Существующая теория фазовых переходов второго рода основана на некоторых хотя и не доказанных строго, но вполне правдоподобных предположениях. Она опирается, конечно, и на подтверждение этих предположений эмпирическими данны- ми, а также результатами численных расчетов на определенных простых моделях. Эти данные дают основание считать, что при Т —>• Тс всегда обращается в бесконечность производная дСр/дТ, а во многих случаях—и сама теплоемкость Ср. Уже отсюда можно сделать ряд заключений о поведении некоторых других термодинами- ческих величин. Сделаем это в предположении обращения в бес- конечность самой теплоемкости (А. В. Pippard, 1956). Обращение Ср = T(dS/dT)p в бесконечность означает, что энтропия тела может быть представлена в виде S = S(T,P-PC(T)) (где Р = РС(Т) — уравнение кривой точек фазового перехода в плоскости РТ), причем производная этой функции по ее вто- рому аргументу стремится при Р — Рс —>> 0 к бесконечности. Обозначив дифференцирование по этому аргументу штрихом и оставляя только расходящиеся члены, имеем ds\ с/^? _(ЁУЛ = (Ё^Л = Qf дт)р dr' \дт)р \дР)т ' откуда Ср = ТС^(—) при Т^ТС, A48.1) т. е. коэффициент теплового расширения обращается в беско- нечность по тому же закону, что и Ср. Как легко заметить, произведенный вывод состоит в прирав- нивании нулю расходящейся части производной от S вдоль кри- вой точек перехода. Естественно поэтому, что формула A48.1) совпадает по форме с равенством A43.10) (полученным путем дифференцирования вдоль той же кривой равенства AS = 0), отличаясь от него лишь отсутствием знака А. Поэтому еще одно соотношение можно сразу написать по аналогии с A43.9): fdV\ _fdV\ dTc_CP(dTc\2 ( т. е. изотермическая сжимаемость тоже обращается в бесконеч- ность (адиабатическая же сжимаемость в силу A6.14) остает- ся конечной). Что касается теплоемкости Cv, то она остает- ся конечной, причем из A43.14) видно, что в точке перехода § 148 КРИТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ 551 она не имеет также и скачка: поскольку правая часть равен- ства A43.14) равна нулю ввиду бесконечности (дУ/дР)т-) то и ACV = О1) . То же самое относится и к производной (дР'/'дТ)у, причем подстановка A48.2) в A6.10) показывает, что на линии перехода /ар. ,р ( —) =^. A48.3) \dTJv dT V ; Подчеркнем, что изложенные результаты существенно свя- заны с тем, что точки фазового перехода второго рода заполня- ют целую линию на плоскости РТ (причем наклон этой линии конечен). Представим температурную зависимость теплоемкости во флуктуационной области в виде Ср оо \t\~a A48.4) (где снова t = Т — Тс). Мы увидим ниже в этом параграфе, что существуют основания считать значения показателя а одина- ковыми по обе стороны точки перехода (и то же самое отно- сится к другим введенным ниже показателям). Коэффициенты же пропорциональности в законе A48.4) с двух сторон, конечно, различны. Поскольку количество тепла / Ср dT во всяком случае долж- но быть конечным, то заведомо а < 1. Если стремится к беско- нечности не сама теплоемкость, а лишь дСр/дТ, то — 1 < а < 0; выражение A48.4) определяет тогда лишь сингулярную часть теплоемкости: Ср = Сро + Cp\\t\~a. Закон стремления к нулю равновесного значения параметра порядка в несимметричной фазе запишем как г/ (X) (-*)?, /3 > 0. A48.5) По самому своему определению показатель /3 относится только к несимметричной фазе2) . Для описания же свойств самих флуктуации параметра г/ вводятся показатель z^, определяющий температурную зависи- мость корреляционного радиуса: гсооЩ-", и>0 A48.6) ) Невозможность обращения Cv в бесконечность на линии перехода оче- видна из того, что это привело бы к равенству Cv = T(dVc/dTJ(dP/dV)T (ср. A43.14)), заведомо невозможному ввиду положительности Cv и отри- цательности (дР/дУ)т- Теплоемкость Cv имеет, однако, бесконечную про- изводную на линии перехода (см. задачу). 2)Для определенности будем считать здесь и везде ниже, что несимме- тричной фазе отвечают температуры t < 0. 