Множество операций симметрии идеального кристаллического многогранника, т. е. преобразований, в результате которых этот многогранник совмещается сам с собой, образует класс (вид) симметрии, или точечную группу симметрии кристалла. Число различных операций симметрии, входящих в группу, называется порядком группы. Рассмотрим простейшие свойства таких групп. Если некоторая операция преобразует кристаллический многогранник в себя, он, очевидно, будет преобразовываться в себя и при повторениях этой операции. Так как результат последовательных повторений операции симметрии обозначается как степень этой операции, в группу вместе с любой операцией входят и все ее возможные степени. Это не значит, что таких степеней бесконечно много: повторение любой точечной кристаллографической операции симметрии в конце концов приводит кристалл в исходное положение, т. е. некоторая степень любой такой операции равна отождествлению: Группы, порождаемые одним элементом симметрии, т. е. состоящие из степеней одной-единственной операции, называются циклическими. Кристаллографические циклические группы обозначаются символами порождающих их элементов симметрии. Они бывают первого порядка A), второго порядка (I, m, 2), третьего порядка C), четвертого порядка D, 4), шестого порядка F, 3, 6). Если некоторая операция совмещает многогранник сам с собой и, следовательно, является операцией симметрии, то и операция, возвращающая его в первоначальное положение, также является операцией симметрии; она называется обратной по отношению к исходной (исходная же в свою очередь оказывается обратной по отношению к ней). Обратная операция обозначается как минус первая степень исходной. Произведение взаимно обратных операций есть отождествление 1\ очевидно, любые лве операции, произведение которых есть отождествление, взаимно обратны. Примеры взаимно обратных ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ (КЛАССЫ) СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 45 операций: 2-2 = 1, Как видно, некоторые операции (/, т, 2) обратны самим себе. Если каждая из некоторых двух операций преобразует кристаллический многогранник в самого себя, то и в результате последовательного выполнения обеих операций многогранник преобразуется в себя: наряду с любыми двумя операциями в группу входит и их произведение (или оба произведения, если они не совпадают). Пусть, например, в число операций симметрии некоторого кристаллического многогранника входят 2У и пгу. Согласно теореме 1 § 3 операцией симметрии оказывается также /. Вместе с отождествлением эти операции образуют группу, так как все возможные перемножения не приводят ни к каким иным операциям; символ этой группы 21т разъясняется в следующем параграфе. Таблицы умножения точечных групп 2/т, 222, тт2 и абстрактной нециклической группы четвертого порядка выглядят так: 2/т 1 Шу 1 1 1 2У ту 1 2У 2у 1 1 ГПу ГПу ту 1 1 h 1 1 ГПу 2у 1 тт2 1 тх ту 2Z 1 1 тх 4Пу 2г тх тх 1 22 ГПу ГПу ГПу 2z 1 тх 2Z 2Z Шу тх 1 222 ; 2Х 2у 2г 1 1 2Х 2у 2г 2Х 2Х 1 2Z 2у 2у 2у 22 1 2Х 2г 2Z 2у 2Х 1 абстр. 1 а b с 1 1 а b с а а 1 с b b b с 1 а с с Ь а 1 46 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ [ГЛ. I Все умножения в группе 2/т коммутативны, т. е. не зависят от порядка сомножителей; это проявляется в том, что таблица умножения группы симметрична относительно главной диагонали. Таким образом, 2/т — коммутативная группа. Очевидно, все циклические группы коммутативны (но не все коммутативные группы являются циклическими). Группы, в которых не все умножения коммутативны, называется некоммутативными. Такова, например, группа симметрии кристаллов кварца 32, порожденная осью 3 и перпендикулярной к ней осью 2. В § 3 показано, что 3Z2X ^= 2Х32. Таблица умножения этой группы не симметрична относительно главной диагонали (см. § 3). Группа 32 — пример групп, порожденных двумя операциями симметрии. К таким группам относятся также группы симметрии правильной трехгранной и четырехгранной • пирамиды Ът и 4т. Некоторые кристаллографические группы порождаются тремя операциями; такова, например, группа симметрии правильной четырехгранной призмы 4/ттт. Порождающие группу операции называются иногда генераторами группы. Генераторы всех кристаллографических групп приведены в табл. 45.2. Бывает, что часть операций, входящих в группу, сама по себе составляет группу (разумеется, меньшего порядка, чем