Для тела с большой массой существуют две возможности равновесного состояния. Одна из них соответствует электрон- но-ядерному состоянию вещества, как это предполагалось при численных оценках в § 107. Другая же соответствует нейтронно- Заметим, что в этом случае 2Е = — Егр в соответствии с известной из механики теоремой вириала, примененной к системе частиц, взаимодей- ствующих по закону Ньютона (см. I, § 10). 2) Напомним, во избежание недоразумений, что релятивистская внутрен- няя энергия Е (а с нею и Еиоли в A08.11)) включает в себя также и энер- гию покоя частиц (создающих давление Р). Если же определить Еполи как «энергию связи» тела (отсчитываемую от энергии вещества, рассеянного по пространству), то энергия покоя частиц должна быть вычтена из нее. 376 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ ГЛ. XI му состоянию вещества, в котором почти все электроны захва- чены протонами и вещество можно рассматривать как нейтрон- ный газ. При достаточно больших массах тела вторая возмож- ность во всяком случае должна стать термодинамически более выгодной, чем первая (W. Baade, F. Zwicky, 1934). Хотя превра- щение ядер и электронов в свободные нейтроны и связано со значительной затратой энергии, но при достаточно большой пол- ной массе тела эта затрата будет с избытком компенсирована освобождением гравитационной энергии, связанным с уменьше- нием размеров и увеличением плотности тела. Прежде всего исследуем вопрос о том, при каких условиях нейтронное состояние тела вообще может соответствовать ка- кому бы то ни было термодинамическому равновесию (хотя бы и метастабильному). Для этого исходим из условия равновесия /i + тп(р = const, где /i — химический потенциал (термодинами- ческий потенциал, отнесенный к одному нейтрону), тп — масса нейтрона, ср — гравитационный потенциал. Поскольку на границе тела давление должно быть равно ну- лю, ясно, что в некотором внешнем слое вещество будет иметь небольшие давление и плотность и, следовательно, будет нахо- диться в электронно-ядерном состоянии. Хотя толщина такой «оболочки» и может оказаться сравнимой с радиусом внутренне- го плотного нейтронного «ядра», тем не менее благодаря значи- тельно меньшей плотности этого слоя его полную массу можно считать малой по сравнению с массой ядрах) . Сравним значения \i + mncp в двух местах: в плотном ядре вблизи его границы и вблизи внешней границы оболочки. Гра- витационный потенциал в этих точках можно считать рав- ным —GM/R и —GM/R', где R и R1 — радиусы ядра и обо- лочки, а М — масса ядра, совпадающая в нашем приближении с полной массой тела. Что касается химического потенциала, то он в обоих случаях определяется в основном внутренней энергией (энергией связи) соответствующих частиц, большой по сравне- нию с их тепловой энергией. Поэтому разность обоих химических потенциалов можно положить равной просто разности приходя- щейся на единицу атомного веса энергии покоя нейтрального атома (т. е. ядра и Z электронов) и энергии покоя нейтрона; обозначим эту величину через А. Таким образом, приравнивая значения \i + mn(p в двух рассматриваемых местах, получим х) Разумеется, никакой резкой границы между «ядром» и «оболочкой» нет, и переход между ними совершается непрерывным образом. § 109 РАВНОВЕСИЕ НЕЙТРОННОЙ СФЕРЫ 377 Отсюда видно, что, каким бы ни был радиус i?7, масса и радиус нейтронного ядра должны удовлетворять неравенству ^р > А. A09.1) С другой стороны, применив результаты § 107 к сфериче- скому телу, состоящему из вырожденного (нерелятивистского) нейтронного газа, мы найдем, что М и R связаны друг с другом соотношением MR3,9-^^ = 3,6 • 103 0 км3 A09.2) (формула A07.10), в которой надо заменить те и т! на тп). Выразив отсюда М через R и подставив в A09.1), получим нера- венство для М. Численно оно дает М >~ 0,2 0. Так, взяв значение А для кислорода, получим М > 0,170, для железа М > 0,180. Таким массам соответствуют радиусы R< 26 км1). Полученное неравенство определяет нижний предел масс, за которым нейтронное состояние тела вообще не может быть устойчивым. Однако оно еще не обеспечивает полной устой- чивости состояния, которое может оказаться метастабильным. Для определения границы метастабильности надо сравнить пол- ные энергии тела в обоих состояниях: нейтронном и электрон- но-ядерном. С одной стороны, переход всей массы М из элек- тронно-ядерного состояния в нейтронное требует затраты энергии для компенсации энергии связи ядер. С другой стороны, при этом произойдет освобождение энергии за счет сжатия тела; согласно формуле A08.10) этот выигрыш в энергии равен 3GM2 / 1 1_ 7 \Rn Re где Rn — радиус тела в нейтронном состоянии, определяемый формулой A09.2), a Re — радиус тела в электронно-ядерном со- стоянии, определяемый формулой A07.10). Поскольку Re ^> i? n, ) Подчеркнем, что численным оценкам в этом параграфе, основанным на простых предположениях о структуре тела, не следует придавать слишком буквальный астрофизический смысл. 