в выражения (и.5), (и.6), (и.7), они приводятся к обобщенному виду
r3k4T4 z3 (и.9) dEz = -------- · ---------- dz . 3c3 ez – l
На поверхности планковской точки выражение
r3k4T4 -------- = 1, 3c3 а смыcл выражений в равенстве dEω/dω = , dEν/dν = . При отыскании максимума в (и.5), (и.6) соответственно как
(dEω/dω)' = 0, (dEν/dν)' = 0,
что соответствует решению уравнения ez ·(3 - z) = 3, получим общий конечный результат
(и.10) zmax = ω / kT = 2,82144,
откуда Τ / ω = / zmaxk. Этот результат означает: при повышении температуры положение максимума распределению смещается в сторону больших частот "пропорционально Т, что есть закон смещения Голицына" [20]. В свою очередь, для выражения (и.7) максимум функции получим при решении уравнения при (dEλ / dλ)' = 0, или еλ·(5 - λ) = 5, при (и.11) λmах= hс / λkТ = 4,9651. Выражение (и.11) в виде (и.12) λΤ = hc / λmaxk = 0,289 см·К известно как закон смещения Вина [21]. Наличие двух законов смещения, Голицына и Вина, в основе которых лежит одно обобщенное выражение (и.9), следствие буквального подхода к формуле Планка, которая является приближенной по отношению к формулам (и.3) и (и.4), и точно соответствует им только на краях спектра. Возникает вопрос, можно ли путем внесения какого-либо коэффициента добиться, чтобы законы смещения Голицына и Вина совместились, а формула для энергии излучения в выделенном участке спектра имела бы точное выражение. Но оказывается, что без изменения формы уравнения (и.9) этого сделать нельзя. Для выполнения выше указанных требований необходимо принять zmax = λmax = 1, тогда в правой части законов останутся только фундаментальные константы, с которыми связана система единиц КСЕ (система единиц КСЕ представляет собой набор фундаментальных констант в планковской точке). В результате перемножения ТКСЕ на rКСЕ получим (и.13) ТКСЕ·rКСЕ = с / k = 0,2289 [cм·KКСЕ]. Формула (и.13) есть закон смещения в КСЕ. Температуру, определенную по этому закону, будем обозначать в размерности КKCE (Кельвин КСЕ). Переходя от планковской точки на поверхность любого объекта, необходимо учитывать искривление пространства за счет местного потенциала тяготения и для поверхности Земли будем примерно иметь λ=2πrλ и следующую зависимость температуры от длины волны (и.14) ΤКСЕλ = hc / k. Формула (и.14) представляет собой закон смещения в КСЕ для поверхности Земли. Теперь выведем соответствующую формуле (и.13) формулу излучения в КСЕ, используя взаимосвязь между формулами (и.3), (и.4), (и.6), (и.10), (и.11). Формула излучения в КСЕ должна соответствовать следующим условиям: 1) максимум излучения должен наблюдаться при zmax = ω / kT = hν / kT = hc / λkT = 1; 2) в интервале низких частот она должна соответствовать формуле для плотности энергии излучения Рэлея - Джинса, а в интервале высоких частот - формуле Вина; 3) в основе она должна содержать максимальное значение распределения идеальных газов по скоростям (и.15) dN/N = (4υ2π1/2)·(m/2kT)3/2·e-mυ2/2kTdυ2 . Для раскрытия условия 3) приведем формулу (и.15) к виду (и.16) dN/N = π1/2·f(x)dx , в котором f(х) = x1/2е -х/2 и принято, что x = mυ2/kT, откуда υ2 = xkT/m, υ = (xkT/m)1/2, dυ = 2-1(kT/m)1/2·(xkT/m)1/2 ·x-1/2dx. Для выражения (и.16) максимум функции получим при решении уравнения (dN/dx)' = 0 при х=1, что означает (и.17) mυ2/kT = l и, следовательно, (и.18) mυ2/kT = hν/kT или mυ2 = hν . Согласно перечисленным условиям, соответствующая формула излучения энергии в КСЕ должна иметь следующий вид (и.19) Ε = a·Pl-b, где: а - общая часть функций f(Р) и f(b), то есть формул (и.3) и (и.4); b = (ω / kT) ·μ - поперечная составляющая волн, μ - коэффициент согласования, Ρ = kT / mυ2 - продольная составляющая волн. Раскрывая в (и.19) буквенные выражения, получим (и.20) dEω = (Vω3 / π2с3) · P1- ω/kT · 3/lnP·dω , или (и.21) dEν = (V8πhν3 / с3) · P1- hν/kT · 3/lnP ·dν , или (и.22) dEλ = (V8πhc / λ5) · P1- hc/λkT · 3/lnP ·dλ , или, в общем виде (и.23) dEz = (Vk4T4z3/ 3с3)·P1- z · 3/lnP ·dz . В качестве примера укажем условия, при которых из (и.21) следуют формулы: - Рэлея-Джинса при условии hν/kT >> 1 и mυ2 = hν, - Вина при условии hν/kT << 1. Далее определим, каким будет соответствующее выражение для полной плотности излучения в КСЕ. Для этого запишем выражение (и.23) в виде (и.24) dEz = (Vk4T4P / 3с3)· z3P -z · 3/lnP ·dz . Теперь, учитывая, что P -3z/lnP = e-3z и, обозначив сомножитель k4P / h3c3 через А, придем к выражению
подынтегральной функции показан на рисунке)
будем иметь следующее выражение для полной плотности излучения в КСЕ ЕКСЕ = аКСЕ´·Т4, где аКСЕ´ = (2/27)·k4 / 3с3 с точностью до безразмерного коэффициента. Уточним это выражение. Коэффициент будем определять для поверхности планковской точки в выражении ЕКСЕ = aT4V, используя следующие выражения: - энергию кванта длиной λ = 2πrλ, ЕКСЕ = c/r - температуру для λ = 2rλ, Τ = 2с / λ = c / rλk , - объем для кванта λ = 2πrλ , V = 4πrλ3/3 . Тогда получим аКСЕ=ЕКСЕ / T4V= πc / rλ(c/rλk)4·(4πrλ3/3) = 3k4 / 4π3с3. В этом случае выражение для полной плотности излучения (давления равновесного излучения) примет вид (и.26) P КСЕ = аКСЕ·Т4. В единицах плотности массы световое давление равновесного излучения составит величину (и.27) ρν =ЕКСЕ / с2 = aКСЕТКСЕ4 / с2 . Полная плотность энергии излучения Ε связана с энергетической светимостью Μ соотношением (и.28) Μ = сЕ/4 =σ ·Τ4, где σ = ca / 4 = π2k4 / 60ħ3с2 = 5.67·10-5 эрг / с·см2·град4. Формула (и.28) носит название формулы Стефана-Больцмана, а коэффициент σ - постоянной Стефана-Больцмана. Аналогично, энергетическая светимость будет иметь вид (29) МКСЕ = с·ЕКСЕ / 4 = σКСЕ σ·ТКСЕ4 , где σКСЕ = с·аКСЕ = 2.0586·10-5 эрг / с·см2·градКСЕ4. Подставляя из формулы (и.27) значение плотности реликтового излучения ρν в формулу по параметру Хаббла rH2 = 3c2 / 4ρчдG определяем электромагнитный радиус Вселенной rH2 = 3c2 / (4aKCETKCE4 / c2)G = rλ4c3 / Għ, rH = rλ2(c3 / Għ)1/2 = (λр2 / 4)·(с3 / Gh)1/2 = 1,77·1030 см , то есть результат тот же, как и в предыдущем выводе.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНКОВСКОЙ ТОЧКИ» з дисципліни «Планковська фізика»