исходная); эта группа по отношению к исходной называется подгруппой, исходная же по отношению к ней — подгруппой. Так, у группы 21т три подгруппы *): 2 {У, 2У), т {/, ту) и 1 {Г, /}, а у группы 32 - четыре: 3 {Л 3Ж9 3*}, 2 {У, 2Х), 2 {/, 2У)У 2 {/, 2Z). То, что группа I — подгруппа группы 2/т, обозначается так: I с: 2/т. Группа 1, состоящая из единственной операции /, — подгруппа любой группы, поэтому ее часто называют тривиальной подгруппой и опускают при перечислении подгрупп. Отношение порядка группы к порядку подгруппы называется индексом подгруппы; так по отношению к группе 32 группа 3 оказывается подгруппой индекса 2, а группа 2 — подгруппой индекса 3; по отношению к группе 2/т группы 2, т и Т — подгруппы индекса 2. Совокупность операций, входящих одновременно в две группы, называется пересечением этих групп. Нетрудно доказать, что пересечение двух групп само является группой; отсюда следует, что пересечение двух групп — наибольшая общая подгруппа этих групп. Находя пересечение двух точечных групп, необходимо обращать внимание на взаимное расположение элементов симметрии в них. Так, если рассмотренные ранее группы 32 и 2/т отнесены к одной и той же системе координат, то переселение этих групп — группа 2 {/, 2У). Это обозначается 32 П 21т = 2, или, *) В фигурных скобках перечисляются операции, входящие в группу. § 5] ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ (КЛАССЫ) СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 47 если желательно подчеркнуть ориентировку элементов симметрии, ЗА П Угпи = 2У. Точечные группы симметрии кристаллов — одна из возможных реализаций математических групп. Группой в математике называют множество G элементов *) а, Ь, с, ..., удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) для каждых двух (не обязательно различных) элементов группы a g G и i) g G, взятых в определенном порядке, существует единственный элемент cgG, называемый их произведением: с = аЪ\ 2) для всех элементов группы выполняется ассоциативный (сочетательный) закон: a (be) = (ab) с\ 3) в группе существует единичный элемент 1 е G такой, что при умножении его справа или слева на любой элемент а е G последний не изменяется: al = la = a; 4) для каждого элемента а е G существует обратный элемент, аг1 е G, удовлетворяющий соотношению а~ха = ааг1 = 1. Сравнение этих аксиом с рассмотренными ранее свойствами точечных групп показывает, что точечные группы удовлетворяют перечисленным аксиомам и являются, таким образом, частным случаем математических групп. Если группа имеет только свойства, перечисленные в аксиомах, она называется абстрактной. Абстрактная группа полностью определяется заданием своей таблицы умножения. Точечные группы, кроме свойств, перечисленных в аксиомах, имеют многие другие свойства: они могут быть центросимметрич- ными и ацентричными, голоэдрическими и мероэдрическими, каждая из них принадлежит к той или иной категории, системе, синго- нии и т. д. (эти их свойства рассмотрены в § 14). Кристаллографически различные точечные группы могут быть абстрактно одинаковыми, т. е. иметь одинаковые таблицы умножения (Белова, Белов, Шубников, 1948). Такие точечные группы называются изоморфными. Всем кристаллографически различным, но изоморфным между собой точечным группам соответствует одна и та же абстрактная группа; таковы, например, коммутативные группы 2/т, 222 и тт2. Вообще же изоморфные группы показаны на рис. 14.5. Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) симметрии применяются символы, основанные на теоремах об умножении операций симметрии. В международной символике приняты следующие обозначения: п — ось симметрии n-го порядка (п = 2, 3, 4, 6) **), п — инвер- *) То, что а — элемент множества G, обозначается aeG. **) В международной символике принято обозначение X или Хп\ мы заменяем его символом п, так как буквой X везде обозначают первую координатную ось. 48 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ ГГЛ Т сионная ось симметрии я-го порядка, т — плоскость симметрии, пт — ось симметрии я-го порядка и п плоскостей симметрии, проходящих вдоль нее (см. теорему 4 § 3); —, п/т — ось симметрии порядка п и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная; если п четное, то по теореме 3 имеется еще и центр симметрии; п2 — ось симметрии n-го порядка и п осей второго порядка, к ней перпендикулярных (см. теорему 1); —т