Невозможность теоретического определения критических индексов в общем виде придает особый интерес рассмотрению простой модели, допускающей точное аналитическое решение задачи о фазовом переходе второго рода. Это — определенная модель двумерной решетки, для которой задача о фазовом пе- реходе была впервые решена Онсагером (L. Onsager, 1944):). Рассматриваемая модель представляет собой плоскую ква- дратную решетку, состоящую из N узлов, в каждом из кото- рых находится «диполь» с осью, перпендикулярной к плоскости решетки. Диполь может иметь две противоположные ориента- ции, так что общее число возможных конфигураций диполей в решетке равно 2N 2) . Для описания различных конфигура- ций поступим следующим образом. С каждым узлом решетки (с целочисленными координатами /с, /) свяжем переменную <т/^, х) Первоначальный метод, примененный Онсагером, был чрезвычайно сло- жен. В дальнейшем рядом авторов решение задачи было упрощено. Излага- емый ниже метод (частично использующий некоторые идеи метода Каца и Уорда (М. Кае, J. С. Ward, 1952)) принадлежит Н. В. Вдовиченко A964). 2) Эта модель известна в литературе как модель Изинга; фактически она была впервые введена Ленцем (W. Lenz, 1920), а для одномерного случая (в котором фазовый переход отсутствует) исследована Изингом (Е. Ising, 1925). 568 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV принимающую два значения ±1, соответствующие двум возмож- ным ориентациям диполя. Если ограничиться только учетом взаимодействия между соседними диполями, то энергия конфи- гурации может быть записана в виде L Е(а) = -J ^2 (?klOkl+i + VklVk+il) A51.1) к,l=i (L — число узлов в ребре решетки1) , которую представляем се- бе в виде большого квадрата; N = L2). Параметр J определя- ет энергию взаимодействия пары соседних диполей, равную — J и +J соответственно для одинаковых и противоположных ори- ентации диполей. Будем полагать, что J > 0. Тогда наимень- шей энергией обладает «полностью поляризованная» (упорядо- ченная) конфигурация, в которой все диполи ориентированы в одну сторону. Эта конфигурация осуществляться при абсолют- ном нуле, а с увеличением температуры степень упорядочен- ности убывает, обращаясь в нуль в точке перехода, когда обе ориентации каждого диполя становятся равновероятными. Определение термодинамических величин требует вычисле- ния статистической суммы z = Yl e~E{(J)IT = взятой по всем 2^ возможным конфигурациям (мы обозначи- ли в = J/T). Заметим, что в чем легко убедиться, разложив обе части равенства по степе- ням в и учитывая, что все <т^ = 1. Поэтому выражение A51.2) можно переписать в виде Z = (l-x2)~NS, A51.3) где - хаыак+ц) A51.4) (а) к,1=1 и введено обозначение х = th#. ) Число L предполагается, разумеется, макроскопически большим, и вез- де в дальнейшем краевыми эффектами (связанными с особыми свойствами узлов вблизи краев решетки) пренебрегается. 151 ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД В ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ 569 Под знаком суммы в A51.4) стоит полином по переменным х и ок\. Поскольку каждый узел (к,1) связан с четырьмя соседя- ми, то каждое ок\ может встретиться в полиноме в степенях от нулевой до четвертой. После суммирования по всем ок\ = =Ы члены, содержащие нечетные степени а^и обратятся в нуль, так что ненулевой вклад дадут только члены, содержащие aki в сте- \ пенях 0, 2 и 4. Поскольку , = о\ = а = = о\{ = = 1, то каждый член ^ \{ ^ полинома, содержащий все переменные aki в четных степенях, даст вклад в сумму, пропорциональный полному числу конфи- гураций 2^. kl к + 1,1 • 4 • 1,1-1 к+1,1 к-1,1 к-1,1 -1 -2 к ,1-1 к+1,1-1 к,1-2 . . . г- к-2,1-1 к-1,1-1 к+1,1 t к-1,1-2 к-2,1-3 | к-1,1-3 Рис. 71 Каждому члену полинома можно однозначно поставить в со- ответствие совокупность линий («связей»), соединяющих неко- торые пары соседних узлов решетки. Так, изображенным на рис. 71 графикам соответствуют члены полинома: a) 2l б) Х aklak+l,lak+l,l-lak,l-lak,l-2ak-l,l-lak-l,l-2i \ 10 2 2 2 22 2 2 2 в) х aklak+l,lak+l,l-lak,l-lak-2,l-lak-l,l-lak-l,l-2ak-l,l-3X