Наиболее распространенные свойства симметрии макроско- пических тел заключаются в симметрии расположения частиц в них. Движущиеся атомы и молекулы не занимают точно опреде- ленных мест в теле, и для строгого статистического описания их расположения нужно ввести функцию плотности p(x,y,z), определяющую вероятности различных положений частиц: р dV есть вероятность отдельной частице находиться в элементе объ- ема dV. Свойства симметрии расположения частиц определяют- ся теми преобразованиями координат (переносами, поворотами, отражениями), которые оставляют функцию p(x,y,z) неизмен- ной. Совокупность всех таких преобразований симметрии дан- ного тела составляет его группу симметрии. Если тело состоит из различных атомов, то функция р долж- на быть определена для каждого сорта атомов в отдельности; это обстоятельство, однако, для нас не имеет значения, так как все эти функции в реальном теле будут фактически иметь оди- наковую симметрию. Для этой же цели могла бы служить так- же функция р, определенная как полная электронная плотность, создаваемая всеми атомами в каждой точке тела1) . Наиболее высокой симметрией обладают изотропные те- ла — тела, свойства которых по всем направлениям одинаковы; сюда относятся газы и жидкости (и аморфные твердые тела). Очевидно, у такого тела для каждой частицы все ее положения в пространстве во всяком случае должны быть равновероятными, т. е. должно быть р = const. Напротив, в анизотропных твердых кристаллах функция плотности отнюдь не сводится к постоянной. Она представля- ет собой в этом случае трояко-периодическую функцию (с пе- риодами, равными периодам кристаллической решетки) и имеет 1) Движущиеся электроны могут создавать не только среднюю плотность зарядов (ер), но и среднюю плотность тока j(x,,z). Тела с отличными от нуля токами — это тела, обладающие «магнитной структурой», и симметрия векторной функции j(ж, у, z) определяет симметрию этой структуры. Она рассмотрена в другом томе этого курса (см. том VIII). 128 ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 457 резкие максимумы в точках, соответствующих узлам решетки. Наряду с трансляционной симметрией решетка (т. е. функция p(x,y,z)) обладает, вообще говоря, симметрией также и по от- ношению к различным поворотам и отражениям. Узлы, которые могут быть совмещены друг с другом путем какого-либо пре- образования симметрии, называют эквивалентными. Приступая к изучению симметрии кристаллической решет- ки, следует начать с выяснения того, из каких элементов эта симметрия может складываться. Основу симметрии кристаллической решетки составляет ее пространственная периодичность— свойство совмещаться сама с собой при параллельных переносах (или, как говорят, транс- ляциях ) на определенные расстояния в определенных направле- ниях г) ; о трансляционной симметрии подробно будет идти речь в следующем параграфе. Наряду с трансляционной симметрией решетка может обла- дать также и симметрией по отношению к различным поворо- там и отражениям; соответствующие элементы симметрии [оси и плоскости симметрии, зеркально-поворотные оси) — те же, которыми могут обладать и симметричные тела конечных раз- меров (см. III, § 91). Сверх того, однако, кристаллическая решетка может обла- дать еще и особого рода элементами симметрии, представляю- щими собой комбинации параллельных переносов с поворотами и отражениями. Рассмотрим сначала комбинацию трансляций с осями симметрии. Комбинирование оси симметрии с параллель- ным переносом вдоль направления, перпендикулярного к оси, не приводит к новым типам элементов симметрии. Легко убе- диться в том, что поворот на некоторый угол с последующим переносом в перпендикулярном к оси направлении равносилен простому повороту на тот же угол вокруг другой оси, парал- лельной первой. Комбинирование же поворота вокруг оси с па- раллельным переносом вдоль этой же оси приводит к элемен- там симметрии нового типа— винтовым осям. Решетка обла- дает винтовой осью n-го порядка, если она совмещается сама с собой при повороте вокруг оси на угол 2тг/п и одновременном переносе на определенное расстояние d вдоль этой же оси. Производя п раз поворот с переносом вокруг винтовой оси n-го порядка, мы в результате просто сдвинем решетку вдоль оси на расстояние, равное nd. Таким образом, при наличии вин- товой оси решетка во всяком случае должна обладать и простой периодичностью вдоль этой оси с периодом, не большим чем nd. 1) Кристаллическую решетку надо при этом представлять как бесконеч- ную, отвлекаясь от наличия у кристалла внешней огранки. 458 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ ГЛ. XIII Это значит, что винтовая ось n-го порядка может быть связана только с переносами на расстояния d = —а (р = 1, 2,... , п — 1), п где а—наименьший период решетки в направлении оси. Так, винтовая ось 2-го порядка может быть только одного типа — с переносом на половину периода; винтовые оси 3-го порядка могут быть связаны с переносом на 1/3 и 2/3 периода и т.д. Аналогично можно скомбинировать трансляции с плоско- стью симметрии. Отражение в плоскости вместе с трансляцией вдоль направления, перпендикулярного к плоскости, не приво- дит к новым элементам симметрии, так как такое преобразо- вание, как легко убедиться, равносильно простому отражению в другой плоскости, параллельной первой. Комбинирование же отражения с переносом вдоль направления, лежащего в самой плоскости отражения, приводит к новому типу элементов сим- метрии— так называемым плоскостям зеркального скольже- ния. Решетка обладает плоскостью зеркального скольжения, если она совмещается сама с собой при отражении в этой плос- кости и одновременном переносе на определенное расстояние d в определенном направлении, лежащем в этой же плоскости. Двукратное отражение в плоскости зеркального скольжения приводит к простому переносу на расстояние 2d. Поэтому яс- но, что решетка может обладать только такими плоскостями зеркального скольжения, в которых величина трансляции равна d = а/2, где а —длина наименьшего периода решетки в напра- влении этой трансляции. Что касается зеркально-поворотных осей, то их комбиниро- вание с трансляциями не приводит к новым типам элементов симметрии. Действительно, всякий перенос в этом случае мож- но разложить на две части, из которых одна перпендикулярна к оси, а другая параллельна ей, т. е. перпендикулярна к плоскости отражения. Поэтому зеркально-поворотное преобразование с последующим переносом всегда эквивалентно такому же про- стому преобразованию вокруг другой зеркально-поворотной оси, параллельной первой.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Элементы симметрии кристаллической решетки» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
