Сочетания элементов симметрии структур. Решетки Бравэ. Генерирование новых элементов симметрии
Основное симметрическое преобразование кристаллических структур — это бесконечное повторение; ни одна точка не остается на месте, все они бесконечно повторяются с помощью трансляций. Кристаллическая структура состоит из частиц или групп частиц, связанных друг с другом различными преобразованиями симметрии. Сочетание трансляций с каждым из элементов симметрии генерирует новые элементы симметрии, бесконечно повторяющиеся в пространстве. Для каждой структуры характерен ее набор элементарных трансляций или трансляционная группа, которая определяет пространственную решетку. В зависимости от отношения величин и взаимной ориентации трех основных трансляций а, Ьу с получаются решетки, отличающиеся друг от друга по своей симметрии. Симметрия ограничивает число возможных решеток. Все кристаллические структуры описываются 14 трансляционными группами, соответствующими 14 решеткам Бравэ. Решеткой Бравэ называется бесконечная система точек, которая образуется трансляционным повторением одной точки. 14 решеток Бравэ отличаются друг от друга по форме элементарных ячеек и по симметрии и подразделяются на 6 сингоний. Подразделение на сингоний было введено еще в начале XIX века только на основании изучения внешней формы минералов. Решая задачу о симметричном расположении сферических частиц (материальных точек) в пространстве, Бравэ в 1848 г. пришел к такому же разделению на сингоний. Симметрия кристаллического пространства ограничивает число возможных решеток. Решетка должна быть инвариантной по отношению ко всем преобразованиям симметрии, возможным для данного кристаллического пространства. Принцип вывода решеток Бравэ рассмотрим на примере двумерных решеток. Плоская сетка определяется парой базисных векторов аъ аг\ параметры ячейки — а, Ь, у. С плоской сеткой должны быть совместимы повороты вокруг осей 1, 2, 3, 4, 6, перпендикулярных к плоскости сетки, и отражения в плоскостях симметрии, тоже перпендикулярных к плоскости сетки; несовместимо с ней никакое симметрическое преобразование, выводящее сетку из ее плоскости. Из 32 точечных групп симметрии для плоских систем годятся лишь 10 точечных групп (рис. 9.1): 1, 2, 3, 4, 6, m, mm2, 3m, 4mm, 6 тт. Только эти сочетания элементов симметрии оставляют точку в заданной плоскости. Во всех двумерных точечных группах основная ось симметрии перпендикулярна к рассматриваемой плоскости, 72 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I а плоскости симметрии проходят вдоль этой оси. В группе т можно формально считать, что плоскость т проходит вдоль оси 1,.перпендикулярной к данной плоскости. Какие значения трансляций a, b и угла между ними у возможны в плоских сетках? В общем случае а ^= Ь, у =/= 90° получаем косоугольную сетку с неодинаковыми сторонами ячейки. С ней совместимы повороты вокруг осей 1 и 2. Наличие оси 4 требует, чтобы решетка была квадратной, т. е. а = Ъ, у— 90°. Наличие осей 3 и 6 требует, чтобы решетка была гексагональной, т. е. а = Ь> у = 120°. Чтобы узнать, что дает наличие плоскости т, нормальной к плоскости сетки, выразим основные векторы а, Ь через орты/, Jкоординатной системы Izf^f' (9-1) Положим, что плоскость симметрии т проходит вдоль оси X. Тогда при зеркальном отражении в этой плоскости получим a'=aj-aj, (g g) mm2 mm2 Для того чтобы трансляции а' и Ъ' были тоже трансляциями решетки, имеется лишь две возможности: первая а — ai, Ь = bj\ что дает прямоугольную решетку: а = Ь, у = 90°, и вторая Ь' = а — &, т. е. Ь'х = ах — Ьх, Ь'у — пу — by. Это решение получится из (9.1) и (9.2) при ау = 0, ах = 2Ь, т. е. а = ai, Ь = = xUaJ + bj. В этом последнем случае на трансляциях а, Ь строится центрированная прямоугольная ячейка, т. е. ячейка, в центре которой