Рассмотрим какую-либо физическую величину характери- зующую находящуюся в термодинамическом равновесии зам- кнутую систему или ее отдельную часть (в первом случае это не должна быть величина, остающаяся для замкнутой системы по определению постоянной, например, ее энергия). С течени- ем времени эта величина испытывает небольшие изменения, флуктуируя вокруг своего среднего значения. Обозначим сно- ва через x(t) разность между этой величиной и ее средним значением (так что х = 0). Между значениями x(t) в разные моменты времени суще- ствует некоторая корреляция; это значит, что значение х в 410 ФЛУКТУАЦИИ некоторый момент времени t влияет на вероятности различ- ных ее значений в другой момент времени t'. Аналогично про- странственной корреляции, рассмотренной в предыдущих пара- графах, можно характеризовать временную корреляцию сред- ним значением произведения (x(t)x(tf)). Усреднение понимается здесь, как обычно, в статистическом смысле, т. е. как усред- нение по вероятностям всех значений, которые может иметь ве- личина х в моменты t и t1'. Как было указано еще в § 1, такое статистическое усреднение эквивалентно усреднению по време- ни, — в данном случае по одному из времен ?, t' при заданной разности tf — t. Получающаяся таким образом величина -t) = (x(t)x(t')) A18.1) зависит только от разности tf — ?; это определение можно поэтому записать и в виде p(t) = (x@)x(t)). A18.2) При неограниченном увеличении разности времен корреляция, очевидно, исчезает, и соответственно этому функция cp(t) стре- мится к нулю. Отметим также, что ввиду очевидной симметрии определения A18.1) по отношению к перестановке t ж t' функ- ция <p(t) четна: ф) = ^(_f)_ (n83) Рассматривая величину x(t) как функцию времени, мы тем самым подразумеваем, что она ведет себя классическим обра- зом. Написанное определение можно, однако, представить и в форме, применимой и к квантовым величинам. Для этого на- до рассматривать вместо величины х ее квантовомеханический, зависящий от времени (гейзенберговский) оператор x(t). Опе- раторы x(t) и ж(?7), относящиеся к разным моментам времени, вообще говоря, не коммутативны, и корреляционная функция должна быть теперь определена как <p(t' -t) = \{x(t)x(t') + x((t')x(t)), A18.4) где усреднение производится по точному квантовому состоя- нию г) . Предположим, что величина х такова, что заданием ее опре- деленного значения (существенно превышающего ее среднюю г) Снова напомним, что, согласно основным принципам статистики, ре- зультат усреднения не зависит от того, производится ли оно механически по точной волновой функции стационарного состояния системы или же ста- тистически с помощью распределения Гиббса. Единственная разница состо- ит в том, что в первом случае результат выражается через энергию тела, а во втором случае—как функция его температуры. § 118 КОРРЕЛЯЦИЯ ФЛУКТУАЦИИ ВО ВРЕМЕНИ 411 флуктуацию (ж2I/2) могло бы характеризоваться определенное состояние неполного равновесия. Другими словами, время ре- лаксации для установления неполного равновесия при заданном значении х предполагается много меньшим времени релаксации для установления равновесного значения самой величины х. Это условие удовлетворяется для широкой категории величин, пред- ставляющих физический интерес. Флуктуации таких величин мы будем называть квазистационарными1) . Ниже в этом пара- графе рассматриваются флуктуации этого типа и, кроме того, величина х предполагается классической2) . Предположим также, что в процессе приближения к полному равновесию в системе не возникает никаких других отклонений от равновесия, которые бы требовали введения новых величин для своего описания. Другими словами, в каждый момент вре- мени состояние неравновесной системы вполне определяется зна- чением х (более общий случай будет рассмотрен в следующем параграфе). Пусть величина х имеет в некоторый момент времени t зна- чение, большое по сравнению со средней флуктуацией, т. е. си- стема существенно неравновесна. Тогда можно утверждать, что в последующие моменты времени система будет стремиться прийти в состояние равновесия, соответственно чему х будет уменьшаться. При этом в силу сделанных предположений ско- рость изменения величины х будет в каждый момент времени целиком определяться значением самого х в этот момент: х = х(х). Если х все же сравнительно мало, то можно разложить х(х) по степеням х и ограничиться линейным членом | = -Ах, A18.5) где А—положительная постоянная; член нулевого порядка в этом разложении отсутствует, поскольку в полном равновесии (т. е. при х = 0) скорость dx/dt должна обратиться в нуль. Уравнение A18.5) представляет собой линеаризованное макро- скопическое «уравнение движения» неравновесной системы, опи- сывающее процесс ее релаксации (физическая природа которого целиком зависит от природы величины х). Постоянная 1/А опре- деляет порядок величины времени релаксации для установления полного равновесия. 