или п/ттт — ось симметрии п-го порядка и плоскости т, параллельные и перпендикулярные к ней. В международном символе класса симметрии пишутся только порождающие элементы симметрии — плоскости или оси; при этом буква в символе означает нормаль к плоскости симметрии. Зная теоремы о сочетании элементов симметрии, можно представить всю совокупность элементов симметрии данного класса. Чрезвычайное значение имеет порядок записи: однозначный смысл цифры или буквы, обозначающей элемент симметрии, зависит от того, на какой позиции в символе она поставлена. Правила записи международных символов точечных групп сведены в табл. 5.1. При записи необходимо строго соблюдать правила кристаллографической установки (см. рис. 4.1). В международной символике различают «координатные» и «диагональные» элементы симметрии; координатные - плоскости или оси проходят вдоль координатных плоскостей, диагональные — по биссектрисам углов между ними. Целесообразность такого различия и неравноправность координатных и диагональных элементов симметрии станут понятными при рассмотрении микроскопической симметрии кристаллов (§ 9). В символах всех классов средней категории на первом месте стоит главная ось симметрии, расположенная вдоль оси Z, на втором — координатные элементы симметрии в плоскости XY, на третьем — диагональные элементы симметрии в той же плоскости. По традиции направления, проходящие по биссектрисам углов а = 60°, т. е. для осей 6 и б в гексагональной сингонии называют иногда апофемальными, оставляя термин «диагональные» лишь для направлений, соответствующих биссектрисам прямых углов, т. е. для тетрагональной сингонии. Для оеей 3 и 3 угол а = 120°, а/2 = = 60°, все направления, образующие между собой углы в 60°, симметрично эквивалентны, поэтому третья позиция в символе пустует. Например, символ 4mm означает: имеется ось 42, две координатные плоскости симметрии и две плоскости симметрии, проходящие вдоль оси 42 через биссектрисы углов между осями X и У. Можно записать этот символ и сокращенно: 4mm = 4m, потому что из теоремы 4 ясно, что если есть плоскость т вдоль оси 4, то таких плоскостей всего четыре. Аналогично записывается класс 6mm ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ (КЛАССЫ) СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 49 в гексагональной сингонии, а в тригональной, как следует из сказанного выше, достаточно записать Ът. В международном символе точечной группы для кристаллов высшей категории (кубической сингонии) цифра 3 на второй позиции условно символизирует четыре оси 3, в отличие от цифры 3 на первом месте, символизирующей одну — особенную — ось 3 для кристаллов тригональной системы. Наличие четырех осей 3, проходящих по биссектрисам координатных углов, характерно для всех классов кубической системы. Оси симметрии 4 или 4 — если они есть — всегда совпадают в кубической системе с осями координат. Таблица 5.1 Порядок позиций в символах точечных групп Сингонии Триклинная Моноклинная Ромбическая Гексагональная *) Тетрагональная Кубическая Позиции в символе I Один символ, соответствующий любому направлению в кристалле Ось 2 или нормаль к т вдоль оси Х2 (первая установка) или вдоль оси Х3 (вторая установка) Ось 2 или оси Хг Главная ось симметрии Координатные элементы симметрии II нормаль к т вд< оси Х2 Оси 2 или норл координатных направлений 3 III эль оси Xs «али к т вдоль диагональных направлений Диагональные элементы симметрии *) В ромбоэдрической установке — основная ось вдоль <111>. оси 2 или нормали к плоскостям" вдоль трех направлений A10) и трех направлений A12). Угловыми скобками здесь обозначена совокупность симметрично эквивалентных направлений, см. § 12. Оси симметрии 2 и плоскости могут быть координатными или диагональными. Если число осей симметрии 2 или плоскостей т равно трем, то эти элементы координатные, если их шесть, то они диагональные. Наконец, если их девять, то из них три — координатные, а шесть — диагональные. В качестве координатных и диа- 50 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ ГГЛ I тональных элементов симметрии пишутся преимущественно плоскости, а оси симметрии включаются в символ, только если нет плоскостей. Например, символ тЗ расшифровывается так: четыре оси 3 по биссектрисам координатных углов и три координатные плоскости симметрии; по теореме 2 на пересечениях плоскостей появляются три оси 2, а по теореме 