Число колебаний, приходящихся на интервал d3k = dkxdkydkz значений компонент волнового вектора, будучи отнесено к еди- нице объема кристалла, равно d3k/BnK. Характеристикой спек- тра колебаний конкретной решетки является функция распреде- ления колебаний по частотам g(uo), определяющая число g(uo)duo колебаний, частоты которых лежат в заданном интервале меж- ду ио и ио + duo. Это число, разумеется, различно для разных ветвей спектра, но для упрощения обозначений соответствую- щий индекс а у функций о; (к) и g(uo) в этом параграфе мы не будем использовать. Число g(uo) duo дается деленным на BтгK объемом к-про- странства, заключенным между двумя бесконечно близкими изочастотными поверхностями (поверхностями постоянной час- тоты) uo(k) = const. В каждой точке k-пространства гради- ент функции ио(к) направлен по нормали к проходящей через эту точку изочастотной поверхности. Поэтому из выраже- ния duo = dk.- Vk^(k) ясно, что расстояние между двумя беско- нечно близкими такими поверхностями (измеренное по отрезку ) Наличие дефектов решетки приводит также и к некоторым изменениям в спектре ее колебаний—появлению новых частот (отвечающих «локаль- ным» колебаниям вблизи дефектов). Эти вопросы исследованы в работе: Лифшиц Е.М., Косевич A.M. Динамика кристаллической решетки с де- фектами (Rep. Progr. Phys. — 1966. — V. 29. — P. 217). Перевод—в киге: Лифшиц И. М. Избранные труды. Физика реальных кристаллов и неупоря- доченных систем. — М.: Наука, 1987, статья 14. § 70 ПЛОТНОСТЬ ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ 249 нормали между ними) есть duo/\V\^uo\. Умножив эту величину на площадь dfk элемента изочастотной поверхности и проинте- грировав по всей этой поверхности (в пределах одной ячейки обратной решетки), найдем искомую часть объема к-простран- ства, а разделив ее на BтгK, — плотность распределения частот: G01) В каждой зоне (области значений, пробегаемых некоторой ветвью о; (к) в одной ячейке обратной решетки к) функция о; (к) должна иметь по крайней мере один минимум и один макси- мум. Отсюда в свою очередь следует, что эта функция должна обладать также и седловыми точкамиг) . Существование всех та- ких стационарных точек приводит к определенным особенностям функции распределения частот g(uS) (L. van Hove, 1953). Вблизи экстремальной точки, находящейся при некотором к = ко, разность со (к.) — ljq (где ljq = о; (ко)) имеет вид ш - и>о = ~Ък(к - кш)(кк - кок). Направив координатные оси в k-пространстве вдоль главных осей этой квадратичной формы, запишем ее в виде и -и0 = ~[yi(kx -к0хJ +72(ку -коуJ +7з(&* - k0zJ], G0.2) где 715 72 5 7з~ главные значения симметричного тензора 7г/с- Рассмотрим сначала точку минимума или максимума функ- ции о;(к). Тогда 7ъ 72•> 7з имеют одинаковый знак. Введя вме- сто кХ1 ку, kz новые переменные хж, ку, ycz согласно усх = - кОх),... , пишем: и> - о;0 = ±\{х2х + н2у + к2) = ± V. G0.3) При этом изочастотные поверхности в х-пространстве являются сферами. Переходя в G0.1) к интегрированию в ^-пространстве, имеем hf & <70-4» м = l f df* Элемент поверхности сферы: df^ = x2rfo^, где do^— элемент телесного угла. Градиент же функции G0.3): V^k;(x) = ±х. ) Мож:но показать (на чем мы здесь не будем останавливаться), что долж- но существовать по крайней мере шесть седловых точек, — по три каждого из двух типов, которым отвечают знаки + и — в формуле G0.8) (см. ниже). 250 ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ГЛ. VI Поэтому интеграл в G0.4) оказывается равным 4тгх; выразив ус через ио — ljq согласно G0.3), окончательно находим G0.5) Таким образом, плотность числа колебаний имеет корневую осо- бенность; производная dg/duo обращается при ио —>> ooq в беско- нечность. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае (если значение со = ooq лежит внутри, а не на самых краях полосы из- менения частоты) изочастотные поверхности для близких к ooq значений со могут содержать (помимо эллипсоидов вокруг точ- ки к = ко) еще и другие листы, в других частях ячейки к-про- странства. Поэтому в общем случае выражение G0.5) дает лишь «особую» часть плотности числа колебаний, так что правильнее писать g(uj) = g(uj0 G0-6) с одной стороны от точки ио = ooq (при со < ооо в случае макси- мума, или со > coq в случае минимума), и g(uo) = g(ooo) с другой стороны. Отметим также, что формула G0.5) не относится, конечно, к окрестности нижнего края (со = 0) зоны акустических колебаний, где закон дисперсии имеет вид F9.15). Легко видеть, что в этом случае g(uj) = const • со2. G0.7) Рассмотрим теперь окрестность седловой точки. В этом случае две из величин 7i, 725 7з в G0.2) положитель- ны, а одна отрицательна, или наоборот. Вместо G0.3) будем иметь теперь и-^ = ±1-{к1 + к2у-к1). G0.8) Примем для определенности верхний знак в этом выражении. Тогда изо- частотные поверхности при ио < ooq представляют собой двухполостные, а при со > ooq — однополостные гипер- болоиды; граничная же поверхность со = coq является двухпо- лостным конусом (рис. 9). Рис. 9 § 71 фононы 251 Интегрирование в G0.4) удобно производить теперь в цилин- дрических координатах в х-пространстве: x_l, х^, ср, где x_l = = л/х| + х^, а <р— полярный угол в плоскости хжХу. Абсолютная величина градиента: | V^o;| = х. При ио < ujq интеграл берется по двум полостям гиперболоида: к в качестве верхнего предела К (значение которого не отража- ется на виде искомой особенности) можно взять какое-либо зна- чение х, большое по сравнению с л/ojq — ио, но в то же время на- столько малое, что еще применимо выражение G0.8) для формы изочастотной поверхности. В результате находим В случае, когда ио > cjq? аналогичным путем находим, что к К f 2 где x^min = 2(со — ooq). Таким образом, в окрестности седловой точки плотность числа колебаний имеет вид G0.9) при ио > coq. И здесь g(w) имеет корневую особенность. Для седловой точки с нижним знаком в G0.8) получается такой же результат с перестановкой областей ио < ojq и ио > ojq (корневая особенность при ио > ujq).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Плотность числа колебаний» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