552 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV и показатель ?, определяющий закон убывания корреляционной функции с расстоянием при t = 0: G® cor-^-2+c\ A48.7) где d— размерность пространства (d = 3 для обычных тел). За- пись A48.7) в таком виде имеет целью дать определение, удоб- ное также и для фазовых переходов второго рода в двумерных системах (d = 2). Закон A48.7) относится и к отличным от нуля значениям \t\ <С Тс, но лишь для расстояний г ^ гс. Показатели степеней в законах A48.4)—A48.7) называют кри- тическими индексами. Следует подчеркнуть, что степень точ- ности, с которой связан дальнейший вывод соотношений между критическими индексами, не позволил бы различать логарифми- ческие множители на фоне степенных. В этом смысле, например, нулевой показатель может отвечать как стремлению величины к постоянному пределу, так и к ее логарифмическому возрастанию. Еще ряд индексов вводится для описания свойств тела во флуктуационной области при наличии внешнего поля h. При этом следует различать области полей, являющихся «слабыми» или «сильными» в смысле, указанном в конце § 144: h <С ht или h ^> ht, где ht — значение поля, при котором индуцированный полем параметр г/инд ~ \h становится того же порядка, что и характерная величина параметра спонтанного порядка T]cu(t). К области слабых полей относится индекс 7> определяющий закон изменения восприимчивости: Xoo\t\-\ 7>0. A48.8) К этой же области можно отнести и введенные выше индексы: законы A48.4)-A48.6), определенные для нулевого поля, отно- сятся, конечно, и к предельному случаю слабых полей. Для обратного же случая сильных полей введем критические индексы, определяющие зависимость термодинамических вели- чин и корреляционного радиуса от поля: Ср оо h~\ A48.9) r/cx)/i1^(E>0), A48.10) rcooh-^(/j >0) A48.11) (для определенности полагаем, что h > ОI) . Универсальность предельных законов поведения вещества во флуктуационной области вблизи точки фазового перехода Теории Ландау отвечают следующие значения критических индексов: а = 0, /3 = 1/2, 6 = 3,е = 0,» = 1/3, v = 1/2, С = 0. § 148 КРИТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ 553 второго рода в том смысле, о котором шла речь в предыдущем параграфе, означает такую же универсальность критических индексов. Так, следует ожидать, что их значения одинаковы для всех переходов с изменением симметрии, описывающимся всего одним параметром порядка. Критические индексы связаны друг с другом рядом точных соотношений. Часть из них является почти прямым следствием определений различных индексов; с вывода этих соотношений мы и начнем. В § 144 было указано, что включение внешнего поля h размы- вает фазовый переход по некоторому температурному интерва- лу. Величину этого интервала t можно оценить по упомянутому выше условию г/инд(/г) ~ Vcu(t), понимая его теперь как условие для t при заданном h. Согласно определениям A48.5) и A48.8) имеем 7/сп СО 1*^, 7/инд = XhO0 /ф|~7, и приравнивание обеих величин дает Itl^7 ex) h. A48.12) С другой стороны, тот же интервал размытия можно оценить из требования, чтобы полевая часть термодинамического потенци- ала (—Vr)h) совпадала по порядку величины с тепловым членом; последний: ~ t2Cp, поскольку Ср = —Тд2Ф/дТ2. Отсюда нахо- дим: \t\2~a~P со /г, и, выразив h через t из A48.12), приходим к РаВеНСТВУ а + 2/3 + 7 = 2 A48.13) (J. W.Essam, M. E. Fisher, 1963). Далее воспользуемся очевидным обстоятельством, что на краю области размытости перехода (т.е. при условии A48.12)) можно с равным правом выражать каждую термодинамическую величину через температуру t или через поле h. Поэтому, на- пример, имеем здесь г/ ex) |t|0 ex) h1'5, а выразив h через t с помощью A48.12), находим равенство /35 = 13 + 7 A48.14) (В. Widom, 1964). Таким же способом, исходя из двух предста- влений теплоемкости Ср, найдем 6(/3 + 7) =а. A48.15) Равенства A48.14), A48.15) связывают друг с другом индек- сы, определяющие температурную зависимость термодинамиче- ских величин в слабых полях и их зависимость от h в сильных полях. 