Если какая-либо часть твердого тела действует на соседнюю с некоторой силой, то тело находится в напряженном состоянии. Механическим напряжением называется отношение поверхностной силы к площади, к которой эта сила приложена. Нормальная составляющая напряжения – это давление. При однородном напряжении силы, действующие на любой элемент тела, не зависят от положения этого элемента внутри тела. Это означает, что напряжение в любой точке тела одинаково, все части тела находятся в статическом равновесии и объемные силы и моменты равны нулю. Если рассмотреть элементарный кубический элемент объема тела, на стороны которого действуют поверхностные силы (, то составляющие этих сил (xx, (xy, (xz, (yx, (yy, (yz, (zx, (zy, (zz (См. рис.11).
Рис.11. Силы, действующие на грани единичного куба в однородно напряженном состоянии. Величины (ij – элементы тензора механического напряжения.
Из условия равновесия объема тела (xy=(yx, (zx=(xz, (yz=(zy. Более того, 9 компонент напряжения составляют симметричный тензор II ранга, т.е. связывают между собой два вектора: силу P, действующую на единичную площадку dS и нормаль l к этой площадке (рис.12): Pi=(ijlj или в подробной записи
Рис.12. Связь между силой P, действующей на грань тетраэдра, нормалью l и элементами тензора напряжения. Компоненты силы P и направляющие косинусы единичной нормали l связаны тензором механического напряжения (ij.
Частные формы тензора напряжений описывают часто встречающиеся в приложениях случаи:
двуосное напряжение , объемно-напряженной состояние , гидростатичское давление , напряжение чистого сдвига . Легко убедиться, что этот тензор, описывающий напряжение чистого сдвига, в осях, повернутых на 45о вокруг направления Z, имеет другой вид: . При приложении механического напряжения к телу в нем возникает локальная деформация, которую также можно охарактеризовать числами. Это изменения постоянных решетки (a, (b, (c и углов между ними ((, ((, ((. Этот способ физически нагляден, но неудобен, если углы между векторами трансляции a, b, c не прямые. Поэтому в общем случае можно выбрать три единичных ортогональных вектора f,g,h и следить, как они преобразуются в вектора f′, g′, h′ при малой деформации тела:
Очевидно, что (xx, (yy, (zz – удлинения соответствующих векторов f, g и h , а остальные элементы (xy, (xz,.... характеризуют изменения углов между этими векторами. Действительно, угол между векторами f′ и g′ равен (f′,g′) = (1+(xx)(yx+(xy(1+(yy)+(xz(yz = (xy+(yx . Ясно, что при чистом вращении тела, углы между векторами f′′, g′ и h′ не изменяются, т.е. для недиагональных элементов должно быть (xy=(yx и т.д.. Таким образом, деформация твердого тела может быть охарактеризована симметричной матрицей (ij. Вообще говоря, шесть компонент (ij представляют собой тензор второго ранга, физический смысл элементов которого ясен, однако связь с обычным понятием деформации не очевидна. В одномерном случае деформация в точке P характеризуется величиной e, которая определяется как предел e=lim(u/(x при условии (x(0, где (u – приращение длины отрезка (x при растяжении или сжатии (Рис.13).
Рис.13. Деформация растяжимой струны. а) до деформации, б) после деформации.
В двумерном случае деформацию в точке Р(x,y) с координатами x и y характеризуют уже четыре величины (рис.14):
e11=dux/dx, e22=duy/dy, e12=dux/dy, е21=duy/dx .
Рис.14. Деформация растяжимой плоскости: а) определение компонент деформации eij, б) выражение произвольной деформации (ij через истинную деформацию eij и чистый поворот (ij.
Первые две характеризуют величину растяжения (или сжатия) на единицу длины вдоль направлений x и y, а две другие – величину угла, на который происходит малый поворот направления x и y. Аналогично можно ввести девять компонент тензора деформации в трехмерном случае
eij=dui/dxj Необходимо отметить, что простой поворот тела при таком описании дает ненулевые компоненты тензора. В двумерном случае, например, тензор будет иметь вид . Однако, поскольку любой тензор второго ранга может быть представлен как сумма симметричного eijs и антисимметричного eijas тензоров, то
Симметричная часть этого тензора, т.e. eijs описывает деформацию и полностью совпадает с ранее введенным другим способом тензором (ij. Антисимметричная часть eijas=(ij описывает поворот тела на некоторый угол. Двумерный чертеж, соответствующий деформации совместно с поворотом, показан на рис.14. Любая точка в твердом теле может быть задана с помощью трех ортогональных единичных векторов f, g, h следующим образом: до деформации r = x(f+y(g+z(ħ , после деформации r′ = x(f′+y(g′+z(h′ , так что вектор смещения точки ( = r′–r можно записать в виде ( = u(f+v(g+w(h, где
u=(xxx+(xyy+(xzz v=(yxx+(yyy+(yzz w=(xzx+(yzy+(zzz или u i=(ij xj Это выражение показывает, что (ij действительно есть тензор второго ранга, поскольку связывает между собой компоненты двух векторов ( и r. Поскольку тензор (ij есть симметричная часть еij=(dui/dxj), то
или в развернутом виде
.
Следует иметь в виду, что иногда эту матрицу записывают без коэффициентов 1/2 при недиагональных элементах. Это т.н. "тензор" технической деформации. Нужно подчеркнуть, что матрица технической деформации не образует тензор Трансформационные свойства ее элементов более громоздки, чем у тензора второго ранга.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тензор напряжений и деформаций» з дисципліни «Фізика кристалів»