ХсГк-2,1-Зак-2,1-2' Каждой линии графика сопоставляется множитель ж, а каждому ее концу — множитель ок\. Тот факт, что отличный от нуля вклад в статистическую сумму дают лишь члены полинома, содержащие все ок\ в четных степенях, геометрически означает, что в каждом узле графика должны оканчиваться либо две, либо четыре связи. Другими словами, суммирование ведется только по замкнутым графикам, причем допускается самопересечение в узлах (как в узле (fc, / — 1) на рис. 71 б). Таким образом, сумма S может быть представлена в следую- щем виде: м ^-^ S 2NJ2r A51-5) 570 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА где gr — число замкнутых графиков, составленных из (четного) числа г связей; при этом всякий многосвязный график (напри- мер, график рис. 71 в) считается за один. Дальнейший расчет состоит из двух этапов: 1) сумма по гра- фикам указанного вида преобразуется в сумму по всем возмож- ным замкнутым петлям, 2) получающаяся сумма вычисляется путем сведения к задаче о «случайных блужданиях» точки по решетке. Будем рассматривать каждый график как совокупность од- ной или нескольких замкнутых петель. Для графиков без са- мопересечений такое представление самоочевидно; так, график рис. 71 в есть совокупность двух петель. Для графиков же с са- мопересечениями такое разбиение неоднозначно; одна и та же фигура может состоять из различного числа петель в зависимо- сти от способа ее построения. Это иллюстрируется рис. 72, по- казывающим три способа представления графика рис. 71 б в ви- де одной или двух петель без самопересечений или в виде одной петли с самопересечением. Аналогичным образом может быть пройдено тремя способами каждое пересечение и на более слож- ных графиках. Легко видеть, что сумму A51.5) можно распространить по всем возможным совокупностям петель, если при подсчете чи- сел графиков gr каждый из них брать со знаком (—1)п, где п — полное число самопересечений в петлях данной совокупности. Действительно, при таком подсчете все лишние члены суммы автоматически выпадают. Так, три графика рис. 72 войдут со- ответственно со знаком +, +, —, так что два из них взаимно со- кратятся и останется, как и следовало, всего однократный вклад Рис. 72 Рис. 73 в сумму. В новой сумме будут фигурировать также графики с «повторяющимися связями», простейший пример которых изоб- ражен на рис. 73 а. Эти графики относятся к числу недопусти- мых (в некоторых узлах сходится нечетное число связей — три), но, как и следовало, из суммы они фактически выпадают: при построении соответствующих такому графику петель каждая общая связь может быть пройдена двумя способами — без пе- ресечения (как на рис.73 5) или с самопересечением (рис. 73 а), § 151 ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД В ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ 571 причем получающиеся совокупности петель войдут в сумму с противоположными знаками и взаимно сократятся. Далее мож- но избавиться от необходимости учитывать в явном виде число пересечений, если воспользоваться известным геометрическим фактом: полный угол поворота касательной при обходе плоской замкнутой петли равен 2тг(/ + 1), где / — целое (положительное или отрицательное) число, четность которого совпадает с чет- ностью числа v самопересечений петли. Поэтому если каждому узлу в петле (с углом поворота в нем ср = 0, =Ьтг/2) сопоста- вить множитель е1{р/2, то после обхода всей петли произведение этих множителей даст (—1)"+1. Для совокупности же несколь- ких (s) петель мы получим в результате множитель (—l)n+s, где Так Таким образом, можно не учитывать число пересечений, ес- ли брать каждый узел в петле с весом ег(р/2 и для всего графика (совокупность петель) ввести еще множитель (—l)s (для пога- шения такого же множителя в (—l)n+s). Обозначим через fr сумму по всем одиночным петлям дли- ны г (т.