3 на их пересечении добавляется центр симметрии. Сравним с символом тЪ символ Зт: цифра 3, стоящая на первой позиции, означает единственную главную ось симметрии третьего порядка, т. е. принадлежность к триго- нальной системе, буква т, стоящая вслед за этой цифрой, означает три плоскости симметрии, проходящие вдоль оси. На этом примере видно, что перестановка букв или цифры в символе с одной позиции на другую полностью меняет смысл символа. В «учебной» символике (символике Бравэ) приняты обозначения: плоскость симметрии Р, центр симметрии С, оси симметрии Ьъ L2, L3, L4, L6, инверсионные оси симметрии LJt L-, L-, L-, L- или L£1, L£2, L/3, Liu L/6. В формуле класса симметрии выписываются подряд все элементы симметрии — сначала оси, начиная с высших порядков, затем плоскости, затем центр. Так, например, символ L6 7PC означает: одна ось L6, 7 плоскостей симметрии, центр симметрии. По теореме 4 вдоль оси L6 может проходить лишь шесть плоскостей, значит, седьмая плоскость симметрии должна отличаться по расположению от остальных шести; наличие центра симметрии СA) показывает согласно теореме За, что эта плоскость перпендикулярна к оси L6 F). Аналогично читаются остальные формулы симметрии. В символике Шенфлиса применяются следующие обозначения: Сп — одна ось симметрии порядка я, Dn — одна ось симметрии порядка п и п осей 2, перпендикулярных к ней. Единственная ось всегда считается вертикальной, т. е. осью Z. Если осей несколько, то вертикальной считается ось высшего порядка. Индексы v> h и d обозначают плоскости симметрии, добавленные к вертикальной оси, соответственно: v — вертикальные, h — горизонтальные, d— диагональные. Если есть оба типа плоскостей, в символ вставляются только координатные. Буква Т означает совокупность осей симметрии кубического тетраэдра, О — совокупность осей симметрии кубического октаэдра (см. рис. 6.3). Таким образом, Сп — одна вертикальная полярная ось порядка я> Cnv — одна вертикальная полярная ось порядка п и п плоскостей симметрии, проходящих вдоль нее, Cnh — одна ось п и плоскость симметрии, перпендикулярная к ней, Dn — одна вертикальная ось порядка п и п осей 2, перпендикулярных к ней, Dnh — одна вертикальная ось порядка /г, плоскость симметрии к ней перпендикулярная и п осей симметрии 2, а также те плоскости симметрии, которые порождаются при пересечении этих элементов, например, § 6) 32 КЛАССА СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 51 О4л = 4/mmm; Sn — одна вертикальная зеркально-поворотная ось порядка п (иногда применяют знак Сп1, где i — знак инверсионной оси: S (SA)) = 2, S2 = d = I, S3 = C3h = 6, S4 = 4, Se = C3/ = 3), Sn — одна вертикальная инверсионная ось порядка п; V = D2 — сочетание трех взаимно перпендикулярных осей второго порядка, Vh = D2h — три взаимно перпендикулярные оси 2 и плоскости, перпендикулярные к каждой из этих осей; Vd = D2d — три взаимно перпендикулярные оси 2 и диагональные плоскости; Т — оси симметрии тетраэдра, Td — оси симметрии тетраэдра и диагональные плоскости, Th — оси симметрии тетраэдра и координатные плоскости; О — оси симметрии октаэдра, Oh — оси симметрии октаэдра и координатные плоскости. Наличие не указанных в символе элементов симметрии следует из теорем о сложении. Предложенная академиком А. В. Шубниковым система кристаллографических обозначений, применяемая в некоторых советских книгах и журналах, имеет такую же внутреннюю логику, как международная система, но немного отличается от нее обозначениями. По Шубникову оси и плоскости обозначаются так же, как в международной системе. Перпендикулярность обозначается не чертой, а двоеточием, параллельность — точкой. Косая черта, разделяющая два наименования осей, означает, что эти оси образуют между собой косой угол. Кроме того, черта над символом оси означает, что эта ось является зеркальной осью — в отличие от международного символа, где такая же черта означает ось инверсионную. Поэтому символ 3 по Шубникову имеет то же значение, что и международный символ б, и, наоборот, шубниковскому символу б соответствует международный символ 3. Иногда, чтобы избежать недоразумений, зеркальные оси в символике Шубникова отмечают волнистой чертой. Остальные отличия символики Шубникова можно уяснить из табл. 6.1.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Точечные группы (классы) симметрии кристаллов» з дисципліни «Основи кристалофізики»
