Изложенный в § 75 метод вычисления термодинамических величин неидеального газа заведомо непригоден для газа, со- стоящего из заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, так как в этом случае входящие в формулы интегралы расходятся. Поэтому такой газ требует особого рассмотрения. Рассмотрим полностью ионизованный газ (плазма). Заряды его частиц будем обозначать через zae, где индекс а различает различные сорта ионов (е — элементарный заряд, za — положи- тельные и отрицательные целые числа). Пусть далее пао есть число ионов а-го сорта в единице объема газа. Газ в целом, ра- зумеется, электрически нейтрален, т. е. 0. G8.1) Будем считать, что газ слабо отклоняется от идеальности. Для этого во всяком случае необходимо, чтобы средняя энер- гия кулоновского взаимодействия двух ионов (~ (^еJ/г, где 280 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ г ~ п 1/3 — среднее расстояние между ионами) была мала по сравнению со средней кинетической энергией ионов (~ Т). Та- ким образом, должно быть (геJп1^ <С Т или G8.2) Ввиду электронейтральности плазмы среднее значение энер- гии кулоновского взаимодействия ее частиц, если бы все они бы- ли равномерно распределены в пространстве независимо друг от друга, обратилось бы в нуль. Поэтому первые поправки в тер- модинамических величинах плазмы (по сравнению с их значени- ями в идеальном газе) возникают только при учете корреляции между положениями различных частиц. С целью напоминать об этом обстоятельстве, будем называть эти поправки корреляци- онными. Начнем с определения поправки Екор в энергии плазмы. Как известно из электростатики, энергия электрического взаимо- действия системы заряженных частиц может быть написана в виде половины суммы произведений зарядов на потенциалы по- ля, создаваемого в точках их нахождения всеми остальными за- рядами. В данном случае G8.3) где (ра — потенциал поля, действующего на ион а-го сорта со стороны остальных зарядов. Для вычисления этих потенциалов поступим следующим образомг) . Каждый из ионов создает вокруг себя некоторое (в сред- нем сферически-симметричное) неравномерно заряженное ион- ное облако. Другими словами, если выбрать какой-либо из ионов в газе и рассматривать плотность распределения остальных ионов относительно данного, то эта плотность будет зависеть толь- ко от расстояния г от центра. Обозначим плотность распреде- ления ионов (а-го сорта) в этом ионном облаке через па. По- тенциальная энергия каждого иона а-го сорта в электрическом поле вокруг данного иона есть zaetp^ где ср — потенциал этого поля. Поэтому, согласно формуле Больцмана C8.6), имеем G8.4) ) Излагаемый метод был применен Дебаем и Хюккелем для вычисле- ния термодинамических величин сильных электролитов (P. Debye, E. Huckel, 1923). § 78 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ 281 Постоянный коэффициент положен равным пао, так как вдали от центра (где ^ —^ 0) плотность ионного облака должна переходить в среднюю ионную плотность в газе. Потенциал (р поля в ионном облаке связан с плотностью за- рядов в нем (равной ^ ezana) электростатическим уравнением Пуассона Д = -4тге> zana. G8.5) Формулы G8.4), G8.5) составляют вместе систему уравнений са- мосогласованного электрического поля электронов и ионов. При сделанном нами предположении об относительной сла- бости взаимодействия ионов энергия ezacp мала по сравнению с Т, и формулу G8.4) можно написать приближенно в виде Па = Па0 - na0^Za ср. G8.6) Подставив это выражение в G8.5) и имея в виду условие G8.1) нейтральности газа в целом, получим уравнение А(р - н2(р = О, G8.7) где введено обозначение '2-W^- -~2 G8.8) Величина ж имеет размерность обратной длины. Центрально-симметричное решение уравнения G8.7) есть ip = const • . В непосредственной близости от центра поле должно переходить в чисто кулоновское поле данного заряда (величину которого обозначим как z^e). Другими словами, при достаточно малых г должно быть if « ezb/r, поэтому надо положить const = ^e, так что искомое распределение потенциала дается формулой ip = ezbe~*r /г. G8.9) Отсюда видно, кстати, что поле становится очень малым на рас- стояниях, больших по сравнению с 1/х. Поэтому длину 1/х мож- но рассматривать как определяющую размеры ионного облака, создаваемого данным ионом (ее называют дебаевским радиусом). Все производимые здесь вычисления, конечно, предполагают, что этот радиус велик по сравнению со средними расстояниями меж- ду ионами (это условие совпадает, очевидно, с условием G8.2)). 282 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ Разлагая потенциал G8.9) в ряд при малых мг, найдем Опущенные члены обращаются при г = 0 в нуль. Первый член есть кулоново поле самого данного иона. Второй же член есть, очевидно, потенциал, создаваемый всеми остальными ионами об- лака в точке нахождения данного иона; это и есть та величина, которая должна быть подставлена в формулу G8.3): (ра = —ezayc. Таким образом, мы получаем следующее выражение для кор- реляционной части энергии плазмы: , G8.10) или, вводя полные числа различных ионов в газе Na = na$V: G8.11) Эта энергия обратно пропорциональна квадратному корню из температуры и из объема газа. тд Е д F Интегрируя термодинамическое соотношение — = , можно найти из ?7Кор соответствующую добавку к свободной энергии: F = ^ид - — л/тг/TV (У2 Nazt) G8.12) а (постоянную интегрирования надо положить равной нулю, так как при Т —>> оо должно быть F = ^Ид)- Отсюда давление G8.13) где N = Y2 Na. Термодинамический потенциал Ф можно полу- чить из F с помощью теоремы о малых добавках (как это было сделано и в §74), т.е. рассматривая второй член в G8.12) как малую добавку к .Рид и выразив ее с нужной точностью через переменные Р и Т1) : л Я • т-» \ 1 /9 • \ Ч /9 G8.14)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Термодинамические величины классической плазмы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
