямой решетки, а n-й узел в ряду обратной решетки отвечает отражению /г-го порядка от этой серии плоскостей. Каждый узел обратной решетки соответствует направлению пучка рентгеновских лучей, получившемуся вследствие дифракции на серии параллельных плоскостей решетки.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Взаимный векторный базис и обратная решетка» з дисципліни «Основи кристалофізики»