имеется еще один узел, a =f= Ь, у = 90°. Эту решетку можно описать и с помощью сетки, составленной из ромбов, тогда ячейка получается примитивной, нецентрированной. Однако центрированная ячейка здесь удобнее, потому что она позволяет пользоваться прямоугольной системой координат. Таким образом, получаем 5 плоских сеток Бравэ: параллелограммы, прямоугольники, ромбы, треугольники и квадраты. Так же выводятся 14 пространственных решеток Бравэ (табл. 9.1 и 9.2). Элементарные ячейки в решетках Бравэ выбираются так, Рис. 9.1. Сочетания элементов симметрии, отвечающие точечным группам симметрии бесконечных плоских систем. §91 СОЧЕТАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ. РЕШЕТКИ БРАВЭ 73 Таблица 9.1 14 решеток Бравэ Сингония Решетка
примитивная базоцентри- рованная объемно-
центрированная гранецентри- рованная
эдрическая Триклинная
Моноклинная
Ромбическая vo
Тетрагональная
Гексагональная Кубическая / / ■/р чтобы 1) их симметрия соответствовала симметрии всей решетки *), 2) число прямых углов и равных сторон было максимальным и 3) объем ячейки — минимальным. Решетки Бравэ играют огромную роль в кристаллографии. Любая кристаллическая структура может быть представлена с помощью одной из 14 решеток Бравэ, подразделяющихся на сле- *) Точнее: симметрия элементарной ячейки должна совпадать с симметрией голоэдрического класса той системы, к которой относится кристалл, ОСНОВНЫЕ СВРЛЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ РГЛ I дующие типы: Р — примитивные, / — объемноцентрированные, F — гранецентрированньш, Л, В, С — базоцентрированные (боко- центрированные), R — ромбоэдрическая. Примитивные ячейки Бравэ — это те основные ячейки, по которым различают кристаллографические сингонии. В тригональной системе примитивной элементарной ячейкой наряду с призмой может быть и ромбоэдр ® — фигура, у которой а = b = с, а = = |3 = у ф 90°. В гексагональной сингонии за примитивную элементарную ячейку принимают призму с ребром, параллельным оси 6, и основанием в форме ромба, а = Ъ =£ с, а = р = 90°, у = 120°. Таблица 9.2 Обозначение типа ячейки и трансляционной группы для 14 решеток Бравэ Сингония Триклинная Моноклинная Ромбическая Тетрагональная Гексагональная Кубическая Решетка
примитивная Р, Г/, Р, Тт Р, Го Р, Г, р, гй Р, Гс базоцеи- трирован- ная с. it объемно-
центрированная / rv /, 1 о I, Tvc гране- центриро- ванная
эдрическая Элементарной ячейкой гексагональной структуры является шестигранная призма, составленная из трех примитивных ячеек; она отражает симметрию и тригональных, и гексагональных кристаллов. Для гексагональной сингонии иногда удобнее пользоваться так называемой ортогексагональной ячейкой, тоже непримитивной, для которой a =f= су b = а}/~3. В примитивных ячейках узлы решетки располагаются только в вершинах ячейки, в сложных есть еще узлы: в объемноцентриро- ванной /-ячейке — еще один узел в центре ячейки, в гранецентри- рованной F-ячейке — по одному узлу в центре каждой грани, в базоцентрирсванной С-ячейке (А- или 5-ячейках) — по узлу в центре пары параллельных граней. Узел в вершине ячейки принадлежит одновременно восьми соседним ячейкам, узел в центре грани — одновременно двум соседним ячейкам. Поэтому всего на объем ячейки приходится: Р-ячейка — 1 узел, /-ячейка — 2 узла, F-ячейка — 4 узла, С-ячейка — 2 узла. Гексагональную примитивную ячейку можно также описать и с помощью ромбоэдрической ячейки R, но при этом ромбоэдр дол- § 9] СОЧЕТАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ. РЕШЕТКИ БРАВЭ 76 жен быть непримитивным: в нем содержатся два дополнительных узла с координатами 111/32/31/з^ и [PW/sl]. Ромбоэдрическую решетку можно считать также центрированной гексагональной: в примитивной гексагональной ячейке имеется два дополнительных узла с координатами [fOOVg]] и [[002/3]]. Все четыре типа ячеек — Р, /, F, С — имеются только в ромбической сингонии, остальные сингонии содержат не все типы ячеек (см. табл. 9.1). Например, в кубической сингонии нет базо- центрированной ячейки Бравэ, потому что она противоречила бы симметрии кубической решетки: если центрирована одна пара граней куба, то благодаря симметрии куба обязательно должны быть центрированы и две другие пары, т. е. С-ячейка станет F-ячейкой. В тетрагональной сингонии нет ячейки С: она была бы совместима с симметрией решетки, но не отвечала бы условиям выбора ячейки Бравэ; вместо нее вполне можно взять ячейку примитивную, объем которой вдвое меньше. Такими же соображениями можно доказать достаточность выбора приведенных в табл. 9.1 ячеек для всех сингонии. Четырнадцатью решетками Бравэ исчерпываются все возможные трансляционные решетки, описывающие любые кристаллические структуры. В структуре кристалла решетки Бравэ могут быть вставлены одна в другую, а в узлах различных решеток могут стоять как одинаковые, так и различные атомы, как сферически-симметричные, так и имеющие реальную кристаллографическую симметрию. Все типы структур описываются 230 пространственными группами симметрии, которые образуются из сочетаний элементов симметрии бесконечных структур. Умножение элементов симметрии структур подчиняется тем же теоремам 1—6, которыми описывается симметрия многогранников. Кроме того, из-за добавления бесконечных повторений появляются новые сочетания. Приведем некоторые из них *). Как и для умножения элементов симметрии многогранников, мы будем давать не строгие доказательства, а иллюстративные примеры **). Теорема 7. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии эквивалентно трансляции на параметр t = 2а, где а — расстояние между плоскостями. На рис. 9.2 / и //—две параллельные плоскости симметрии. Отражение в плоскости / дает преобразование А ->- Б, отражение в плоскости // дает Б ->• 5, и из чертежа сразу видно, что расстояние между соответствующими точками треугольников А и В равно 2а. Два последовательных отражения А ->- В и Б ->- В можно заменить трансляцией А -> В = 2t: mn-mi=/. (9.3) *) Нумерация теорем ниже продолжает нумерацию §§ 3 и 6. **) Наилучший полный вывод дан акад. Н, В, Беловым (см, Белов, 1951). 76 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ ГГЛ I Теорема 7а. Любую трансляцию t можно заменить отражением в двух параллельных плоскостях, отстоящих друг от друга на расстояние t/2. Теорема обратна теореме 7, доказывается аналогично и следует из рис. 9.2. Теорема 8. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция с параметром t порождают новые «вставленные» плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее на расстояние t/2. На рис. 9.3, а трансляция / перпендикулярна к плоскости симметрии /. Отраже- 0 ние в плоскости / дает преобразование А->-Б, трансляция t—преобразование Л->В, Б->Г. Видно, что Б и В, так же как Л и Г, связаны между собой еще и отражением в порожденной (вставленной) плоскости симметрии //: m,./1=m11. (9.4) Рис. 9.2. Две параллельные плоскости зеркального отражения эквивалентны трансляции. Теорема 8 справедлива независимо от того, каков тип порождающей плоскости: плоскость скользящего отражения и перпендикулярная к ней трансляция / порождают плоскость скользящего отражения с такой же т т в г "I i в в- .а) I1 6) i г- 1/2 Л в) Рис. 9.3. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция порождают одноименную вставленную плоскость: зеркальнуЙРплоскость (а), плоскость скользящего отражения с переносом в плоскости чертежа (б), плоскость скользящего отражения с переносом, перпендикулярным к плоскости чертежа (в). величиной и направлением скольжения, отстоящую от порождающей на t/2 в сторону трансляции. На рис. 9.3, б это иллюстрируется для плоскости типа а (перенос вдоль оси X), а на рис. 9.3, в — для плоскости типа с (перенос СОЧЕТАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ РЕШЕТКИ БРАВЭ 77 вдоль оси Z, нормальной к плоскости чертежа). В обоих случаях трансляция / перпендикулярна к порождающей плоскости /. Преобразование в плоскости скользящего отражения дает А -> Б (рис. 9.3, в)\ в случае плоскости с фигурки Б и Б' подняты над плоскостью чертежа на с/2, что обозначено значком «1/2». Трансляция / дает преобразования А -> А' и £->£'. Очевидно, между Б и Л на расстоянии t/2 проходит порожденная плоскость скользящего отражения // такого же типа, как порождающая плоскость /. Теорема 9. Плоскость симметрии и трансляция /, составляющая с плоскостью угол а, порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей и отстоящую от нее в сторону трансляции на величину (t/2) sin a; величина скольжения вдоль порожденной плоскости равна t cos a. Для доказательства этой теоремы разложим трансляцию t на компоненты tL = , = t sin а и t\\ = t cos а: /, . /и — / /Q ТЛ II Рис. 9.4. Плоскость т и трансляция, составляющая с ней угол а, порождают плоскость скользящего отражения. tsinct Сочетание порождающей плоскости с tL = t sin а дает, согласно предыдущей теореме, такую же плоскость, параллельную порождающей и отстоящую от нее на расстояние (t/2) sin а; трансляция t\\ превращает эту плоскость в плоскость скользящего отражения с переносом Ц = t cos a (рис. 9.4). Теорема, очевидно, справедлива для любого типа порождающих плоскостей. Из теоремы 9 следует, что если в точечной группе симметрии кристалла имеются плоскости симметрии, то в структуре этого кристалла между порождающими плоскостями симметрии обязательно появятся порожденные плоскости симметрии — простые или плоскости скользящего отражения. Типы порожденных плоскостей зависят как от типов порождающих плоскостей, так и от набора трансляций элементарной ячейки Бравэ, т. е. от типа решетки Бравэ. Теорема 10. Ось симметрии с углом поворота а и перпендикулярная к ней трансляция t порождают такую же ось симметрии, параллельную данной, отстоящую от нее на расстояние (t/2) sin (a 12) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t в ее середине. Пусть (рис. 9.5) Аа — точка выхода простой оси симметрии с углом поворота a, t — трансляция, перпендикулярная к ней. Согласно теореме 2а (§ 3) заменим ось Аа двумя пересекающимися плоскостями симметрии, причем одну из этих плоскостей mL (I) проведем перпендикулярно к трансляции /, а вторую щ (II) под 78 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. ! углом а/2 к первой. Трансляцию /, согласно теореме 7а, заменим двумя параллельными плоскостями симметрии mi и /пщ (///); mm делит пополам трансляцию t. Два последовательных отражения в плоскости mi в сумме дают единичное преобразование у4а • /_l ===/Wi • mn * ffi\' mi11 = 1 • mn * ^iii» (9«6) Согласно теореме 2 (см. § 3) две плоскости симметрии, пересекающиеся под углом а/2, тождественны оси симметрии с углом поворота а, проходящей вдоль линии их пересечения: тц« mm =Ла/2, (9.7) т. е. порождают ось симметрии Аа. Из чертежа видно, что t/2 t = sin (а/2) ~ 2 sin (а/2) # Теорема доказана. Теорема 11. Винтовая ось сим- Ж Л Рис. 9.5. Ось симметрии и перпендикулярная к ней трансляция порождают параллельную ось симметрии. метрии с углом поворота а и переносом t и перпендикулярная к ней трансляция t порождают винтовую ось с тем же углом и тем же переносом, параллельную данной, отстоящую от нее на (t/2) sin(a/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t в ее середине. Доказательство сводится к предыдущему, с той разницей, что винтовую ось симметрии Aatt представляем как произведение двух элементов, а именно, простой оси симметрии Аа и трансляции /х вдоль оси: Aa't1-t1=m1 -mw-tx-mi -тщ = 1 -/i-тц •тш = = В'а-Ь = В*.