е. состоящим из г связей), причем каждая петля входит с множителем ei{p'2 на каждый узел в ней. Тогда сумма по всем парам петель с общим числом связей г будет равна — V f f 2i /- JriJr2 (множитель 1/2! учитывает, что при перестановке индексов ri, Г2 получается одна и та же пара петель), и аналогично для троек и т. д. петель. Таким образом, сумма S принимает вид Я — & — Поскольку в S входят совокупности петель с любой общей длиной г\ + Г2 + ..., то во внутренней сумме числа г\, Г2 ... пробегают независимо все значения от 1 до оо1) . Поэтому ( r=l 1) Петли с числом узлов больше N все равно не дают вклада в сумму, так как непременно содержат повторяющиеся связи. 572 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV и S приводится к виду ОО E>) A51.6) г=1 На этом заканчивается первый этап вычисления. Для дальнейшего удобно связать с каждым узлом решетки четыре возможных направления выхода из нее, перенумеровав их специальным индексом v = 1,2,3,4, скажем по правилу 2 t 3<- • -> 1 Введем вспомогательную величину Wr(kyl, v) — сумму по всем возможным переходам с длиной г из некоторого заданного исходного узла &о, /о> Щ в узел /с, /, v (каждая связь входит, как везде, с множителем ег(^/2, где (^—изменение направления при переходе к следующей связи); при этом последний шаг, приводя- щий в узел /с, /, z/, не должен происходить со стороны, в которую направлена стрелка и1). При таком определении И^г(&о,/(Ь^о) есть сумма по всем петлям, выходящим из точки &о, /о в напра- влении щ и возвращающимся в эту же точку. Очевидно, что r(fco,*o,"o). A51-7) Действительно, справа и слева стоит сумма по всем одиночным петлям, нов ^ Wr каждая петля входит 2г раз, поскольку она может проходиться в двух противоположных направлениях и относиться к каждому из своих г узлов в качестве исходного2) . Подставляя A51.7) в A51.6), находим J2 ?] A51- г=1 Фактически Wr(k, /, v) зависят, конечно, лишь, от разностей к —ко, I — Iq. 2) В изложенном выводе формулы A51.8) имеется существенный пробел. Дело в том, что произведенный подсчет числа петель в сумме A51.6) спра- ведлив не для любых петель. (Например, пара из двух тождественных пе- тель входит в сумму не два, а один раз.) Аналогично, не для всех петель справедливо утверждение, что каждая входит 2г раз в A51.7). Возникаю- щие «аномальные» члены сокращаются, однако, в окончательном выраже- нии A51.8). Полное доказательство см.: ShermanS.//Journ. Math. Phys.— 1962.- V. l.-P. 202; P. 1213. - Примеч. ред. § 151 ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД В ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ 573 Из определения Wr(k,l,v) вытекают следующие рекуррент- ные соотношения: гтг Wr+I(k,l,l) = Wr(k - 1,1,1) + e~^Wr{k,l - 1,2) +0+ гтг ijL + e~*Wr(k,l +1,4), Wr+i(k, I,2) = e 4 Wr(k - 1,I,1) + Wr(k, I - 1,2)+ гтг + e~^Wr(k +1,1,3)+0, A51.9) гтг Wr+i(k,l,3) = 0 + e^Wr{k,l - 1,2) + Wr{k + 1,1,3)+ гтг _^ + e~^Wr(k,l +1,4), Wr+I(k,l,4) = e 4 Wr(k - 1,1,1) +0+ Способ составления этих соотношений очевиден; так, в точку /с, /, 1 мож:но попасть, сделав последний (г + 1)-й шаг слева, снизу или сверху, но не справа; коэффициенты при Wr возникают от множителей ei{p'2. Обозначим через Л матрицу коэффициентов системы уравне- ний A51.9) (со всеми /с, /), написанных в виде Способ составления этих уравнений позволяет сопоставить этой матрице наглядный образ точки, «блуждающей» шаг за шагом по решетке с «вероятностью перехода» за один шаг из одного узла в другой, равной соответствующему элементу матрицы Л; фактически ее элементы отличны от нуля лишь для изменения к или / на 0 или ±1, т. е. за каждый шаг точка проходит лишь од- ну связь. Очевидно, что «вероятность перехода» длины г будет определяться матрицей Лг. В частности, диагональные компо- ненты этой матрицы дают «вероятность» возвращения точки в исходный узел после прохождения петли длины г, т. е. совпадают с Wr(fco,Z(b^o)- Поэтому 574 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА Сравнивая с A51.7), находим SpA i где A^ — собственные значения матрицы Л. Подставив это вы- ражение в A51.8) и меняя порядок суммирования по i и по г, получим i r=l ~ A51.10) Матрица Л легко диагонализуется относительно индексов /с, / путем перехода к