Дисперсионное соотношение, связывающее частоту ( и волновой вектор k нормальной моды колебания одномерной моноатомной цепочки,
представляет собой важное соотношение, встречающееся в ряде физических задач. Сразу отметим, что волны, удовлетворяющие линейной связи между частотой и волновым вектором, т.е. удовлетворяющие соотношению (/k=const, называются недиспергирующими волнами. Среда, в которой распространяются такие волны, называются также недиспергирующей. Если отношениe (/k зависит от длины волны (а значит и oт частоты), волны называются диспергирующими. В этом случае график функции (=((k) нелинеен. ИДЕАЛЬНАЯ СТРУНА. В частном случае идеальной упругой струны уравнение колебаний таково
где C11– упругая постоянная. Дисперсионная зависимость в этом случае имеет вид (=k(C11/()1/2, так что волны для нормальных мод однородной упругой струны – недисперсионны. Это означает, что последовательные моды идеальной струны (т.е. моды с длинами волн (=2l/1, 2l/2, 2l/3, 2l/4... и т.д.) создают гармоническую последовательность частот: (1, (2=2(1, (3=3(1 и т.д. Для реальной струны (например гитары или рояля) дисперсионное соотношение, вообще говоря, нелинейно и может быть приближенно описано формулой (2=(C11/()k2+(k4 , где ( – некоторая положительная константа, показывающая, что струна при возбуждении коротковолновых мод более жестка, чем при возбуждении длинноволновых. Поэтому частоты колебаний мод с длинами волн (=2l/1, 2l/2.. и т.д. не будут удовлетворять гармонической последовательности (1, (2 =2(1, (3 =3(1..., а будут выше обертонов идеальной струны (т.е. будут диезными). Можно рассмотреть струну с закрепленными на ней N грузами массой m, расположенных через равные интервалы a. Очевидно, что такая система представляет собой рассмотренный ране случай одномерной моноатомной цепочки, так что дисперсионная зависимость для этой системы имеет вид (см рис.19):
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)» з дисципліни «Фізика кристалів»