и, (9.8) т. е. получаем винтовую ось с тем же углом поворота а и тем же переносом tlt расположенную в точке Б (рис. 9.5). Теорема 12. Ось симметрии с углом поворота а и трансляция /, составляющая с ней угол р, порождают винтовую ось симметрии. Для доказательства разложим трансляцию t на компоненты t± = £cos р и /у = £sin p: Aa-t^Aa-tj.-tt. (9.9) Согласно (9.6) — (9.8) получаем винтовую ось симметрии с углом поворота а, с величиной переноса t sin JJ, отстоящую от А на рас- стояние2Ж(а72Г СОЧЕТАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ РЕШЕТКИ БРАВЭ 79 Теорема 13. Винтовая ось симметрии с углом поворота а и переносом tx и трансляция /, составляющая с осью угол р порождают винтовую ось симметрии с тем же углом поворота. Доказательство сводится к предыдущему, с той разницей, что винтовой поворот Aaxtx сразу представляем как произведение простого поворота и трансляции tx: AQtlt1 = Aa-t1't1-tii = Ab-tl-ti = &.T, (9.10) где трансляция Т = tx*t\\. Из теорем 12 и 13 следует, что если через угол элементарной ячейки проходит ось симметрии, то сочетание этой оси с трансляциями группы Бравэ порождает оси симметрии, простые и винтовые, на ребрах ячейки, в центре и в положениях, определяемых теоремами 12 и 13. Поскольку ось симметрии а включает в себя повороты, кратные а, результирующие оси симметрии могут быть разных порядков. Рассмотрим это на примере оси 4, которая включает в себя повороты У, я/2, я, Зя/2. Добавим к ней трансляции tx и t2 примитивной элементарной ячейки. Результирующие повороты будут:
Вращение / я/2 я Зя/2 Трансляция и 1 я/2 я Зя/2 1 Зя/2 я Зя/2 1 я/2 я Зя/2 Из таблицы видно, что ось 4, проходящая через вершину примитивной ячейки, порождает ось 4 в центре ячейки и оси 2 в серединах ее ребер. Теорема 14. Инверсионно-поворотная ось с углом поворота а и перпендикулярная к ней трансляция / порождают ту же инверсионно-поворотную ось, параллельную порождающей. Разложив инверсионно-поворотную ось Л- на простую поворотную Аа и инверсию в центре симметрии I, сводим доказательство к предыдущему. Применяя теорему 14 к инверсионной оси I, получаем следствие: Центр симметрии и трансляция / порождают новый центр симметрии, смещенный относительно данного в направлении трансляции / на половину ее величины. 80 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ Г Теорема 15. Инверсионно-поворотная ось с углом поворота а и трансляция /, составляющая с этой осью угол f$, порождают инверсионную ось с тем же поворотом а, параллельную данной. Доказательство сводим к предыдущим: разлагаем трансляцию / На *\\ И 'г Аа-> = Аа-]'(\\'*1=В«'*\\']==В«'*\\ = В'*> ИСПОЛЬЗУЯ формулы (9.8) и (9.9) и получаем AR, t sinp HD - 2 cos (a/2)' Все теоремы §§ З и 6 представляют собой частные случаи умножения операций симметрии без трансляций. Добавление трансляций расширяет перечень порождаемых элементов симметрии. Так, в теореме 2 (см. § 3) доказывалось, что пересекающиеся плоскости симметрии т порождают поворотную ось симметрии. Из хода доказательств предыдущих теорем видно, что если порождающие пересекающиеся плоскости будут плоскостями скользящего отражения, то порождаемыми элементами могут оказаться оси винтовые, проходящие через линию пересечения плоскостей или смещенные относительно нее. Теорема о пересечении осей симметрии также даст множество разнообразных решений, если учесть и винтовые оси симметрии. Разобранными теоремами и примерами не исчерпываются возможные сочетания бесконечных симметрических преобразований, но они наглядно иллюстрируют многообразие этих сочетаний и принцип их вывода.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сочетания элементов симметрии структур. Решетки Бравэ. Генерирование новых элементов симметрии» з дисципліни «Основи кристалофізики»
