Поверхностное натяжение анизотропного тела— кристал- ла— различно для различных его граней; можно сказать, что оно является функцией от направления грани (т. е. ее индексов Миллера). Выясним характер этой зависимостиг). Для упрощения рассуждений будем рассматривать двумер- ную кристаллическую решетку, изображенную на рис. 77 в виде квадратной сетки. Роль кристаллических плоскостей играют при > а ~~ — — — 1 1 1 1 1 < Рис. 77 этом прямые, проходящие через узлы решетки. Пусть «о — поверхностное натяжение для грани, имеющей индекс @1). Рассмотрим грань, пересекающуюся с первой под малым углом ср. Она имеет индекс (On) с большим п. Поверх- ность кристалла, ограниченная этой гранью, имеет вид «сту- пенек» большой длины и заданной высоты, как это показано на рис. 77. (Штриховая линия—грань A6).) Для определенно- сти мы считаем высоту равной периоду решетки а. Тогда на единицу длины приходится 1/(па) — ступенек. Наличие каждой ступеньки приводит к появлению некоторой добавочной поверх- ностной энергии. Обозначим ее буквой /3. При достаточно боль- шом п ступеньки расположены настолько далеко друг от дру- га, что их взаимодействием можно пренебречь. Добавочная по сравнению с ао часть поверхностного натяжения определится тогда просто произведением /3 на число ступенек, приходящихся на единицу длины: /3/(па). Если ввести угол <р, образуемый гранью (In) с гранью @1), то при достаточно больших п имеем ср ~ 1/п, так что поверх- ностное натяжение грани (In) можно написать в виде а = aQ + (/3/а)ср. При стремлении ср к нулю (т. е. п к бесконечности) отноше- ние (а — ао)/ср стремится, следовательно, к конечному пределу, Подробнее см.: Ландау Л. Д. О равновесной форме кристаллов.// Сбор- ник, посвященный семидесятилетию акад. А. Ф. Иоффе.— М.: Изд-во АН СССР, 1950.-С. 44; Ландау Л. Д.//Собрание трудов.— М.: Наука, 1969.— Т. 2, статья 70. 594 ПОВЕРХНОСТИ ГЛ. XV который можно рассматривать как производную da /3 dip а Рассмотрим теперь грань с индексами (In), наклоненную к грани @1) в обратную сторону, т.е. с отрицательным п. По- 1 скольку число ступенек равно теперь те же рассуждения \п\а дадут для изменения поверхностного натяжения величину -^—, \п\а так что /5 а = «о (р а и производная будет равна da _ /3 dip a Таким образом, поверхностное натяжение является весьма своеобразной функцией направления грани. С одной стороны, разность значений а для двух кристаллических плоскостей со сколь угодно близкими направлениями тоже сколь угодно ма- ла, т. е. поверхностное натяжение может быть представлено в виде непрерывной функции направления грани. С другой сто- роны, эта функция имеет при каждом значении ср две различ- ные производные — в направлении увеличения и в направлении уменьшения угла ср. Предположим, что нам известно поверхностное натяжение как функция направления граней. Возникает вопрос, как с по- мощью этой функции определить равновесную форму (огранку) кристалла; подчеркнем, что наблюдаемая в обычных условиях огранка определяется условиями роста кристалла и отнюдь не является равновесной. Равновесная форма определяется услови- ем минимальности свободной энергии F (при заданных Т, N и объеме V кристалла), или, что то же, условием минимальности ее поверхностной части. Последняя равна / Fs = ф a cfe, где интеграл берется по всей поверхности кристалла (для изо- тропного тела а = const, Fs = as и равновесная форма опреде- ляется просто условием минимальности полной площади s, т. е. является сферой). Пусть z = z(x, у) — уравнение поверхности кристалла, и вве- дем обозначения _ ch _ ch Р ~ дх' q ~ ду § 155 ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ 595 для производных, определяющих направление поверхности в каждой ее точке; а может быть выражено в виде их функции а = a(p,q). Равновесная форма определится условием /¦ Р2 + q2dx dy = min A55.1) при дополнительном условии z dx dy = const A55.2) (постоянство объема). Эта вариационная задача приводит к дифференциальному уравнению Ав/ + Ав/=2Л, A55.3) дхдр dydq ' V J где введено обозначение f(p, ?) = «(Р, q) \/1+Р2 + Я2, A55.4) а А —постоянная. Далее имеем по определению dz = p dx + q dy; вводя вспомо- гательную функцию ( = рх + qy — z, A55.5) имеем для нее d( = x dp + у dq или х = ~, у = ~, A55.6) причем ( рассматривается здесь как функция от р и q. Пере- писав производные по ж и у в A55.3) в виде якобианов, умно- жив обе части равенства на d(x,y))/d(p,q) и воспользовав- шись A55.6), получим уравнение Это уравнение имеет интеграл / = Л( = \(px + qy- z), ИЛИ Но это есть не что иное, как уравнение огибающей поверхности семейства плоскостей рх + qy — z = -a(p, q) y/l + p2 + q2 A55.8) Л (где ]9, q играют роль параметров). 596 ПОВЕРХНОСТИ ГЛ. XV Полученный результат может быть сформулирован в ви- де следующего геометрического построения. На каждом ра- диусе-векторе, проведенном из начала координат, откладыва- ем отрезок, длина которого пропорциональна ct(p, g), где р, q определяют направление радиуса-вектора1). Через концы от- резков проводятся перпендикулярные к ним плоскости; огибаю- щая этих плоскостей и дает равновесную форму кристалла {Г.В.Вульф). Можно показать (см. цитированную на с. 593 статью), что своеобразный характер функции а, описанный в начале пара- графа, может привести к тому, что определяемая этим правилом равновесная поверхность кристалла будет содержать плоские участки, соответствующие кристаллическим плоскостям всех на- правлений. Величина плоских участков быстро уменьшается с увеличением индексов Миллера. Практически это означает, что равновесная поверхность будет состоять из небольшого числа плоских участков, которые, однако, не пересекаются под угла- ми, а соединены закругленными участками.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поверхностное натяжение кристаллов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Подробнее см.: Ландау Л. Д. О равновесной форме кристаллов.// Сбор- 