1) Их называют также термодинамическими. ) Окончательные формулы для квазистационарных флуктуации кванто- вых величин получаются из формулы для классических величин лишь про- стым изменением, которое будет указано в § 124 (см. A24.19)). 412 ФЛУКТУАЦИИ Возвращаясь к флуктуациям в равновесной системе, введем величину ?ж(?), определив ее как среднее значение величины х в момент времени t > 0 при условии, что в предшествующий момент t = 0 она имела некоторое заданное значение х\ такое среднее значение, вообще говоря, отлично от нуля. Очевидно, что корреляционная функция cp(t) может быть написана с по- мощью функции ?x{t) B виде 4>{t) = {хШ), A18-6) где усреднение производится уже только по вероятностям раз- личных значений х в исходный момент времени t = 0. Для значений ?ж, больших по сравнению со средней флукту- ацией, из уравнения A18.5) следует, что и ^ = -АШ, *>0. A18.7) at Учитывая усредненный характер величины ?ж(?), следует счи- тать, что это уравнение тем самым справедливо и при произ- вольных малых ее значениях. Интегрируя уравнение и помня, что по определению ?ж@) = ж, найдем и, наконец, подставляя в A18.6), получим формулу, определяю- щую функцию временной корреляции: ф) = {х2)е-м. В таком виде, однако, эта формула относится только к t > 0, так как в ее выводе (уравнение A18.7)) существенно предпола- галось, что момент t следует после t = 0. Учитывая, с другой стороны, четность функции у?(?), можно написать окончатель- ную формулу ф) = (Ж2)е-А1*1 = VAI*I A18.8) ((х2) из A10.5)), применимую как при положительных, так и отрицательных t. Эта функция имеет при t = 0 две различные производные. Это свойство возникло в результате того, что мы рассматриваем промежутки времени, большие по сравнению со временем установления неполного равновесия (равновесия при заданном значении х). Рассмотрение меньших времен, невоз- можное в рамках «квазистационарной» теории, привело бы, ра- зумеется, к равенству dip/dt = 0 при t = 0, как и должно быть для всякой четной функции от t с непрерывной производной. Изложенную теорию можно сформулировать еще и в другом виде, который может представить определенные преимущества. § 119 ВРЕМЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ФЛУКТУАЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ВЕЛИЧИН 413 Уравнение х = — Хх для самой величины х (а не для ее сред- него значения ?ж) справедливо, как уже указывалось, лишь при больших по сравнению со средней флуктуацией значениях х. При произвольных же значениях х напишем х в виде х = -\х + у, A18.9) являющемся определением новой величины у. Хотя по абсолют- ной величине размаха испытываемых ею колебаний величина у отнюдь не меняет с течением времени своего характера, одна- ко при больших (в указанном выше смысле) значениях х она представляет относительно малую величину, которой в урав- нении A18.9) можно пренебречь. Введенную таким образом в уравнение A18.9) величину у (которую называют случайной си- лой) надо рассматривать как источник флуктуации величины х. При этом корреляционная функция случайной силы (y(O)y(t)) должна быть задана таким образом, чтобы она приводила к правильному результату A18.8) для (x@)x(t)). Для этого надо положить о о Л (y(O)y(t)) = 2\(x2)S(t) = ^S(t). A18.10) В этом легко убедиться, написав решение уравнения A18.9): t x(t) = e~xt I у(т)ех4т, и усреднив произведение x@)x(t), представив его предваритель- но в виде двойного интеграла. Тот факт, что выражение A18.10) обращается в нуль при t ф 0, означает, что значения величины y(t) в различные момен- ты времени не коррелированы. В действительности, разумеется, это утверждение является приближенным и означает лишь, что значения y(t) коррелируют на протяжении промежутков време- ни порядка времени установления неполного равновесия (равно- весия при заданном ж), которое в излагаемой теории, как уже отмечалось, рассматривается как пренебрежимо малое.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Корреляция флуктуации во времени» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
