Временная корреляция флуктуации нескольких величин
Полученные в предыдущем параграфе результаты можно обобщить на флуктуации, в которых отклоняются от своих равновесных значений сразу несколько величин жх,Ж2, • • • ,хп. Снова будем считать, что из этих величин уже вычтены их равновесные значения, так что все средние значения ~Х{ = 0. 414 ФЛУКТУАЦИИ Корреляционные функции флуктуации этих величин опреде- ляются (в классической теории) как A19.1) Уже в силу самого этого определения они обладают очевидным свойством симметрии №Й=№Н). (П9.2) Существует, однако, еще и другое свойство симметрии кор- реляционных функций, имеющее глубокий физический смысл. Оно возникает как следствие симметрии уравнений механики, которыми описывается движение частиц тела, по отношению к обращению времениг) . В силу этой симметрии совершенно без- различно, какую из величин Х{ и хк брать при усреднении в более ранний, а какую — в более поздний моменты времени. По- этому (xi(t')xk(t)) = (xi(t)xk(tf)), т.е. )- (П9.3) Из обоих свойств A19.2), A19.3) следует также, что <fik{t) = = 4>ki(t). В этом выводе молчаливо подразумевалось, что сами вели- чины Х{ таковы, что при изменении знака времени они остаются неизменными. Но существуют также и величины, которые сами меняют знак при обращении времени (например, величины, про- порциональные скоростям каких-либо макроскопических дви- жений). Если обе величины xi и хк обладают таким свойством, то соотношение A19.3) будет по-прежнему справедливым. Если же одна из двух величин меняет знак, а другая остается неизмен- ной, то симметрия по отношению к обращению времени означает, что (xi(f)xk(t)) = -(Xl(t)xk(tf)), т.е. t). A19.4) Вместе с A19.2) отсюда следует: <fik{t) = —(f{) Будем предполагать теперь, как и в предыдущем парагра- фе, что флуктуации квазистационарны, т. е. набор значений ве- личин жх,...,жп (выходящих за границы их средних флуктуа- ции) определяет некоторое макроскопическое состояние непол- ного равновесия. В процессе приближения к полному равнове- сию величины Х{ меняются со временем; предполагается, что набор функций Xi(t) полностью характеризует этот процесс, и никаких других отклонений от равновесия в нем не возникает. х) Подразумевается, что система не находится в магнитном поле и не вра- щается как целое (см. ниже § 120). § 119 ВРЕМЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ФЛУКТУАЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ВЕЛИЧИН 415 Тогда скорости изменения величин Х{ в каждом неравновесном состоянии являются функциями от значений х\,...,хп в этом состоянии: . Xi = жДжь...,жп). A19.5) Если система находится в состоянии, сравнительно близком к полному равновесию (т. е. если величины Х{ можно считать ма- лыми), то можно разложить функции A19.5) по степеням а^, ограничившись членами первого порядка, т. е. представить их в виде линейных сумм ii = -Xikxk A19.6) с постоянными коэффициентами А^ х) ; эти выражения обобща- ют уравнение A18.5). Отсюда можно перейти к уравнениям для корреляционных функций так же, как это было сделано в § 118. Вводим средние значения ^i{t) величин Х{ в момент времени t > 0 при заданных значениях всех жх, #2, • • • в предшествующий момент t = 0 (сами эти значения в обозначении ^ (t) для краткости опускаются). Эти величины удовлетворяют тем же уравнениям A19.6): ii = ~\А, (П9.7) причем уже не только для больших (по сравнению со средними флуктуациями), но и для произвольных малых значений ?i(t). Корреляционные функции получаются из ?i(t) умножением на х\ = xi@) и усреднением по вероятностям различных значе- ний х\ : (pu(t) = {?i(t)xi). Произведя эту операцию с уравне- нием A19.7), получим |^,(t) = -\k<Pki(t), *>0 (П9-8) (индекс / в этой системе уравнений свободный). Как уже указывалось, уравнения A19.6) представляют собой не что иное, как линеаризованные макроскопические «уравне- ния движения» неравновесной системы, описывающие процесс ее релаксации. Мы видим, что система уравнений для корреляци- онных функций флуктуации получается просто заменой в этих «уравнениях движения» величин Xi(t) на функции (pu(t) со «сво- бодным» индексом /, пробегающим все значения от 1 до п. Полу- чающиеся таким образом уравнения относятся к временам t > О и должны быть проинтегрированы при «начальном условии» №@) = Ы0)хк@)) = (хгхк) = ^ A19.9) :)Как и в §111, по дважды повторяющимся латинским индексам подра- зумевается суммирование от 1 до п. 416 ФЛУКТУАЦИИ (средние значения (xiX^) должны быть равны значениям A11.9)). Для времен же t < 0 корреляционные функции опреде- ляются затем непосредственно по их свойствам симметрии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Временная корреляция флуктуации нескольких величин» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
