Трансляционные периоды решетки можно изображать век- торами а, направленными вдоль соответствующего параллель- ного переноса и по величине равными длине переноса. Кри- сталлическая решетка обладает бесконечным множеством раз- личных трансляционных периодов. Однако не все эти периоды § 129 РЕШЕТКА БРАВЭ 459 независимы друг от друга. Всегда можно выбрать в качестве основных три (соответственно числу измерений пространства) периода, не лежащих в одной плоскости. Тогда всякий другой период можно будет представить в виде геометрической суммы трех векторов, из которых каждый является целым кратным од- ного из основных периодов. Если основные периоды обозначать через ai, a2, аз, то произвольный период а будет иметь вид а = mai + n2a2 + п3а3, A29.1) где ni, П2, пз —любые целые положительные или отрицательные числа, включая нуль. Выбор основных периодов отнюдь не однозначен. Напро- тив, их можно выбрать бесчисленным множеством способов. Пусть ai, &2 аз — основные периоды; введем вместо них другие периоды а^, а^, а^ согласно формулам (i,A = 1,2,3), A29.2) где otik — некоторые целые числа. Если новые периоды а^ так- же являются основными, то, в частности, прежние периоды а^ должны выражаться через а^ в виде линейных функций с це- лыми коэффициентами; тогда и всякий другой период решетки сможет быть выражен через а^. Другими словами, если выра- зить из A29.2) щ через а^, то мы должны получить формулы типа S-i = Ylfiik^k опять с целыми /3^. Но, как известно, опре- делитель \Pik\ равен обратной величине определителя |а^|. По- скольку оба должны быть целыми, отсюда следует, что необхо- димым и достаточным условием того, чтобы а^ были основными периодами, является равенство Ы = ±1. A29.3) Выберем какой-нибудь из узлов решетки и отложим от него три основных периода. Построенный на этих трех векторах па- раллелепипед называется элементарной ячейкой решетки. Вся решетка может быть тогда представлена в виде совокупности та- ких правильно уложенных параллелепипедов. Все элементарные ячейки в точности одинаковы по своим свойствам; они имеют одинаковую форму и объем, и в каждой из них находится оди- наковое число одинаково расположенных атомов каждого рода. Во всех вершинах элементарных ячеек находятся, очевид- но, одинаковые атомы. Все эти вершины представляют собой, другими словами, эквивалентные узлы, причем каждый из них может быть совмещен с любым другим посредством параллель- ного переноса на один из периодов решетки. Совокупность всех 460 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII таких эквивалентных узлов, которые могут быть совмещены друг с другом путем параллельного переноса, образует так называемую решетку Бравэ кристалла. Очевидно, что решетка Бравэ не включает в себя всех вообще узлов кристаллической решетки. Больше того, она даже не включает в себя, вообще говоря, всех эквивалентных узлов, так как в решетке могут су- ществовать такие эквивалентные узлы, которые совмещаются друг с другом только при преобразованиях, содержащих пово- роты или отражения. Решетку Бравэ можно построить, выделив какой-нибудь из узлов кристаллической решетки и производя все возможные па- раллельные переносы. Выбрав в качестве исходного другой узел (не входящий в первую решетку Бравэ), мы получили бы решет- ку Бравэ, смещенную относительно первой. Поэтому ясно, что кристаллическая решетка представляет собой, вообще говоря, несколько решеток Бравэ, вдвинутых одна в другую; каждая из них соответствует определенному сорту и расположению атомов, причем все эти решетки, рассматриваемые как системы точек, т. е. чисто геометрически, совершенно тождественны. Вернемся снова к элементарным ячейкам. Соответственно произвольности в выборе основных периодов неоднозначным является также и выбор элементарной ячейки. Элементарная ячейка может быть построена на любых основных периодах. Получающиеся таким образом ячейки обладают, конечно, раз- личной формой; объем же всех их оказывается одинаковым. В этом проще всего убедиться следующим образом. Из предыду- щего ясно, что каждая элементарная ячейка содержит по одному из узлов, принадлежащих к каждой из решеток Бравэ, которые можно построить в данном кристалле. Следовательно, число элементарных ячеек в данном объеме всегда равно числу атомов какого-либо определенного сорта и расположения, т. е. не зави- сит от выбора ячейки. Поэтому не зависит от выбора ячейки и объем каждой из них, равный общему объему, деленному на число ячеек.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Решетка Бравэ» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