554 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV Аналогичное равенство получается тем же способом для ин- дексов, определяющих поведение корреляционного радиуса1) : 7) = у. A48.16) Наконец, еще одно соотношение можно получить путем оцен- ки выражений, стоящих в обеих сторонах формулы A46.13). Со- гласно A46.2) и определению A48.8) средний квадрат флуктуа- ции в заданном объеме V: 1-7 Интеграл же от корреляционной функции определяется об- ластью пространства ~ г^, в которой эта функция существенно отлична от нуля и согласно определению A48.7), ее порядок ве- личины со гс . Поэтому величина интеграла (в rf-мерном пространстве) Сравнение обоих выражений приводит к равенству «/B-0=7- A48-17) Таким образом, мы получили пять соотношений, связываю- щих между собой восемь индексов. Эти соотношения позволяют, следовательно, выразить все индексы всего через три независи- мых. Отсюда можно, в частности, сделать указывавшееся уже за- ключение об одинаковости значений «температурных» индек- сов а, 7? v п0 °бе стороны точки перехода. Действительно, если бы, например, j было различным для t > 0 и t < 0, то из A48.14) следовало бы, что и индекс S зависит от знака t. Между тем этот индекс относится к сильным полям /г, удовлетворяющим лишь условию h ^> /г^, не зависящему от знака ?, а потому и сам не может зависеть от этого знака (то же самое относит- ся и к двум другим «полевым» индексам е и /j,). Из соотноше- ний A48.13) и A48.16) следует затем независимость от знака t также и индексов аи1/. Полученные результаты позволяют сделать некоторые за- ключения о термодинамических функциях системы при произ- вольном соотношении между t и h. Продемонстрируем это на Отметим, что из A48.14)—A48.16) очевидным образом следуют равен- ства /Зде = а, /35/1 = v, ev — a/i. § 148 КРИТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ 555 примере функции r/(t, К). Представим эту функцию в виде (при заданном Р). Выбор первого аргумента функции / дикту- ется условием A48.12), разделяющим случаи слабых и сильных полей (причем, согласно A48.14), заменено /3 + 7 = $$)'•> этот ар- гумент пробегает все значения от малых до больших. Аргумент же t вблизи точки перехода всегда мал, и для получения глав- ного члена в функции r](t,h) надо положить его равным нулю. Таким образом, приходим к выражению h>0, A48.18) где / — функция уже только одного аргумента х = / Выражение A48.18) написано для h > 0; ввиду симметрии системы по отношению к одновременному изменению знака h и г/, формула для h < 0 получается из A48.18) просто заме- ной h—> —/г, т\ -Л —т\. В сильных полях (ж « 1) должен получаться предельный закон A48.10); это значит, что f(x) = const при х -> 0. A48.19) Более того, при h Ф 0 параметр порядка отличен от нуля как при t > 0, так и при t < 0, и точка t = 0 физически ничем не замечательна; это значит, что функция f(x) разлагается по целым степеням х. В слабых полях при t < 0 параметр порядка следует зако- ну A48.5), а при t > 0 должно быть г/ = xh с X из A48.8); из этих требований находим, что f(x) со (—х)Р при х —)> —оо; f(x) со ж~7 при х —)> оо. A48.20) Понятие слабого поля предполагает t Ф 0. При заданном отлич- ном от нуля значении t нулевое значение поля не является особой точкой термодинамических функций. Поэтому функция r/(t, К) при t ф 0 разложима по целым степеням переменной h (причем это разложение различно для t > 0 и t < 0). Естественная фор- мулировка этого свойства, однако, требовала бы записи r/(t, h) не в виде A48.18), а в терминах функции переменной h/t^5. Аналогичные соображения можно применить и к корре- ляционной функции флуктуации параметра порядка. Так, в отсутствие поля она зависит, помимо расстояния г, еще от 556 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. XIV параметра t. Вблизи точки перехода, однако, корреляционная функция G(r;t) может быть представлена в виде ^, A48.21) т.е. с помощью функции всего одной переменной х = rtv. При х —>• 0 эта функция стремится к постоянному пределу (в соот- ветствии с определением A48.7)), а при х —>• оо экспоненциаль- но затухает, причем корреляционный радиус в зависимости от температуры следует закону A48.6).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Критические индексы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Теории Ландау отвечают следующие значения критических индексов: 