В предыдущем параграфе мы рассматривали вероятность отклонения какой-либо одной термодинамической величины от ее среднего значения, не интересуясь при этом значениями дру- гих величин, т.е. считая значения последних произвольными2) . Аналогичным образом можно определить вероятность одновре- менного отклонения ряда термодинамических величин от своих средних значений; эти отклонения мы обозначим через жх, Ж2, • • • • • • 1 %п- Вводим энтропию S(x\,..., хп) как функцию рассматри- ваемых величин и пишем распределение вероятностей в виде wdx\ .. .dxn с w из A10.1). Разлагаем S по степеням Х{\ с точ- ностью до членов второго порядка разность S — So представится в виде существенно отрицательной квадратичной формы п S - So = -- i,k=l (очевидно, что /3^ = Ры)- Ниже в этом параграфе мы будем опускать знаки суммирования и по дважды повторяющимся ин- дексам везде подразумеваем суммирование (по всем значениям от 1 до п). Таким образом, пишем: S-So = -(l/2)pikXixk. A11.1) Подставляя это выражение в A10.1), находим для искомого рас- пределения вероятностей формулу w = Aexp[{-l/2)pikxixk]. A11.2) Постоянная А определяется следующим условием нормиров- ки fw dx\ ... dxn = 1, в котором (по той же причине, что и в § 110) интегрирование по всем Х{ можно производить в пределах Подразумевается, конечно, что функция ip(x) мало меняется на значе- ниях х ~ (ж2I/2 и что производная dif/dx отлична от нуля при х = 0. ) Это значит, что функция S(x), которой мы пользовались в § 110, пред- ставляла собой наибольшее значение, которое энтропия может принять при заданном неравновесном значении х. 384 ФЛУКТУАЦИИ от — оо до оо. Для вычисления этого интеграла поступим следую- щим образом. Произведем над величинами xi линейное преобра- 30ВаНИе хг = агкх'к, A11.3) которое превращает квадратичную форму /З^ж^/с в сумму квад- ратов х\ . Для того чтобы было надо, чтобы коэффициенты преобразования удовлетворяли со- отношениям Определитель матрицы величин, стоящих в левой части этого равенства, равен произведению определителя /3 = \/3^\ и двух определителей а = |а^|. Определитель же |<^| = 1. Поэтому из написанного соотношения следует, что /За2 = 1. A11.5) Якобиан линейного преобразования от переменных Х{ к пере- менным х\ есть постоянная величина — определитель а. Поэто- му после проведения преобразования нормировочный интеграл распадается на произведение п одинаковых интегралов и с уче- том A11.5) получим оо Аа\ / expf—х \dx\ = L J J Таким образом, находим окончательно распределение Гаусса для нескольких величин в виде Введем величины Хг = -dS/dxi = f3ikxk, A11.7) которые назовем термодинамически взаимными с величина- ми Xi1) . Определим средние значения произведений Х{Х^\ ) Отметим, что при линейной зависимости A11.7) эта взаимность обоюд- ная: если та же энтропия S выражена через величины Xi, то Xi = -dS/dXi. A11.7a) Действительно, используя A11.7), имеем dS = -Xkdxk = -f3kiXidxk = -Xid( § 111 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ ВЕЛИЧИН 385 Для вычисления интеграла допустим на минуту, что средние значения ж, равны не нулю, а некоторым конечным хщ. Тогда в A11.6) надо писать Х{ — хщ вместо Х{ и, согласно определению средних значений, получим Дифференцируя это равенство по хк$ и полагая затем снова все хм равными нулю, получим справа <^, а слева—как раз нужный нам интеграл. Таким образом, находим (хгХк) = Sik. A11.8) Подставив сюда A11.7), получим: @ы{х1хг) — <^ь откуда /т.т \ _ /о-1 /ill п\ \^Ъ^ К / 1%к ' ^-L-L-L.t/y где /3^, —элемент матрицы, обратной матрице /%&. Наконец, определим еще (XiXk). Согласно A11.7), A11.8) имеем (XiXk) = pu(xiXk) = АЛь т.е. (Х{Хк)=р{к. A11.10) Легко определить также средний квадрат флуктуации лю- бой функции <p(#i,... ,жп). Поскольку отклонения от средних значений малы, то Aip = (d(p/dxi)Axi, где под d(f/dxi понима- ются значения производных при х\ = х2 = ... = 0. Отсюда Г/- A11-и) Если флуктуации каких-либо двух величин xi (назовем их х\ и х2) статистически независимы, то среднее значение {х\Х2) рав- но произведению средних значений ~х\ и ~х2, и поскольку каж- дое из последних равно нулю, то обращается в нуль и (х\х2)\ по A11.9) это означает, что /3±2 = 0. Легко видеть, что при гауссовом распределении вероятностей справедлива и обратная теорема: если {х\х2) = 0 (т.е. /3±2 = 0), то флуктуации вели- чин х\ и Х2 статистически независимы. Действительно, распределение вероятностей w\2 для вели- чин х\ и Х2 получается интегрированием распределения A11.6) по всем остальным Х{\ при этом получится выражение вида Г 1 / 2 / 1/21 W\2 = COnst • eXD< дллХл — ВЛГ>Х\Х2 ^22^о \ 12 2 J (в котором коэффициенты /3fik, вообще говоря, отличны от со- ответствующих компонент Pik). Применив к этому распределе- нию формулу A11.9), найдем, что {х\Х2) = Р\21 • Если {х\Х2) = 13 Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том V 386 ФЛУКТУАЦИИ О, то /3[2 г = 0. Но для матрицы второго ранга обращение в нуль компоненты /З^1 обратной матрицы означает равенство ну- лю также компоненты /3[2 прямой матрицы*) . В результате w\2 распадается на произведение двух независимых гауссовых рас- пределений для величин х\ и #2, что и означает их статистиче- скую независимость.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределение Гаусса для нескольких величин» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Подразумевается, конечно, что функция ip(x) мало меняется на значе- 