378 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ ГЛ. XI то величиной 1/Re можно пренебречь, и мы получаем следующее условие, обеспечивающее полную устойчивость нейтронного со- стояния тела (индекс у Rn опускаем): > А. A09.3) 1R Сравнивая это условие с условием A09.1) и учитывая A09.2), мы видим, что определяемый неравенством A09.3) нижний предел массы в G/3K/4 = 1,89 раз выше, чем получающийся из A09.2). Численно граница метастабильности нейтронного состояния ле- жит, таким образом, при массе М « 1/30 (и радиусе R « 22 км)х) . Перейдем к вопросу о верхнем пределе значений массы, при которых нейтронное тело может находиться в равновесии. Если бы мы применили результаты § 107 (формулу A07.17) с тп вмес- то т7), то мы получили бы для этого предела значение 60. В дей- ствительности, однако, эти результаты неприменимы к данному случаю по следующей причине. В релятивистском нейтронном газе кинетическая энергия частиц порядка величины (или боль- ше) энергии покоя2) , а гравитационный потенциал (р ~ с2. Вви- ду этого становится незаконным применение ньютоновской те- ории тяготения, и вычисления должны производиться на основе общей теории относительности. При этом, как мы увидим ни- же, оказывается, что ультрарелятивистский случай вообще не достигается; поэтому вычисления должны производиться с по- мощью точного уравнения состояния вырожденного ферми-газа (см. задачу 3 к §61). Вычисления производятся путем численного интегрирования уравнений центрально-симметрического статического гравита- ционного поля и приводят к следующим результатам3) . Предельное значение массы равновесного нейтронного шара оказывается равным всего Мтгх = 0,760, причем это значение достигается уже при конечном (равном i?min=9,4 км) его ради- усе; на рис. 52 изображен график получающейся зависимости ) Средняя плотность тела при этом равна 1,4-10 г/см , так что нейтрон- ный газ действительно еще можно считать нерелятивистским, и использо- вание применяемых нами формул еще законно. 2) В электронном же релятивистском газе кинетическая энергия частиц сравнима с энергией покоя электронов, но все еще мала по сравнению с энергией покоя ядер, составляющих основную массу вещества. 3) За подробностями вычислений отсылаем к оригинальной статье: Орреп- heimer J. R., Volkoff G. M.//Phys. Rev.- 1939.- V. 55.— P. 374. 109 РАВНОВЕСИЕ НЕЙТРОННОЙ СФЕРЫ 379 массы М от радиуса R. Устойчивые нейтронные сферы боль- шей массы или меньшего радиуса, таким образом, не могут су- ществовать. Следует указать, что под массой М мы понимаем здесь произведение М = Nmni где N— полное число частиц (нейтронов) в сфере. Эта величи- на не совпадает с гравитацион- ной массой тела Мгр, определяю- щей создаваемое им в окружаю- щем пространстве гравитацион- ное поле. Благодаря «гравитаци- онному масс-дефекту» в устойчи- М М М@) Мтах 0,6 0,4 0,2 --. --¦ 1 1 1 i S \ s 0 4 8 12 16 20 24 28 32 п Я, км Рис. 52 вых состояниях всегда Мтр < М (в частности, при R = i?min Мгр = 0,95мI). Что касается вопроса о поведении сферического тела с мас- сой, превышающей Мтах, то заранее ясно, что оно должно стре- миться неограниченно сжиматься. Исследование характера та- кого неудержимого гравитационного коллапса изложено в дру- гом томе этого курса (см. II, § 102-104). Следует отметить, что принципиальная возможность грави- тационного коллапса, неизбежного (для рассматриваемой моде- ли сферического тела) при М > Мтах, не ограничена в действи- тельности большими массами. «Коллапсирующее» состояние су- ществует для любой массы, но при М < Mmdi^ оно отделено от статического равновесного состояния очень высоким энергети- ческим барьером2) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Равновесие нейтронной сферы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Заметим, что в этом случае 2Е = — Егр в соответствии с известной 