Покажем теперь, каким образом введенные в предыдущем параграфе понятия появляются при последовательном проведе- нии квантования колебаний решетки. Получающиеся при этом формулы имеют и самостоятельное значение, — на них основа- на математическая техника для изучения элементарных актов взаимодействия фононов. Произвольное колебательное движение кристаллической ре- шетки может быть представлено в виде наложения бегущих плоских волнх) . Если рассматривать объем решетки как боль- шой, но конечный, то волновой вектор к будет пробегать ряд хотя и близких друг к другу, но дискретных значений. Смеще- ния атомов us(?, п) изобразятся тогда дискретной суммой вида Зу us(t,n) = -^^^(акаеИ(к)егкг»+а^е^*(к)е-гкг«) G2.1) а=1 к (N — число элементарных ячеек в решетке). Суммирование про- изводится по всем (не эквивалентным) значениям к и по всем ветвям спектра колебаний, а остальные обозначения имеют сле- дующий смысл. 1) Вполне аналогично тому, как это делается для свободного электромаг- нитного поля— ср. II, § 52. 256 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI Векторы eg в G2.1) — векторы поляризации колебаний, т. е. амплитуды, которые не только удовлетворяют уравнени- ям F9.7), но и предполагаются теперь нормированными опре- деленным условием. Это условие (вместе с соотношениями орто- гональности F9.11)) запишем в виде ^ = ^Q, G2.2) s=l m (т = ^2 ms — суммарная масса атомов в одной ячейке). Усло- вия G2.2) оставляют еще произвольным общий (не зависящий от s) фазовый множитель в векторах е^ . Этот произвол позво- ляет наложить на эти векторы дополнительные условия е^(-к) = [е«(к)]* G2.3) (возможность такого выбора очевидна из того, что в силу соотно- шений F9.10) векторы, стоящие в обеих частях равенства G2.3), удовлетворяют одинаковым уравнениям). Коэффициенты ака в G2.1) — функции времени, удовлетво- ряющие уравнениям йка + ои1(к)ака = О, G2.4) получающимся подстановкой G2.1) в уравнения F9.4). Положим ^ka c^ exp[—iuja(k)i\; G2.5) тогда каждый член в сумме будет зависеть только от разно- сти krn — uoat, т. е. представит собой волну, бегущую в направ- лении к. Колебательная энергия решетки выражается через смещения и скорости атомов формулой Е = i J>su2(n) + ?>?'(n - n>ei(n)ivA(n'). G2.6) ПП' 88' Подставим сюда разложение G2.1). Все члены получающихся сумм, содержащие множители exp[±i(k ± k;)rn] с k±k' ^ 0 обращаются в нуль при суммировании по п в силу того, что О при q т^ О, где q пробегает все неэквивалентные значения (см. §133). Учи- тывая также условия G2.2), G2.3), преобразуем кинетическую 72 ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ ФОНОНОВ 257 энергию к виду Е2Г * ,1/ UlUJas 0>ка®ка "¦" О \®ка®—ка к. z Потенциальная энергия в G2.6) с помощью уравнений движе- ния F9.4) переписывается в виде и затем преобразуется аналогичным образом; в результате она приводится к виду, отличающемуся от кинетической энергии лишь знаком перед вторым членом в фигурных скобках. Скла- дывая обе части энергии, найдем G2.7) ак Таким образом, полная энергия колебаний решетки выражается в виде суммы энергий, связанных с каждой из волн в отдель- ности. Произведем теперь преобразование, в результате которого уравнения движения решетки примут вид канонических уравне- ний механики. Для этого вводим вещественные «канонические переменные» Qka и Рка согласно определению Qka = Vm(aka + <J, ( Рка = -ша(к)л/т(ака - ala) = Qka. Выразив отсюда ака и а^.а и подставив в G2.7), получим га- мильтонову функцию решетки \ + "i№Qla]- G2.9) ак При этом уравнения Гамильтона дН/дРка = Qka совпадают с равенствами Рка = Qka, а из dH/dQka = —Pka находим урав- нения совпадающие с уравнениями движения решетки. Таким образом, функция Гамильтона представлена в ви- де суммы независимых членов, каждый из которых имеет вид гамильтоновой функции одномерного гармонического осцил- лятора. Такой способ описания классического колебательного 9 Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том V 258 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI движения делает очевидным путь перехода к квантовой тео- рии х) . Мы должны рассматривать теперь канонические пере- менные — обобщенные координаты Qka и обобщенные импуль- сы Рка — как операторы с правилом коммутации PkaQka - Qkaha = ~гП. G2.10) Функция Гамильтона G2.9) заменяется таким же оператором, собственные значения которого известны из квантовой механики: foja(k)(nka + i), nka = 0,1,2... G2.11) ак Эта формула и дает возможность ввести понятие о фононах в указанном в § 71 смысле: возбужденное состояние решетки мож- но рассматривать как совокупность элементарных возбуждений (квазичастиц), каждое из которых имеет энергию НшаA&), являю- щуюся определенной функцией параметра (квазиимпульса) к. Квантовые числа Пка становятся при этом числами заполнения различных состояний квазичастиц2) . Согласно известным свойствам гармонического осциллятора в квантовой механике величины ooa(k)Qka ±iPka имеют матрич- ные элементы только для переходов с изменением чисел Пка на единицу (см. III, §23). Именно, если ввести операторы G2.12) ka~ y/2fkoa(kI то отличны от нуля матричные элементы G2.13) Правила коммутации этих операторов получаются из определе- ния G2.12) и правила G2.10): 2k«c+a-c+acka = l. G2.14) Из G2.13) видно, что в смысле воздействия на функции чи- сел заполнения операторы с^ и с^а играют роль операторов 1) Аналогично тому, как производится переход от классического описа- ния свободного электромагнитного поля к квантовой картине фотонов — см. IV, § 2. 2) Что касается «нулевой» энергии ^ Нша/2, остающейся в G2.11) при всех Пка = 0, то ее следует включить в энергию основного состояния тела. Эта величина конечна (уже в силу конечности числа членов в суммме), и ее суще- ствование не приводит здесь к каким-либо принципиальным затруднениям (в отличие от квантовой электродинамики, где сумма J^/ia;, расходится). § 73 ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ТЕМПЕРАТУРЫ 259 уничтожения и рождения фононов. При этом правило G2.14) отвечает, как и следовало, статистике Бозе. Вместе с величинами с\^а становятся операторами (в смысле вторичного квантования) также и векторы смещения1) 2mN (У.К. G2.15) С помощью этого выражения ангармонические члены в гамиль- тониане (члены третьего и более высоких степеней по смеще- ниям) выражаются через произведения различного числа опе- раторов рождения и уничтожения фононов. Эти члены и предс- тавляют собой возмущение, приводящее к различным процессам рассеяния фононов, —процессам с изменениями фононных чисел заполнения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Операторы рождения и уничтожения фононов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
