Связь вириального коэффициента с амплитудой рассеяния
При вычислении вириальных коэффициентов в § 74-76 мы исходили из классической статистики, что практически всегда оправдано. Представляет, однако, методический интерес вопрос о вычислении этих коэффициентов в квантовом случае; реально такой случай может представить гелий при достаточно низких температурах. Покажем, каким образом может быть вычислен второй вириальный коэффициент с учетом квантования парно- го взаимодействия частиц газа {E.Beth, G. E. Uhlenbeck 1937). Мы будем рассматривать одноатомный газ, атомы которого не обладают электронным моментом; имея в виду случай гелия, будем для определенности считать также, что ядра атомов не имеют спина и что атомы подчиняются статистике Бозе. В интересующем нас приближении достаточно сохранить в формуле C5.3), определяющей потенциал О, лишь первые три члена суммы по N: ] G7.1) Здесь Е\п обозначают уровни энергии отдельного атома, а Е2п — уровни энергии системы двух взаимодействующих ато- мов. Нашей целью является вычисление лишь тех поправоч- ных членов в термодинамических величинах, которые связа- ны с непосредственным взаимодействием атомов; поправки же, связанные с квантовомеханическими обменными эффектами, имеющиеся уже в идеальном газе, определяются формулой E6.15), согласно которой обменная часть второго вириального коэффициента равна (в случае статистики Бозе) Таким образом, наша задача сводится к вычислению суммы причем из нее должно еще быть вычтено выражение, которое получилось бы для двух невзаимодействующих атомов. Уровни энергии Е2П складываются из кинетической энергии движения центра инерции обоих атомов (р2 /4т, где р — им- пульс этого движения, т — масса атома) и энергии их отно- сительного движения. Последнюю мы обозначим через е\ это 276 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ есть уровни энергии частицы с массой т/2 (приведенная масса двух атомов), движущейся в центральном поле U\2® (С/12 — по- тенциальная энергия взаимодействия атомов). Движение центра инерции всегда квазиклассично, и, производя обычным образом интегрирование по его координатам и импульсам (ср. §42), по- лучим / Если обозначить символом ZB3 ту часть суммы Z^\ которая связана со взаимодействием частиц, то можно написать О в виде Рассматривая второй член как малую добавку к первому и вы- ражая его через Т, V и N (с помощью формулы D5.5) для хи- мического потенциала идеального газа), получим для свободной энергии выражение Дифференцируя по V, получим давление, причем интересующая нас обусловленная взаимодействием атомов часть вириального коэффициента равна ВВЗ(Т) =-8{^У/2 ZB3. G7.3) Спектр уровней энергии е состоит из дискретного спектра отрицательных значений (соответствующих финитному отно- сительному движению атомов) и непрерывного спектра поло- жительных значений (инфинитное движение). Первые обозна- чим символом еп] вторые же можно написать в виде р2/т, где р — импульс относительного движения атомов, разошед- шихся на большое расстояние друг от друга. Сумма еЫ/т по дискретному спектру входит в ZB3 целиком. Из интеграла же по непрерывному спектру надо отделить часть, соответствую- щую свободному движению невзаимодействующих частиц. Для этого применим следующий прием. На больших расстояниях г радиальная волновая функция стационарного состояния с орбитальным моментом I и положи- § 77 СВЯЗЬ ВИРИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА С АМПЛИТУДОЙ РАССЕЯНИЯ 277 тельной энергией р2 /т имеет асимптотический вид , const . ( р /тг , е \ Ф = sin! -г - — + Si), где фазы Si = Si(p) зависят от конкретного вида поля U\2® (см. III, §33). Положим формально, что область изменения рас- стояния г ограничена весьма большим, но конечным значени- ем R. Тогда импульс р сможет принимать лишь дискретный ряд значений, определяющихся граничным условием, требую- щим обращения ф в нуль при г = R: где s — целые числа. Но при большом R ряд этих значений очень густ, и в сумме Р можно перейти к интегрированию. Для этого при заданном / умножаем суммируемое выражение на ds = -[- + — )dp тг V п ар / и интегрируем по dp, после чего результат должен еще быть умножен на 2/ + 1 (кратность вырождения по направлениям ор- битального момента) и просуммирован по /: + )ed h dp) Р I О Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе и не обладающих спином, координатные волновые функции должны быть симме- тричными; это значит, что допустимы лишь четные значения /, так что суммирование по / производится по всем четным чис- лам. При свободном движении все фазы Si = 0. Поэтому выра- жение, остающееся при Si = 0, есть та часть суммы, которая должна быть отброшена как не связанная со взаимодействием атомов. Таким образом, получаем для искомого ZB3 следующее выражение: G7.4) 278 НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ а вириальный коэффициент В = В0^м + Ввз равен 4ёK/2)- G7-5) Как известно, фазы Si определяют амплитуду рассеяния ча- стиц, движущихся в поле f7i2®, согласно формуле1) где Pi — полиномы Лежандра, в — угол между направлениями падения и рассеяния; суммирование в данном случае произво- дится по всем четным значениям I. В связи с этим оказывается возможным выразить интеграл в G7.4) через амплитуду рас- сеяния. Именно, легко проверить непосредственной подстанов- кой выражения для fF) справедливость следующего соотноше- ния: + 4? Стоящая же слева сумма как раз входит в подынтегральное вы- ражение в G7.4), и в результате его подстановки (и интегриро- вания по частям в одном из членов) получим ZB3 = fp2e-p2/mT[f@) + /*@)]ф+ G7.6) Если в поле U\2® имеются дискретные уровни, то при достаточно низких температурах температурная зависимость В(Т) будет в основном определяться экспоненциально возра- стающей с уменьшением Т суммой по дискретным уровням. Дискретные уровни, однако, могут и отсутствовать вовсе; тог- да вириальный коэффициент будет зависеть от температуры по степенному закону (если учесть, что при р —>> 0 амплитуда рас- сеяния стремится к постоянному пределу, то легко найти, что 1)См. III, §123. Сечение рассеяния в элемент телесного угла do есть \f@\2do. § 78 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЫ 279 при достаточно низких температурах В будет определяться в основном членом В0^м). Отметим, что в случае слабого взаимодействия, когда столк- новения частиц могут быть описаны борновским приближением, амплитуда рассеяния мала, и третий член в G7.6), квадратич- ный по этой амплитуде, может быть опущен. При слабом взаи- модействии отсутствуют связанные состояния, а потому отсут- ствует и первый член в G7.6). Используя известное выражение для амплитуды рассеяния одинаковых частиц в борновском при- ближении, легко убедиться в том, что выражение для F в точ- ности совпадает с формулой C2.3) (без квадратичного члена), как и должно было быть в этом случае.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Связь вириального коэффициента с амплитудой рассеяния» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