другому представлению с помощью преобразо- вания Фурье: ь Wr(p,q,v) = ^2 к,l=o После перехода в обеих частях уравнений A51.9) к компонентам Фурье каждое из них будет содержать Wr(p,q,v) лишь с одина- ковыми индексами р, q, т. е. матрица Л диагональна по р, q. Для заданных р, q ее элементы равны ( 0 где а = е™/\ е = е2™'ь. Для заданных р, q простое вычисление дает 4 - х\) = Det Eyyi - хКуу>) = г=1 = A + х2J - 2ЖA - х2) (cos ^ + cos HZE«). \ 1j Ij J § 151 ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД В ДВУМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ 575 Отсюда, согласно A51.3) и A51.10), находим окончательно ста- тистическую сумму: Z = 2N(l-x2)-Nx Т г / 1 /2 ПГ/1 i 2\2 п /л 2\ ( 2тгр 2тга\! / ,лглллХ A + X ) — 2х{1 — X ) ( COS —- + COS —- ) . A51.11) L \ 1j 1j / А p,q=0 Термодинамический потенциалх) : Ф = -TlnZ = -NTln2 + NTln(l - х2)- L или, переходя от суммирования к интегрированию ф = _7VTln2 + TVTln (I - х2)- 2тг —-^ / / 1п[A + х2J — 2жA — х2)(cos ш\ + coso;2)]rfa;ida;2 2B7Г) JJ A51.12) (напомним, что х = th (J/T)). Обратимся к исследованию этого выражения. Функция Ф(Т) имеет особую точку при том значении ж, при котором аргу- мент логарифма под знаком интеграла может обратиться в нуль. Как функция от cji, 002 этот аргумент минимален при cosc^i = = cos 6^2 = 1, когда он равен A + х2J - 4жA - х2) = (х2 + 2х- IJ. Это выражение имеет минимум, в котором оно обращается в нуль лишь при одном (положительном) значении х = хс = д/2 — 1; соответствующая температура Тс (th — = хс) и является точкой V J-C ' фазового перехода. Разложение Ф(?) по степеням t = Т — Тс вблизи точки перехо- да содержит наряду с регулярной частью также и особый член. Нас интересует здесь лишь последний (регулярную же часть за- меним просто ее значением при t = 0). Для выяснения его вида 1) В рассматриваемой модели температура влияет только на упорядочен- ность ориентации диполей, но не на расстояния между ними («коэффициент теплового расширения» решетки равен нулю). В таком случае безразлично, говорить ли о свободной энергии или о термодинамическом потенциале. 576 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV разлагаем аргумент логарифма в A51.12) вблизи его минимума по степеням o;i, 002 и ?, после чего интеграл принимает вид 2тг In \c\t + C2(cj1 + 002)] doo\ doo2-, 0 где ci, C2 — постоянные. Произведя интегрирование, найдем окончательно, что вблизи точки перехода термодинамический потенциал имеет вид Ф « а + -Ь(Т - ТсJ In \Т - Тс|, A51.13) где а, 6— снова постоянные (причем Ь > 0). Сам потенциал непрерывен в точке перехода, а теплоемкость обращается в бес- конечность по закону С « -ЪТСЪЫ \Т - Tel A51.14) симметричному по обе стороны точки перехода. Роль параметра порядка г/ в рассмотренной модели играет средний дипольный момент в узле (спонтанная поляризация ре- шетки), отличный от нуля ниже точки перехода и равный нулю выше ее. Температурная зависимость этой величины тоже мо- жет быть определена; вблизи точки перехода параметр порядка стремится к нулю по закону г/ = const • (Тс - ТI/8 A51.15) (L. Onsager, 1947). Корреляционная функция определяется как среднее значе- ние произведения флуктуации дипольного момента в двух узлах решетки. Корреляционный радиус оказывается стремящимся к бесконечности при Т —>> Тс по закону 1/|Т — Тс|, а в самой точ- ке Т = Тс корреляционная функция убывает с расстоянием по закону (AaklAamn) 00 [(к - шJ + (/ - пJ]/8. Эти результаты, а также результаты решения задачи о свойст- вах той же модели во внешнем поле показывают, что ее поведе- ние вблизи точки фазового перехода удовлетворяет требованиям гипотезы о масштабной инвариантности. При этом критические индексы имеют следующие значения: а = 0, /3 = 1/8, 7 = 7/4. & = 15, е = 0, я/1. л \ мл A5L16) (индекс ( определен согласно A48.7) с d = 2I).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Фазовый переход второго рода в двумерной решетке» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Фактически Wr(k, /, v) зависят, конечно, лишь, от разностей к —ко, I — Iq. 